2021-2022學年上海市崇明區高二上學期期末數學試題一、填空題1．已知球的半徑等于1，則該球的體積等于______.【答案】##【分析】由球體體積公式直接求解.【詳解】由球的體積公式.故答案為：2．計算：______（i為虛數單位）.【答案】##【分析】根據復數四則運算即可得出結果【詳解】由題意得.故答案為：3．某藥物公司實驗一種降低膽固醇的新藥，在500個病人中進行實驗，結果如下表所示.膽固醇降低的人數沒有起作用的人數膽固醇升高的人數30712073則使用藥物后膽固醇降低的經驗概率等于______.【答案】##0.614【分析】根據經驗概率的定義可求出結果.【詳解】依題意使用藥物后膽固醇降低的人數為，又試驗總次數為，所以使用藥物后膽固醇降低的經驗概率等于.故答案為：4．已知復數，則z的共軛復數______.【答案】##【分析】利用向量的摸公式及共軛復數的概念即可求解.【詳解】，所以.故答案為：.5．已知點和點，若向量對應的復數是，則點對應的復數______.【答案】【分析】根據復數的幾何意義計算即可.【詳解】由題知，,所以，所以點對應的復數.故答案為：.6．已知向量，分別是直線和平面的方向向量和法向量，若，則與所成角的大小是______.【答案】##【分析】若直線與平面所成角為，則直線方向向量與平面法向量的夾角為或，由此計算即可.【詳解】設直線與平面所成角為（），則直線的方向向量與平面的法向量的夾角為或，由題意，∵且，∴，∴，∴與所成角的大小是.故答案為：.7．已知矩形中，，，以為旋轉軸，將矩形旋轉一周所形成的空間封閉幾何體的表面積等于______.【答案】【分析】由旋轉體定義可知所得幾何體為圓柱，根據圓柱表面積求法可求得結果.【詳解】由旋轉體定義可知：所形成的空間封閉幾何體為底面半徑，母線長的圓柱，該幾何體的表面積.故答案為：.8．同時投擲兩顆均勻的骰子，所得點數相等的概率為______．【答案】【分析】應用列表法求點數相等的概率即可.【詳解】同時投擲兩顆均勻的骰子，所得點數組合如下表：1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)由上表知：所有可能組合有36種，其中點數相等有6種，所以所得點數相等的概率為.故答案為：9．盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知從中取出粒都是黑子的概率是，從中取出粒都是白子的概率是，則從中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是______.【答案】【分析】任意取出粒棋子，一共有粒都是黑子、粒都是白子和一粒黑子一粒白子種可能，其概率之和為，由此求解即可.【詳解】由題意，任意取出粒棋子，不考慮先后順序，一共有粒都是黑子、粒都是白子和一粒黑子一粒白子種可能，設事件：取出粒都是黑子，事件：取出粒都是白子，事件：取出粒恰好是一粒黑子一粒白子，則，，兩兩互斥，由已知有，，∵，∴，∴從中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是.故答案為：.10．已知四面體中，，，分別為，的中點，且異面直線與所成的角為，則____.【答案】1或【分析】取BD中點O，連結EO、FO，推導出EO＝FO＝1，，或，由此能求出EF．【詳解】取BD中點O，連結EO、FO，∵四面體ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分別為BC、AD的中點，且異面直線AB與CD所成的角為，∴EO∥CD，且EO，FO∥AB，且FO1，∴∠EOF是異面直線AB與CD所成的角或其補角，∴，或，當∠EOF時，△EOF是等邊三角形，∴EF＝1．當時，EF．故答案為1或．【點睛】本題考查異面直線所成角的應用，注意做平行線找到角是關鍵，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養，是易錯題11．如圖，已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，A，B是底面圓周上兩點，，，，C為線段PB的中點.一只螞蟻沿著圓錐表面從點A爬到點C經過的最短距離是______.【答案】【分析】將圓錐的側面沿母線展開成扇形，判斷出最短距離是線段，利用余弦定理解三角形即可求解.【詳解】將圓錐的側面沿母線展開成扇形，如圖示：所以一只螞蟻沿著圓錐表面從點A爬到點C經過的最短距離是線段.則弧長為，所以，因為，所以，所以在扇形中，，又C為線段PB的中點，.所以在中，,,,由余弦定理得：，所以一只螞蟻沿著圓錐表面從點A爬到點C經過的最短距離是.故答案為：12．有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為（）．用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情況中，全面積最小的是一個四棱柱，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】由題意拼成一個三棱柱,分3種情況求出表面積；拼成一個四棱柱,3種情況分別求出表面積,然后求出a的范圍.【詳解】①拼成一個三棱柱時,有三種情況：將上下底面對接,其全面積為：；3a邊可以合在一起時,；4a邊合在一起時，.②拼成一個四棱柱,有三種情況：就是分別讓邊長為3a,4a,5a所在的側面重合,其上下底面積之和都是，但側面積分別為:,,，顯然，三個是四棱柱中全面積最小的值為：.由題意得：，解得：.故答案為：【點睛】（1）求解以由多個幾何體構成組合體的體積的關鍵是確定組合體的形狀以及組合體圖中線面的位置關系和數量關系，利用相應體積公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解．二、單選題13．若是關于的實系數方程的一個復數根，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】把代入方程，整理后由復數相等的定義列方程組求解.【詳解】由題意1i是關于的實系數方程∴，即∴，解得.故選：D．14．將一枚質地均勻的硬幣連續拋擲100次，第99次拋擲出現反面的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據隨機事件每次發生的概率是相等的，即可得出第99次拋擲出現反面的概率.【詳解】將一枚質地均勻的硬幣拋擲一次，出現正面，還是反面，是隨機事件，且是等可能的，∴無論拋多少次，每一次拋擲出現反面的概率都為.∴第99次拋擲出現反面的概率是.故選：D.15．在棱長為的正方體中，P為左側面上一點，已知點P到的距離為，P到的距離為，則過點P且與平行的直線相交的面是（

）A．ABCD B． C． D．【答案】A【分析】由圖可知點在內，過作，且，，在平面中，過作，，由平面與平面平行的判定可得平面平面；連接，交，連接，再由平面與平面平行的性質得，在中，過作，且，可得，由此說明過點且與平行的直線相交的面是平面.【詳解】如圖，由點到的距離為，到的距離為2，可得在內，過作，且，，又平面，平面，所以平面；在平面中，過作，，又平面，平面，所以平面；因為，、平面，則平面平面．連接，交于，連接，則由平面平面，平面平面，平面平面，則，在中，過作，且，則．∵線段在四邊形內，在線段上，∴在四邊形內．所以過點P且與平行的直線相交的面是平面．故選：A．16．已知正四棱柱中，底面邊長，，是長方體表面上一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點，將所求數量積轉化為，根據的取值范圍可求得結果.【詳解】取中點，則，當為側面中點時，；的最大值為體對角線的一半，又，，即的取值范圍為.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題考查立體幾何中的向量數量積問題的求解，解題關鍵是通過轉化法將問題轉化為向量模長最值的求解問題，進而通過確定向量模長的最值來確定數量積的取值范圍.三、解答題17．求實數m的值或取值范圍，使得復數分別滿足：(1)z是實數；(2)z是純虛數；(3)z是復平面中對應的點位于第二象限.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據復數的概念列式可求出結果；（2）根據復數的概念列式可求出結果；（3）根據復數的幾何意義可求出結果.【詳解】（1）由題意得，所以；（2）由題意得，所以；（3）由題意得，所以.18．在直三棱柱中，，.(1)求四棱錐的體積V；(2)求直線與平面所成角的大小；(3)求異面直線與所成角的大小.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據線面垂直的判定與性質可得平面，進而根據錐體體積公式求解即可；（2）根據線面角的性質可得即為直線與平面所成的角，再在直角三角形中求出即可；（3）根據線線角的定義可得就是異面直線與所成的角（或其補角），再根據余弦定理求解即可.【詳解】（1）因為是直棱柱，所以平面，又平面，得，又因為，，且平面，所以平面.所以三棱錐的體積，得.（2）因為，所以，

因為是直棱柱，所以平面，又平面，進而，所以平面，

所以即為直線與平面所成的角.

在中，，，所以，所以直線與平面所成角的大小是.（3）因為，所以就是異面直線與所成的角（或其補角）在中，，，，所以所以異面直線與所成的角大小是.19．命中環數10987概

率0.320.280.180.12求：(1)該選手射擊一次，命中不足9環的概率；(2)該選手射擊兩次（兩次結果互不影響），一次命中10環，一次命中8環的概率；(3)該選手射擊兩次（兩次結果互不影響），兩次命中之和不低于18環的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)用表示該選手射擊一次命中環數為的概率，利用計算即可；(2)分“第一次命中10環，第二次命中8環”，或者“第一次命中8環，第二次命中10環”，再根據互斥事件的概率計算公式計算即可；(3)要使兩次命中之和不低于18環，則包含兩次命中的環數為：10，10；10，9；9，10；9，9；10，8；8，10共6種情況，再根據互斥事件的概率公式計算即可.【詳解】（1）解：用表示該選手射擊一次命中環數為的概率（）則該選手射擊一次，命中不足9環的概率為:;（2）解：該選手射擊兩次（兩次結果互不影響），一次命中10環，一次命中8環，分為兩種情形：“第一次命中10環，第二次命中8環”，或者“第一次命中8環，第二次命中10環”，將上述事件分別記作事件A和事件B，則A、B互斥，又事件A中“第一次命中10環”與“第二次命中8環”相互獨立，所以，同理.所以該選手射擊兩次（兩次結果互不影響），一次命中10環，一次命中8環的概率是；（3）解：該選手射擊兩次（兩次結果互不影響），兩次命中之和不低于18環的概率.20．如圖，在棱長為2的正方體中，點E是棱AB上的動點.(1)求證：；(2)點F、G分別是BC、CD的中點，求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)建立空間坐標系，利用向量垂直的定義即可判斷；(2)先分別求出兩個面的法向量，求出向量角大小，觀察圖像，得出空間角與向量角的關系.【詳解】（1）如圖，以為坐標原點，以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標系.則，，，設，則，∴，.

∴，∴（2）易得,,，，設平面的法向量為，∴，即取，解得，從而平面的一個法向量為.平面的一個法向量為，從而.經觀察，二面角為鈍角，所以二面角的大小是.21．如圖，已知是正三角形，直角梯形ACDE所在平面垂直于平面ABC，且，，，，F是BE的中點.(1)求證：平面ABC；(2)求證：平面平面BDE.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析