山西省朔州市平朔中學2021-2022學年高一數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數f(x)=2sinωx

(ω>0)在區間[]上的最小值是-2，則ω的最小值等于（

）A.

B.

C.2

D.3參考答案：B略2.給出下列結論：①=±2；②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；③冪函數圖象一定不過第四象限；④函數f（x）=ax+1﹣2（a＞0，a≠1）的圖象過定點（﹣1，﹣1）；⑤若lna＜1成立，則a的取值范圍是（﹣∞，e）．其中正確的序號是（）A．①② B．③④ C．①④ D．③④⑤參考答案：B【考點】冪函數的概念、解析式、定義域、值域．【分析】由根式的化簡判斷①，根據二次函數的性質判斷②，由冪函數的性質判斷③，由a0=1和指數函數的判斷④，由對數函數的性質判斷⑤．【解答】解：：①=|﹣2|=2，①不正確；②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[1，5]，②不正確；③由冪函數知：冪函數圖象一定不過第四象限，③正確；④令x+1=0得x=﹣1，且y=﹣1，即f（x）=ax+1﹣2的圖象過定點（﹣1，﹣1），④正確；⑤由lna＜1得0＜a＜e，即a的取值范圍是（0，e），⑤不正確，正確的命題是③④，故選：B．3.若成等比數列，是的等差中項，是的等差中項，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足，若點O是△ABC外一點，，則四邊形OACB的面積的最大值為（）A. B. C.12 D.參考答案：A【分析】由誘導公式、兩角和的余弦公式化簡已知的式子，由內角的范圍、商的關系、特殊角的三角函數值求出B，結合條件判斷出△ABC為等邊三角形，設∠AOB＝θ，求出θ的范圍，利用三角形的面積公式與余弦定理，表示出得SOACB，利用輔助角公式化簡，由θ的范圍和正弦函數的性質求出平面四邊形OACB面積的最大值．【詳解】∵，，∴，化簡得，∵為三角形內角，，∴，∴由得，，又∵，∴為等邊三角形；設，則，∴，∵，∴，∴當，即時，取得最大值1，∴平面四邊形面積的最大值為．故選：A．【點睛】本題考查三角函數中的恒等變換中的公式，余弦定理的應用，考查化簡、變形及運算能力，屬于中檔題．5.已知偶函數的定義域為R，且在上是增函數，則與的大小關系是（

）≤

≥

參考答案：B6.若直角坐標平面內的兩個不同的點M、N滿足條件①M、N都在函數y=f（x）的圖象上；②M、N關于原點對稱．則稱點對[M，N]為函數y=f（x）的一對“友好點對”（注：點對[M，N]與[N，M]為同一“友好點對”）．已知函數f（x）=，此函數的“友好點對”有（）A．0對 B．1對 C．2對 D．3對參考答案：C【考點】進行簡單的合情推理．【專題】新定義．【分析】根據題意：“友好點對”，可知，欲求f（x）的“友好點對”，只須作出函數y=﹣x2﹣4x（x≤0）的圖象關于原點對稱的圖象，看它與函數f（x）=log3x（x＞0）交點個數即可．【解答】解：根據題意：當x＞0時，﹣x＜0，則f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，則函數y=﹣x2﹣4x（x≤0）的圖象關于原點對稱的函數是y=x2﹣4x（x≥0）由題意知，作出函數y=x2﹣4x（x≥0）的圖象及函數f（x）=log3x（x＞0）的圖象如下圖所示由圖可得兩個函數圖象共有兩個交點即f（x）的“友好點對”有：2個．故選：C．【點評】本題主要考查了奇偶函數圖象的對稱性，以及數形結合的思想，解答的關鍵在于對“友好點對”的正確理解，合理地利用圖象法解決．7.已知向量，.若，則x的值為（

）A．－2

B．

C．

D．2參考答案：D向量，，因為，可得，解得，故選D.

8.在△ABC中，是它的三條邊，若，則△ABC是直角三角形，然而，若，則△ABC是銳角三角形，若，則△ABC是（

）A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形

D．由的值確定參考答案：A略9.兩條異面直線在平面上的投影不可能是

A、兩個點

B、兩條平行直線

C、一點和一條直線

D、兩條相交直線參考答案：A10.函數的圖象是下列圖象中的(

)參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖與側視圖都是邊長為2的等邊三角形，則該幾何體的體積等于

.參考答案：12.函數的單調遞減區間為

.參考答案：(－∞,－1)

13.若函數（>0且≠1）的值域為，則實數的取值范圍是________________.參考答案：或14.在△ABC中，已知角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，若△ABC有兩解，則x的取值范圍是__________．參考答案：【分析】利用正弦定理得到，再根據有兩解得到，計算得到答案.【詳解】由正弦定理得：若△ABC有兩解：故答案為【點睛】本題考查了正弦定理，△ABC有兩解，意在考查學生的計算能力.15.數列中,,且(,),則這個數列的______________.參考答案：略16.已知=（4，2），則與垂直的單位向量的坐標為．參考答案：或．【考點】數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．【分析】設出與垂直的單位向量的坐標，由題意列方程組，求解后即可得到答案．【解答】解：設與垂直的單位向量．則，解得或．故答案為或．17.奇函數在區間上是增函數，在區間上的最大值為，最小值為，則__________。參考答案：在區間上也為遞增函數，即

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.因發生意外交通事故,一輛貨車上的某種液體泄漏到一魚塘中.為了治污,根據環保部門的建議,現決定在魚塘中投放一種可與污染液體發生化學反應的藥劑.已知每投放,且個單位的藥劑,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時間(天)變化的函數關系式近似為,其中.若多次投放,則某一時刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應時刻所釋放的濃度之和.根據經驗,當水中藥劑的濃度不低于4(克/升)時,它才能起到有效治污的作用.（Ⅰ）若一次投放4個單位的藥劑,則有效治污時間可達幾天?（Ⅱ）若第一次投放2個單位的藥劑,6天后再投放個單位的藥劑,要使接下來的4天中能夠持續有效治污,試求的最小值(精確到0.1,參考數據:取1.4).參考答案：解：（Ⅰ）因為,所以則當時,由,解得,所以此時當時,由,解得,所以此時綜合,得,若一次投放4個單位的制劑,則有效治污時間可達8天（Ⅱ）當時,==,,則，而,所以,用定義證明出：故當且僅當時,有最小值為令,解得,所以的最小值為略19.如圖，在正方體中，分別為棱的中點（I）判定四點是否在同一平面上？若在同一平面上，請加以證明，若不在同一平面上，請說明理由。（II）已知正方體的棱長為2，沿平面截去三棱錐，（i）求余下幾何體的體積；（ii）求余下幾何體的表面積.參考答案：解：（I）答：D，，Ｅ，Ｆ四點在同一個平面上....................................................(1分）證明：連結，由分別為棱的中點，所以,又由正方體知AB1ⅡDC1,由平行公理得EFⅡDC1,因此，D，，Ｅ，Ｆ四點在同一個平面上.........(4分）（II）（i）由三棱錐的體積.....................................(6分）所以，余下幾何體的體積V.正方體－=...................................................(8分）(ii)依題意可得在Δ中，過作垂直于EF，垂足為H，則，所以Δ的面積.........................(10分）余下幾何體的表面積S=.........................................(12分）略20.已知函數.（1）求函數的定義域；（2）判斷的奇偶性并證明你的結論；（3）試討論的單調性.參考答案：解：（1）依題意得，解得﹣1＜x＜1，且x≠0，即定義域為.

4分（2）函數f(x)是奇函數.證明如下：易知定義域關于原點對稱，又對定義域內的任意有即，故函數f(x)是奇函數．

8分（3）由（2）知要判斷其單調性只需要確定在上的單調性即可.設是區間上的任意兩個實數，且.∴=.∵0＜x＜x＜1，∴，由得，，即.∴在上為減函數;同理，可證在上也為減函數.12分21.如圖，有一塊矩形草地，要在這塊草地上開辟一個內接四邊形建體育設施（圖中陰影部分），使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上，已知AB＝a（a>2），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，設AE＝x，陰影部分面積為y.（1）求y關于x的函數關系式，并指出這個函數的定義域；（2）當x為何值時，陰影部分面積最大？最大值是多少？參考答案：∴y＝－2x2＋(a＋2)x，函數的定義域為

（2）對稱軸為x=，又因為a>2,所以當1＜，即2＜a<6時，則x＝時，y取最大值。當≥2，即a≥6時，y＝－2x2＋(a＋2)x，在0，2]上是增函數，則x＝2時，y取最大值2a－4.

綜上所述：當2＜a<6時，x＝時，陰影部分面積最大值是；當a≥6時，x＝2時，陰影部分面積最大值是2a－4.略22.已知數列{an}為單調遞增數列，，其前n項和為Sn，且滿足.（1）求數列{an}的通項公式；（2）若數列，其前n項和為Tn，若成立，求n的最小值.參考答案：（1）；（2）10試題分析：（1）先根據和項與通項關系得項之間遞推關系，再根據等差數列定義及其通項公式得數列的通項公式；（2）先根據裂項相消法求，再解不等式得，即得的最小值.試題解析：（1