機械振動中的動力學問題物理專題簡諧運動1．定義物體在跟偏離平衡位置的位移大小成正比，并且總指向平衡位置的回復力的作用下的振動，叫簡諧運動。表達式為：F=-kx（1）簡諧運動的位移必須是指偏離平衡位置的位移。也就是說，在研究簡諧運動時所說的位移的起點都必須在平衡位置處。（2）回復力是一種效果力。是振動物體在沿振動方向上所受的合力。（3）“平衡位置”不等于“平衡狀態”。平衡位置是指回復力為零的位置，物體在該位置所受的合外力不一定為零。（如單擺擺到最低點時，沿振動方向的合力為零，但在指向懸點方向上的合力卻不等于零，所以并不處于平衡狀態）（4）F=-kx是判斷一個振動是不是簡諧運動的充分必要條件。凡是簡諧運動沿振動方向的合力必須滿足該條件；反之，只要沿振動方向的合力滿足該條件，那么該振動一定是簡諧運動。2．幾個重要的物理量間的關系要熟練掌握做簡諧運動的物體在某一時刻（或某一位置）的位移x、回復力F、加速度a、速度v這四個矢量的相互關系。（1）由定義知：F∝x，方向相反。（2）由牛頓第二定律知：F∝a，方向相同。（3）由以上兩條可知：a∝x，方向相反。（4）v和x、F、a之間的關系最復雜：當v、a同向（即v、F同向，也就是v、x反向）時v一定增大；當v、a反向（即v、F反向，也就是v、x同向）時，v一定減小。3．從總體上描述簡諧運動的物理量振動的最大特點是往復性或者說是周期性。因此振動物體在空間的運動有一定的范圍，用振幅A來描述；在時間上則用周期T來描述完成一次全振動所須的時間。（1）振幅A是描述振動強弱的物理量。（一定要將振幅跟位移相區別，在簡諧運動的振動過程中，振幅是不變的而位移是時刻在改變的）（2）周期T是描述振動快慢的物理量。（頻率f=1/T也是描述振動快慢的物理量）周期由振動系統本身的因素決定，叫固有周期。任何簡諧運動都有共同的周期公式：

（其中m是振動物體的質量，k是回復力系數，即簡諧運動的判定式F=

-kx中的比例系數，對于彈簧振子k就是彈簧的勁度，對其它簡諧運動它就不再是彈簧的勁度了）。4.典型的簡諧運動--彈簧振子（1）周期

，與振幅無關，只由振子質量和彈簧的勁度決定。（2）豎直放置的彈簧振子的振動也是簡諧運動，周期公式也是

。

這個結論可以直接使用。（3）在水平方向上振動的彈簧振子的回復力是彈簧的彈力；

在豎直方向上振動的彈簧振子的回復力是彈簧彈力和重力的合力。例題1有一彈簧振子做簡諧運動，則

（

）A．加速度最大時，速度最大

B．速度最大時，位移最大C．位移最大時，回復力最大

D．回復力最大時，加速度最大解析：子加速度最大時，處在最大位移處，此時振子的速度為零，由F=

-kx知道，此時振子所受回復力最大，所以選項A錯，C、D對．振子速度最大時，是經過平衡位置時，此時位移為零，所以選項B錯．故正確選項為C、D小結：分析振動過程中各物理量如何變化時，一定要以位移為橋梁理清各物理量間的關系：位移增大時，回復力、加速度、勢能均增大，速度、動量、動能均減小；位移減小時，回復力、加速度、勢能均減小，速度、動量、動能均增大．各矢量均在其值為零時改變方向，如速度、動量均在最大位移處改變方向，位移、回復力、加速度均在平衡位置改變方向．例題2試證明豎直方向的彈簧振子的振動是簡諧運動．解析：如圖所示，設振子的平衡位置為O，向下方向為正方向，此時彈簧的形變為

，根據胡克定律及平衡條件有

mg-kx0=0①當振子向下偏離平衡位置為

時，回復力（即合外力）為

F回=mg-k(x+x0)②將①代人②得：F回=-kx，可見，重物振動時的受力符合簡諧運動的條件．小結：（1）分析一個振動是否為簡諧運動，關鍵是判斷它的回復力是否滿足其大小與位移成正比，方向總與位移方向相反．證明思路為：確定物體靜止時的位置——即為平衡位置，考查振動物體在任一點受到回復力的特點是否滿足

。（2）還要知道

中的k是個比例系數，是由振動系統本身決定的，不僅僅是指彈簧的勁度系數．關于這點，在這里應理解為是簡諧運動回復力的定義式．而且產生簡諧運動的回復力可以是一個力，也可以是某個力的分力或幾個力的合力．此題中的回復力為彈力和重力的合力．例題3如圖所示，質量為m的小球放在勁度為k的輕彈簧上，使小球上下振動而又始終未脫離彈簧。（1）最大振幅A是多大？（2）在這個振幅下彈簧對小球的最大彈力Fm是多大？解析：

該振動的回復力是彈簧彈力和重力的合力。在平衡位置彈力和重力等大反向，合力為零；在平衡位置以下，彈力大于重力，F-mg=ma，越往下彈力越大；在平衡位置以上，彈力小于重力，mg-F=ma，越往上彈力越小。平衡位置和振動的振幅大小無關。因此振幅越大，在最高點處小球所受的彈力越小。極端情況是在最高點處小球剛好未離開彈簧，彈力為零，合力就是重力。這時彈簧恰好為原長。（1）最大振幅應滿足kA=mg，

A=mg/k（2）小球在最高點和最低點所受回復力大小相同，所以有：

Fm-mg=mg，Fm=2mg例題4彈簧振子以O點為平衡位置在B、C兩點之間做簡諧運動．B、C相距20cm．某時刻振子處于B點．經過0.5s，振子首次到達C點．求：（1）振動的周期和頻率；（2）振子在5s內通過的路程及位移大?。唬?）振子在B點的加速度大小跟它距O點4cm處P點的加速度大小的比值解析：（1）設振幅為A，由題意BC＝2A＝10cm，所以A＝10cm．振子從B到C所用時間t＝0．5s．為周期T的一半，所以T＝1．0s；f＝1/T＝1．0Hz．（2）振子在1個周期內通過的路程為4A。故在t＝5s＝5T內通過的路程s＝t/T×4A＝200cm．5s內振子振動了5個周期，5s末振子仍處在B點，所以它偏離平衡位置的位移大小為10cm．（3）振子加速度a=-kx/m．a∝x，所以aB：aP＝xB：xp＝10：4＝5：2．例題5

如圖所示為一單擺的共振曲線，擺球的質量為0.1kg，求：