第三章受迫振動在外部持續激勵作用下所產生的振動從外界不斷獲得能量補償阻尼消耗的能量，使系統得以維持振動。研究的次序從簡到繁：簡諧激勵、周期激勵、非周期激勵本章內容：3.1對簡諧激勵的響應3.2復頻率響應3.3隔振3.4振動測量儀器3.5簡諧力與阻尼力的功3.6等效粘性阻尼3.7系統對周期激勵的響應·傅里葉級數3.8系統對任意激勵的響應·卷積積分3.9系統對任意激勵的響應·傅里葉積分3.10用拉普拉斯變換法求系統響應·傳遞函數3.11復頻率響應與脈沖響應之間的關系3.1對簡諧激勵的響應xkcF(t)mkxF(t)（3.1.1）外力幅值外力的激勵頻率立動力學方程：非齊次微分方程通解齊次微分方程通解非齊次微分方程特解＝＋阻尼自由振動逐漸衰減瞬態振動持續等幅振動穩態振動本節內容先求穩態響應即方程的特解。它也是簡諧振動（3.1.2）其中X為穩態響應的振幅，代入方程，得到：由方程非齊次項的形式判斷，特解也是簡諧函數，設為：φ為相位差，是待定常數。比較方程等號兩邊同類項系數，得到：分子分母同除以k，并利用頻率比（3.1.2）從特解看出（1）線性系統對簡諧激勵的穩態響應是簡諧振動，振動頻率等同于激振頻率、而相位滯后激振力。（2）穩態響應的振幅及相位只取決于系統本身的物理性質（m,k,c）和激勵力的大小和頻率，而與初始條件無關.（3.1.7）（3.1.10）得到：常值力F0作用下的靜變形放大因子（幅頻特性）幅頻特性曲線

0123012345隨λ

的增大，β

先由小變大，后從大變小.

響應的振幅與靜變形相當.引入：穩態響應特性激振頻率遠大于系統固有頻率結論：響應的振幅可能很小.0123012345結論：在λ遠離1時，系統即使按無阻尼情況考慮也是可以的對應于不同值,曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著在λ

遠離1時，穩態響應特性結論：共振，振幅無窮大.（3）當對應于較小值，迅速增大當但共振對于來自阻尼的影響很敏感，在λ=1附近的區域內，增加阻尼使振幅明顯下降,阻尼較強時振幅變化平緩。

0123012345振幅無極值當穩態響應特性（4）對于有阻尼系統，并不出現在λ=1處，而且稍偏左共振峰0123012345相頻特性相頻特性曲線以λ為橫坐標畫出曲線相位差響應與激振力近乎同相響應與激振力反相（3）當共振時的相位差為，與阻尼無關0123090180有阻尼單自由度系統幾個圖形比較外部作用力規律：假設系統固有頻率：從左到右：無阻尼時，若λ=1，強迫振動動力學方程為：特解為：無阻尼系統共振時，振幅隨時間無限增大；共振現象是工程中需要研究的（3.1.18）響應初相位滯后于激勵π/2.重要課題，工程中通常取的區間為共振區，在共振區內振動會很強烈，會導致機械變形過大，甚至破壞。共振時振幅增大過程Otx無阻尼質量-彈簧系統，方程和初始條件為：求系統響應。將初始條件代上式：例3.1-1解：方程的通解為得：方程的解（系統的響應）為方程的全解：初始條件響應自由伴隨振動強迫響應特點：以系統固有頻率為振動頻率如果是零初始條件自由伴隨振動強迫響應即使在零初始條件下，也有自由振動與受迫振動相伴發生討論有阻尼系統對簡諧激勵的響應(過渡階段)初始條件響應自由伴隨振動，也是衰減的強迫振動利用前述相同的方法，有：①初始條件響應和自由伴隨振動x2tx1t兩種振動疊加的結果如圖。隨著時間的推移，暫態響應逐漸消失，而轉化為穩態響應。xt瞬態過程穩態過程②穩態振動兩部分都是衰減的自由振動暫態振動包括兩部分：圖示振動系統，剛性桿不計重量，在水平位置平衡，端部受激勵例3.1-2解：設鋼桿擺角為θ，由動力學得：系統的穩態響應為試列出振動微分方程，并求當ω=ωn時質點的振幅。令質點的振幅為3.2復頻率響應xkcF(t)mkxF(t)動力學方程（非齊次微分方程）：（2.1.2）

激勵為復變量，其實部和虛部分別表示對系統作用的是余弦激勵和正弦激勵。外力幅值外力的激勵頻率F為復數形式復數形式的求解有時更方便

響應x也為復變量，其實部和虛部分別表示系統對余弦激勵和正弦激勵的響應。穩態響應也是簡諧振動（復數形式）：（3.2-3）其中X為穩態響應的復振幅，φ為相位差。代入方程，得到：（3.2-5）H(ω)為激勵頻率ω的復函數，稱為復頻率響應（函數）。顯見x(t)與F(t)/k成正比，比例系數為：（3.2-6）H(ω)的絕對值是振幅與靜變形之比，即放大因子。（3.2-7）為求出相位差，由（3.2-6）式得：對比等號兩邊同類項系數得：也稱相頻特性H(ω)又稱為幅頻特性。不平衡質量激發的強迫振動。P41圖3.2-2兩個偏心質量m/2以角速度ω按相反方向轉動，偏心距e，例3.2-1解：設機器的鉛直方向位移為x，動力學方程：求系統強迫振動.機器總質量M。機器的振幅可改為：機械的振動為0.250.5

0.751.02.010100190180支承激勵引起的強迫振動。例3.2-2解：設質量只能作鉛直方向運動，位移為x，支承的運動為y:幅頻曲線01100.10.250.350.51.0可看出：當時，振幅恒為支承運動振幅Y當時，振幅恒小于Y這時，增加阻尼反而使振幅增大3.3隔振

機器設備運行會產生振動，為減少對環境的影響，通常在機器底部加裝彈簧、橡膠等，相當于彈簧和阻尼。隔振前機器傳到地基的力：隔振材料：k，c隔振后系統響應x：m隔振前kcm隔振后隔振后通過彈簧和阻尼傳到地基的力：通過k、c傳到地基上的力：kcm隔振后這是實際傳遞力的力幅與激勵力幅之比，稱為傳遞率.也稱隔振系數01100.10.250.350.51.0(1)不論阻尼大小，只有當阻尼比時，才有隔振效果.(2)(3)

3.4振動測量儀器基礎位移動力方程：振幅：kcm設x

為

m

相對于外殼的相對位移解為：0.250.5