山西省長治市武鄉縣第二中學2023年高二數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列正確的個數是（

）(1)在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等。(2)如果一組數中每個數減去同一個非零常數，則這一組數的平均數改變，方差不改變。(3)一個樣本的方差是s2=[(x一3)2+-(X—3)2+…+(X一3)2]，則這組數據的總和等于60.(4)數據的方差為，則數據的方差為A.4

B.

3

C.2

D.

1參考答案：A2.觀察下列各式：得到的末位四位數字為(

)A.3125

B.5625

C.0625

D.8125參考答案：D3.已知F1，F2為雙曲線C：x2﹣2y2=1的左右焦點，點P在雙曲線C上，∠F1PF2=120°，則=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】由題意可得F1（﹣，0），F2（，0），由余弦定理可得PF1?PF2，由S=PF1?PF2sin120°，求得△F1PF2的面積即為所求【解答】解：由題意可得雙曲線C：x2﹣2y2=1，a=1，b=，c=，得F1（﹣，0），F2（，0），又F1F22=6，|PF1﹣PF2|=2，由余弦定理可得：F1F22=PF12+PF22﹣2PF1?PF2cos120°=（PF1﹣PF2）2+3PF1?PF2=4+3PF1?PF2=6，∴PF1?PF2=∴△F1PF2的面積S=PF1?PF2sin120°=，故選D．【點評】本題考查雙曲線的定義和標準方程，余弦定理，以及雙曲線的簡單性質的應用，求出PF1?PF2的值，是解題的關鍵．4.已知等差數列{an}的公差d≠0,若a5、a9、a15成等比數列,那么公比為

(

)(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C略5.已知函數的定義域為，且為偶函數，則實數的值為（

）

A．3或－1

B．0或2

C．0

D．－1參考答案：D6.過作圓的弦，其中弦長為整數的弦共有（▲）A．74條B．72條C．37條 D．36條參考答案：B7.下列函數中，既是奇函數又在區間（0．+）上單調遞增的函數是（

）

A．y=1nx

B．y=x3

C．y=2|x|

D．y=sinx參考答案：B略8.給出函數的一條性質：“存在常數，使得對于定義域中的一切實數均成立”，則下列函數中具有這條性質的函數是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D略9.直線的傾斜角為 （

）A．

B．

C．

D.參考答案：A10.已知向量，向量與的夾角都是，且，則=（

）A.

6

B.

5

C.

23

D.

8參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設點A、F（c，0）分別是雙曲線的右頂點、右焦點，直線交該雙曲線的一條漸近線于點P．若△PAF是等腰三角形，則此雙曲線的離心率為．參考答案：2【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】由|PF|＞|PA|，|PF|＞|AF|，可得△PAF是等腰三角形即有|PA|=|AF|．設雙曲線的一條漸近線方程為y=x，可得A（a，0），P（，），運用兩點的距離公式，化簡整理，由a，b，c的關系和離心率公式，解方程即可得到所求值．【解答】解：顯然|PF|＞|PA|，|PF|＞|AF|，所以由△PAF是等腰三角形得|PA|=|AF|．設雙曲線的一條漸近線方程為y=x，可得A（a，0），P（，），可得=c﹣a，化簡為e2﹣e﹣2=0，解得e=2（﹣1舍去）．故答案為2．12.已知數列的前項和，那么它的通項公式為=_______

.參考答案：

13.已知當拋物線型拱橋的頂點距水面2米時，量得水面寬8米。當水面升高1米后，水面寬度是________米.參考答案：略14.如果隨機變量X～N(-1,σ2)，且P(-3≤X≤-1)＝0.4，則P(X≥1)＝________．參考答案：0.1略15.如圖，F1，F2分別是雙曲線C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦點，B是虛軸的端點，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交與點M，若|MF2|=|F1F2|，則C的離心率是．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】依題意可求得直線F1B的方程，與雙曲線C的方程聯立，利用韋達定理可求得PQ的中點坐標，從而可得線段PQ的垂直平分線的方程，繼而可求得M點的坐標，從而可求得C的離心率．【解答】解：依題意F1（﹣c，0），B（0，b），∴直線F1B的方程為：y﹣b=x，與雙曲線C的漸近線方程聯立得：b2x2﹣a2=0，整理得：b2x2﹣2a2cx﹣a2c2=0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1，x2為上面方程的兩根，由韋達定理得：x1+x2=，y1+y2=（x1+x2）+2b=，∴PQ的中點N（，），又直線MN的斜率k=﹣（與直線F1B垂直），∴直線MN的方程為：y﹣=﹣（x﹣），令y=0得M點的橫坐標x=c+=．∵|MF2|=|F1F2|，∴﹣c=2c．∴c2=3b2=3（c2﹣a2），∴c2=a2，∴e==．故答案為：．16.雙曲線的漸近線方程為________．參考答案：略17.古埃及數學中有一個獨特的現象：除用一個獨特的符號來表示外，其他分數都可以表示為若干個單位分數的形式。例如，可以這樣理解：假定有兩個面包要平均分給5個人，每人不夠，每人余，再將這分成5份，每人得，這樣每人分得。形如的分數的分解：，，，按此規律，則參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設有關于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是從0,1,2,3四個數中任取的一個數，b是從0,1,2三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率；(2)若a是從區間[0,3]任取的一個數，b是從區間[0,2]任取的一個數，求上述方程有實根的概率．參考答案：略19.已知橢圓的離心率為，且過點。（1）求橢圓的方程；（2）過右焦點做斜率為的直線與橢圓交于兩點，問：在軸上是否存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形？如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由。參考答案：【解】（1），所以橢圓方程為；3分（2）由（1）知，設的方程為，將直線方程與橢圓方程聯立：，整理得………4分設交點為，則。若存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，由于菱形對角線垂直，所以…………………7分又，又的方向向量是，故……………………9分，則，即由已知條件知…………10分由得到，故存在滿足題意的點，的取值范圍是。………12分

略20.設橢圓M：+=1（a＞b＞0）的離心率與雙曲線x2﹣y2=1的離心率互為倒數，且橢圓與y軸的一個交點坐標為（0，）．（Ⅰ）求橢圓M的方程；（Ⅱ）若直線y=（x﹣m）交橢圓與A，B兩點，橢圓上一點C（，1），求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【專題】綜合題；方程思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（Ⅰ）求得雙曲線的離心率，由題意可得橢圓的離心率，求得a，b，即可得到橢圓方程；（Ⅱ）聯立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，由三角形的面積公式，結合基本不等式，即可得到最大值．【解答】解：（Ⅰ）雙曲線的離心率為，由題意可得橢圓的離心率e==，由b=，b2=a2﹣c2，得a=2，c=，故橢圓M的方程為+=1；（Ⅱ）聯立方程，得2x2﹣2mx+m2﹣4=0，由△=4m2﹣8（m2﹣4）＞0，得﹣2＜m＜2．且x1+x2=m，x1x2=，所以|AB|=?=?=?．又C到直線AB的距離為d==，所以S△ABC=|AB|d=≤?=，當且僅當m=±2∈（﹣2，2）時取等號，所以△ABC面積的最大值為．【點評】本題考查橢圓方程的求法，注意運用橢圓的離心率公式，考查直線和橢圓聯立，運用韋達定理和弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．21.（本小題滿分13分）

已知是等差數列，其前項和為，是等比數列，且，，．（1）求數列與的通項公式；（2）對任意N，是否存在正實數，使不