第七章參數估計第一節點估計區間估計標準誤一．總體參數估計的基本原理根據樣本統計量對相應總體參數所作的估計叫作總體參數估計。總體參數估計分為點估計和區間估計。由樣本的標準差估計總體的標準差即為點估計；而由樣本的平均數估計總體平均數的取值范圍則為區間估計。1.良好的點估計量應具備的條件無偏性

如果一切可能個樣本統計量的值與總體參數值偏差的平均值為0，這種統計量就是總體參數的無偏估計量。有效性

當總體參數不止有一種無偏估計量時，某一種估計量的一切可能樣本值的方差小者為有效性高，方差大者為有效性低。一致性當樣本容量無限增大時，估計量的值能越來越接近它所估計的總體參數值，這種估計是總體參數一致性估計量。充分性一個容量為n的樣本統計量,應能充分地反映全部n個數據所反映的總體的信息。2.區間估計與標準誤以樣本統計量的抽樣分布（概率分布）為理論依據，按一定概率的要求，由樣本統計量的值估計總體參數值的所在范圍，稱為總體參數的區間估計。對總體參數值進行區間估計，就是要在一定可靠度上求出總體參數的置信區間的上下限。置信區間置信度，即置信概率，是作出某種推斷時正確的可能性（概率）。置信區間，也稱置信間距（confidenceinterval,CI）是指在某一置信度時，總體參數所在的區域距離或區域長度。置信區間是帶有置信概率的取值區間。顯著性水平對總體平均數進行區間估計時，置信概率表示做出正確推斷的可能性，但這種估計還是會有犯錯誤的可能。顯著性水平(significancelevel)就是指估計總體參數落在某一區間時，可能犯錯誤的概率，用符號α表示。

P＝１-α區間估計的原理與標準誤取值范圍與概率的矛盾。（0.05和0.01）原理：樣本分布理論區分三種不同性質的分布：總體分布：總體內個體數值的頻數分布樣本分布：樣本內個體數值的頻數分布抽樣分布：某一種統計量的概率分布

μ±σ范圍內的面積為68.27%

μ±1.96σ范圍內的面積為95%

μ±2.58σ范圍內的面積占99%圖顯示樣本平均數與總體平均數的平均誤差不超過1μ的概率為0.6827,不超過1.96μ的概率為0.9545,不超過2.58μ的概率為0.9973。即：當t=1時，F(t)=0.6827

當t=1.96時，F(t)=0.9545

當t=2.58時，F(t)=0.9973概率度t與概率F(t)的對應關系是：概率F(t)越大，則概率度t值越大，估計的可靠性越高，樣本統計量與總體參數之間正負離差的變動范圍也越大。對于t每取一個值，概率保證程度F(t)有一個唯一確定的值與之對應。因此人們制定?正態分布概率表?第二節總體平均數的估計平均數抽樣分布的幾個定理⑴．從總體中隨機抽出容量為n的一切可能樣本的平均數之平均數等于總體的平均數。⑵．容量為n的平均數在抽樣分布上的標準差（即平均數的標準誤），等于總體標準差除以n的平方根。區間估計的注意事項⑴要知道與所要估計的參數相對應的樣本統計量的值，以及樣本統計量的理論分布；⑵要求出該種統計量的標準誤；⑶要確定在多大的可靠度上對總體參數作估計，再通過某種理論概率分布表，找出與某種可靠度相對應的該分布橫軸上記分的臨界值，才能計算出總體參數的置信區間的上下限。

標準誤某種統計量在抽樣分布上的標準差，稱為標準誤。標準誤用來衡量抽樣誤差。標準誤越小，表明樣本統計量與總體參數的值越接近，樣本對總體越有代表性，用樣本統計量推斷總體參數的可靠度越大。因此，標準誤是統計推斷可靠性的指標。平均數區間估計的基本原理

通過樣本的平均數估計總體的平均數,首先假定該樣本是隨機取自一個正態分布的母總體(或非正態總體中的n＞30的樣本)，而計算出來的實際平均數是無數容量為n的樣本平均數中的一個。根據樣本平均數的分布理論，可以對總體平均數進行估計，并以概率說明其正確的可能性。一．總體平均數區間估計的基本步驟①．根據樣本的數據，計算樣本的平均數和標準差；②．計算平均數抽樣分布的標準誤；③．確定置信概率或顯著性水平；④．根據樣本平均數的抽樣分布確定查何種統計表；⑤．計算置信區間；⑥．解釋總體平均數的置信區間。一、總體平均數估計的步驟1.根據實得樣本的數據，計算樣本平均數與標準差2.計算標準誤（1）已知（2）未知3.確定置信水平或顯著性水平4.根據樣本平均數的抽樣分布，確定查何種統計表總體方差已知，Z分布；未知，t分布5.計算置信區間（1）正態分布表，置信區間（2）t分布，置信區間6。解釋總體平均數的置信區間例題：某小學10歲全體女童身高歷年來標準差為6.25厘米，現從該校隨機抽27名10歲女童，測得平均身高為134.2厘米，試估計該校10歲全體女童平均身高的95％和99％置信區間。二、總體正態，σ已知（不管樣本容量大小）1.總體正態，σ已知（不管樣本容量大小）或總體非正態，σ已知，大樣本解：10歲女童的身高假定是從正態總體中抽出的隨機樣本，并已知總體標準差為σ=6.25。無論樣本容量大小，一切樣本平均數的標準分數呈正態分布。于是可用正態分布來估計該校10歲女童身高總體平均數95％和99％的置信區間。其標準誤為當Ｐ＝0.95時，Ｚ＝±1.96因此，該校10歲女童平均身高95％的置信區間為：當Ｐ＝0.99時，Ｚ＝±2.58因此，該校10歲女童平均身高99％的置信區間為：三、總體正態，σ未知（不管樣本容量大小），

或總體非正態，σ未知，大樣本平均數的抽樣分布為t分布，平均數的置信區間為：例題：從某小學三年級隨機抽取12名學生，其閱讀能力得分為28，32，36，22，34，30，33，25，31，33，29，26。試估計該校三年級學生閱讀能力總體平均數95％和99％的置信區間。解：12名學生閱讀能力的得分假定是從正態總體中抽出的隨機樣本，而總體標準差σ未知，樣本的容量較小（ｎ=12<30），在此條件下，樣本平均數與總體平均數離差統計量服從呈t分布。于是需用t分布來估計該校三年級學生閱讀能力總體平均數95％和99％的置信區間。由原始數據計算出樣本統計量為當Ｐ＝0.95時，因此，該校三年級學生閱讀能力得分95％的置信區間為：當Ｐ＝0.99時，因此，該校三年級學生閱讀能力得分99％的置信區間為：第三節標準差與方差的區間估計在一次測試中，得知某校150名學生的成績是,如果證實測驗與預試的題目相同，被估計證實測驗的平均成績是多少?1.平均數和標準差2.標準誤（）3.確定置信區間置信區間95%和99%，顯著性水平0.05,和0.014.根據樣本平均數的抽樣分布，確定查何種統計表總體方差未知，n=150＞30，接近正態分布，為t分布5.計算置信區間（1）95%或0.0578-1.96×0.7349＜μ＜78+1.96×0.734976.56＜μ＜79.44（2）99%或0.0178-2.576×0.7349＜μ＜78+2.576×0.734978-1.89＜μ＜78+1.8976.11＜μ＜79.896.解釋總體平均數的置信區間（1）被估計證實測驗的平均成績在76.56-79.44之間，估計正確的概率為0.95（95%），錯誤的概率0.05（5%）。（2）被估計證實測驗的平均成績在76.11-79.89之間，估計正確的概率為0.99（99%），錯誤的概率0.01（1%）。一、標準差的區間估計二、方差的區間估計1.

已知時，2的置信區間2.

未知時，2的置信區間例：已知某樣本的分散程度，樣本容量40，問該樣本之總體的分散程度如何。（用標準差與方差分別計算）。解1（標準差）：，樣本標準差的分布接近正態分布，用Z分布。（1）0.95或0.0510-1.96×1.12＜σ＜10+1.96×1.127.8＜σ＜12.2（2）0.99或0.0110-2.58×1.12＜σ＜10+2.58×1.127.11＜σ＜12.89（1）樣本總體的分散程度，標準差在7.8-12.2之間，估計正確的概率為0.95（95%），錯誤的概率0.05（5%）。（2）樣本總體的分散程度，標準差在7.11-12.89之間，估計正確的概率為0.99（99%），錯誤的概率0.01（1%）。解1（方差）：卡方分布0.95或0.05三、二總體方差之比的區間估計第四節相關系數的區間估計一、積差相關系數的抽樣分布（一）總體相關系數ρ﹥0，正偏態ρ﹤0，負偏態ρ

≠0，且n﹥500，接近正態（二）ρ=0，樣本r分布，服從df=n-2的t分布二、積差相關系數的區間估計（一）ρ=0時，df=n-2（二）ρ≠01.n﹥500，2.利用費舍爾Z函數分布計算第五節比率及比率差異的區間估計?影響置信區間的因素，以總體平均數為例。Z，σ

和n1.置信區間的寬度受標準分Z的影響。（1）Z值由置信水平決定95%(±1.96),99%(±2.58)。置信水平越高，Z值越大，置信