2023年高考數學模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．3本不同的語文書，2本不同的數學書，從中任意取出2本，取出的書恰好都是數學書的概率是（）A． B． C． D．2．的二項展開式中，的系數是（）A．70 B．-70 C．28 D．-283．現有甲、乙、丙、丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的概率為A． B． C． D．4．一個幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾何體的表面積是（）A．B．C．D．5．已知命題：，，則為()A．， B．，C．， D．，6．設函數，若函數有三個零點，則（）A．12 B．11 C．6 D．37．已知復數滿足（其中為的共軛復數），則的值為()A．1 B．2 C． D．8．設函數，則，的大致圖象大致是的()A． B．C． D．9．過拋物線的焦點F作兩條互相垂直的弦AB，CD，設P為拋物線上的一動點，，若，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知向量，，且與的夾角為，則x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-111．若復數滿足，則（）A． B． C． D．12．如圖，平面ABCD，ABCD為正方形，且，E，F分別是線段PA，CD的中點，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校初三年級共有名女生，為了了解初三女生分鐘“仰臥起坐”項目訓練情況，統計了所有女生分鐘“仰臥起坐”測試數據（單位：個），并繪制了如下頻率分布直方圖，則分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生有_____________個．14．已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，且.若四棱錐P-ABCD的五個頂點在以4為半徑的同一球面上，當PA最長時，則______________；四棱錐P-ABCD的體積為______________.15．某種賭博每局的規則是：賭客先在標記有1，2，3，4，5的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數字作為其賭金；隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將這兩張卡片上數字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金．若隨機變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____．16．二項式的展開式的各項系數之和為_____，含項的系數為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2019年9月26日，攜程網發布《2019國慶假期旅游出行趨勢預測報告》，2018年國慶假日期間，西安共接待游客1692.56萬人次，今年國慶有望超過2000萬人次，成為西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司規定：若公司某位導游接待旅客，旅游年總收人不低于40(單位：萬元)，則稱該導游為優秀導游.經驗表明，如果公司的優秀導游率越高，則該公司的影響度越高.已知甲、乙家旅游公司各有導游40名，統計他們一年內旅游總收入，分別得到甲公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數分布表如下：分組頻數（1）求的值，并比較甲、乙兩家旅游公司，哪家的影響度高？（2）從甲、乙兩家公司旅游總收人在(單位：萬元)的導游中，隨機抽取3人進行業務培訓，設來自甲公司的人數為，求的分布列及數學期望.18．（12分）移動支付（支付寶及微信支付）已經漸漸成為人們購物消費的一種支付方式，為調查市民使用移動支付的年齡結構，隨機對100位市民做問卷調查得到列聯表如下：（1）將上列聯表補充完整，并請說明在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡是否有關？（2）在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進一步的問卷調查，從這10人隨機中選出3人頒發參與獎勵，設年齡都低于35歲（含35歲）的人數為，求的分布列及期望.（參考公式：（其中）19．（12分）這次新冠肺炎疫情，是新中國成立以來在我國發生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一次重大突發公共衛生事件.中華民族歷史上經歷過很多磨難，但從來沒有被壓垮過，而是愈挫愈勇，不斷在磨難中成長，從磨難中奮起.在這次疫情中，全國人民展現出既有責任擔當之勇、又有科學防控之智.某校高三學生也展開了對這次疫情的研究，一名同學在數據統計中發現，從2020年2月1日至2月7日期間，日期和全國累計報告確診病例數量（單位：萬人）之間的關系如下表：日期1234567全國累計報告確診病例數量（萬人）1.41.72.02.42.83.13.5（1）根據表中的數據，運用相關系數進行分析說明，是否可以用線性回歸模型擬合與的關系？（2）求出關于的線性回歸方程（系數精確到0.01）.并預測2月10日全國累計報告確診病例數.參考數據：，，，.參考公式：相關系數回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.20．（12分）如圖，⊙的直徑的延長線與弦的延長線相交于點，為⊙上一點，，交于點．求證：~．21．（12分）已知函數.其中是自然對數的底數.（1）求函數在點處的切線方程；（2）若不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍.22．（10分）已知函數，為實數，且．（Ⅰ）當時，求的單調區間和極值；（Ⅱ）求函數在區間，上的值域（其中為自然對數的底數）．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

把5本書編號，然后用列舉法列出所有基本事件．計數后可求得概率．【詳解】3本不同的語文書編號為，2本不同的數學書編號為，從中任意取出2本，所有的可能為：共10個，恰好都是數學書的只有一種，∴所求概率為．故選：D.【點睛】本題考查古典概型，解題方法是列舉法，用列舉法寫出所有的基本事件，然后計數計算概率．2、A【解析】試題分析：由題意得，二項展開式的通項為，令，所以的系數是，故選A．考點：二項式定理的應用．3、B【解析】

求得基本事件的總數為，其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數為,利用古典概型及其概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，現有甲乙丙丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動，基本事件的總數為，其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數為,所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為，故選B.【點睛】本題主要考查了排列組合的應用，以及古典概型及其概率的計算問題，其中解答中合理應用排列、組合的知識求得基本事件的總數和所求事件所包含的基本事件的個數，利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.4、D【解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個圓錐，表面積為,故選D．5、C【解析】

根據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，且命題：，，.故選：.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，屬于基礎題.6、B【解析】

畫出函數的圖象，利用函數的圖象判斷函數的零點個數，然后轉化求解，即可得出結果．【詳解】作出函數的圖象如圖所示，令，由圖可得關于的方程的解有兩個或三個（時有三個，時有兩個），所以關于的方程只能有一個根（若有兩個根，則關于的方程有四個或五個根），由，可得的值分別為，則故選B．【點睛】本題考查數形結合以及函數與方程的應用，考查轉化思想以及計算能力，屬于常考題型.7、D【解析】

按照復數的運算法則先求出，再寫出，進而求出.【詳解】，，.故選：D【點睛】本題考查復數的四則運算、共軛復數及復數的模，考查基本運算能力，屬于基礎題.8、B【解析】

采用排除法：通過判斷函數的奇偶性排除選項A；通過判斷特殊點的函數值符號排除選項D和選項C即可求解.【詳解】對于選項A:由題意知,函數的定義域為，其關于原點對稱，因為,所以函數為奇函數,其圖象關于原點對稱，故選A排除；對于選項D:因為,故選項D排除;對于選項C:因為,故選項C排除;故選:B【點睛】本題考查利用函數的奇偶性和特殊點函數值符號判斷函數圖象;考查運算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點并判斷其函數值符號是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.9、C【解析】

設直線AB的方程為，代入得：，由根與系數的關系得，，從而得到，同理可得，再利用求得的值，當Q，P，M三點共線時，即可得答案.【詳解】根據題意，可知拋物線的焦點為，則直線AB的斜率存在且不為0，設直線AB的方程為，代入得：.由根與系數的關系得，，所以.又直線CD的方程為，同理，所以，所以.故.過點P作PM垂直于準線，M為垂足，則由拋物線的定義可得.所以，當Q，P，M三點共線時，等號成立.故選：C.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系、焦半徑公式的應用，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意取最值的條件.10、B【解析】

由題意，代入解方程即可得解.【詳解】由題意，所以，且，解得.故選：B.【點睛】本題考查了利用向量的數量積求向量的夾角，屬于基礎題.11、B【解析】

由題意得,,求解即可.【詳解】因為,所以.故選:B.【點睛】本題考查復數的四則運算,考查運算求解能力,屬于基礎題.12、C【解析】

分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,再利用向量法求異面直線EF與BD所成角的余弦值.【詳解】由題可知，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設.則.故異面直線EF與BD所成角的余弦值為.故選：C【點睛】本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據數據先求出，再求出分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生人數即可.【詳解】解：，.則分鐘至少能做到個仰臥起坐的初三女生人數為.故答案為：.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖，屬于基礎題.14、90°【解析】

易得平面PAD，P點在與BA垂直的圓面內運動，顯然，PA是圓的直徑時，PA最長；將四棱錐補形為長方體，易得為球的直徑即可得到PD，從而求得四棱錐的體積.【詳解】如圖，由及，得平面PAD，即P點在與BA垂直的圓面內運動，易知，當P、、A三點共線時，PA達到最長，此時，PA是圓的直徑，則；又，所以平面ABCD，此時可將四棱錐補形為長方體，其體對角線為，底面邊長為2的正方形，易求出，高，故四棱錐體積.故答案為：(1)90°；(2).【點睛】本題四棱錐外接球有關的問題，考查學生空間想象與邏輯推理能力，是一道有難度的壓軸填空題.15、20.2【解析】

分別求出隨機變量ξ1和ξ2的分布列，根據期望和方差公式計算得解.【詳解】設a，b∈{1，2，1，4，5}，則p（ξ1＝a），其ξ1分布列為：ξ112145PE（ξ1）（1+2+1+4+5）＝1．D（ξ1）[（1﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2+（4﹣1）2+（5﹣1）2]＝2．ξ2＝1.4|a﹣b|的可能取值分別為：1.4，2.3，4.2，5.6，P（ξ2＝1.4），P（ξ2＝2.3），P（ξ2＝4.2），P（ξ2＝5.6），可得分布列．ξ21.42.34.25.6PE（ξ2）＝1.42.34.25.62.3．∴E（ξ1）﹣E（ξ2）＝0.2．故答案為：2，0.2．【點睛】此題考查隨機變量及其分布，關鍵在于準確求出隨機變量取值的概率，根據公式準確計算期望和方差.16、【解析】

將代入二項式可得展開式各項系數之和，寫出二項展開式通項，令的指數為，求出參數的值，代入通項即可得出項的系數.【詳解】將代入二項式可得展開式各項系數和為.二項式的展開式通項為，令，解得，因此，展開式中含項的系數為.故答案為：；.【點睛】本題考查了二項式定理及二項式展開式通項公式，屬基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），乙公司影響度高；（2）見解析，【解析】

（1）利用各小矩形的面積和等于1可得a，由導游人數為40人可得b，再由總收人不低于40可計算出優秀率；（2）易得總收入在中甲公司有4人，乙公司有2人，則甲公司的人數的值可能為1，2，3，再計算出相應取值的概率即可.【詳解】（1）由直方圖知，，解得，由頻數分布表中知：，解得.所以，甲公司的導游優秀率為：，乙公司的導游優秀率為：，由于，所以乙公司影響度高.（2）甲公司旅游總收入在中的有人，乙公司旅游總收入在中的有2人，故的可能取值為1，2，3，易知：，;.所以的分布列為：123P.【點睛】本題考查頻率分布直方圖、隨機變量的分布列與期望，考查學生數據處理與數學運算的能力，是一道中檔題.18、（1）列聯表見解析，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡有關；（2）分布列見解析，期望為.【解析】

（1）根據題中所給的條件補全列聯表，根據列聯表求出觀測值，把觀測值同臨界值進行比較，得到能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡有關.（2）首先確定的取值，求出相應的概率，可得分布列和數學期望.【詳解】（1）根據題意及列聯表可得完整的列聯表如下：35歲以下（含35歲）35歲以上合計使用移動支付401050不使用移動支付104050合計5050100根據公式可得，所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為支付方式與年齡有關.（2）根據分層抽樣，可知35歲以下（含35歲）的人數為8人，35歲以上的有2人，所以獲得獎勵的35歲以下（含35歲）的人數為，則的可能為1，2，3，且，，，其分布列為123.【點睛】獨立性檢驗依據的值結合附表數據進行判斷，另外，離散型隨機變量的分布列，在求解的過程中，注意變量的取值以及對應的概率要計算正確，注意離散型隨機變量的期望公式的使用，屬于中檔題目.19、（1）可以用線性回歸模型擬合與的關系；（2），預測2月10日全國累計報告確診病例數約有4.5萬人.【解析】

（1）根據已知數據，利用公式求得，再根據的值越大說明它們的線性相關性越高來判斷.（2）由（1）的相關數據，求得，，寫出回歸方程，然后將代入回歸方程求解.【詳解】（1）由已知數據得，，，所以，，所以.因為與的相關近似為0.99，說明它們的線性相關性相當高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關系.（2）由（1）得，，，所以，關于的回歸方程為：，2月10日，即代入回歸方程得：.所以預測2月10日全國累計報告確診病例數約有4.5萬人.【點睛】本題主要考查線性回歸分析和回歸方程的求解及應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.20、證明見解析【解析】

根據相似三角形的判定定理,已知兩個三角形有公共角,題中未給出線段比例關系,故可根據判定定理一需找到另外一組相等角,結合平面幾何的知識證得即可.【詳解】證明：∵，所以，又因為，所以．在與中，，，故~.【點睛】本題考查平面幾何中同弧所對的圓心角與圓周角的關系、相似三角形的判定定理;考查邏輯推理能力和數形結合思想;分析圖形，找出角與角之間的關系是證明本題的關鍵;屬于基礎題.21、（1）；（2）.【