第六章

有限長單位沖激響應

FIR數字濾波器的設計方法第一節

引言一、IIR濾波器的優缺點IIR數字濾波器的優點：可以利用模擬濾波器設計的結果，而模擬濾波器的設計有大量圖表可查，方便簡單。IIR數字濾波器的缺點：相位的非線性，將引起頻率的色散，若須線性相位，則要采用全通網絡進行相位校正,使濾波器設計變得復雜，成本也高。二、FIRDF優點FIR濾波器在保證幅度特性滿足技術要求的同時，很容易做到有嚴格的線性相位特性。設FIR濾波器單位沖激響應h(n)長度為N，其系統函數H(z)為：H(z)是z-1的N-1次多項式，它在z平面上有N-1個零點，原點z=0是N-1階重極點。因此，H(z)永遠穩定。穩定和線性相位特性是FIR濾波器突出的優點。三、為何要設計FIR濾波器（1）語音處理，圖象處理以及數據傳輸要求線性相位，任意幅度。（即要求信道具有線性相位特性）而FIR數字濾波器具有嚴格的線性相位，而且同時可以具有任意的幅度特性。（2)另外FIR數字濾波器的單位抽樣響應是有限長的，因而濾波器一定是穩定的只要經過一定的延時，任何非因果有限長序列都變成因果的有限序列。（3)FIR可以用FFT算法來實現過濾信號。四、本章討論的內容具有線性相位FIR濾波器，設計方法有：窗口設計法頻率采樣設計法計算機輔助設計法五、FIRDF設計思路FIR濾波器的設計方法和IIR濾波器的設計方法有很大不同。FIRDF設計的含義是：根據設計指標，求解所選運算結構要求的h(n)或H(z)：線性卷積和快速卷積型結構，求FIRDF的h(n).級聯和頻率采樣型結構，求FIRDF的H(z).第二節

線性相位FIRDF的條件和特點一、FIR濾波器具有線性相位的條件對于長度為N的h(n),傳輸函數為：1、H(ejw)線性相位2、FIR濾波器具有線性相位的條件二、線性相位條件的證明我們將根據單位沖激響應h(n)的奇對稱和偶對稱進行討論。由下面討論可知：1、第一類線性相位條件證明-31、第一類線性相位條件證明-21、第一類線性相位條件證明32、第二類線性相位條件證明-12、第二類線性相位條件證明-22、第二類線性相位條件證明3注意三、線性相位FIR濾波器幅度特性H(w)的特點由于h(n)的長度N取奇數還是偶數，對H(w)的特性有影響，因此，對于兩類線性相位，下面我們分四種情況討論其幅度特性的特點：（1）h(n)=h(N-1-n)，即h(n)為偶對稱,N=奇數（2）h(n)=h(N-1-n),即h(n)為偶對稱，N=偶數（3）h(n)=-h(N-1-n)，即h(n)為奇對稱,N=奇數（4）h(n)=-h(N-1-n),即h(n)為奇對稱，N=偶數1.h(n)=h(N-1-n)，N=奇數2.h(n)=h(N-1-n)，N=偶數3.h(n)=-h(N-1-n)，N=奇數4.h(n)=-h(N-1-n)，N=偶數總結了解了線性相位FIR濾波器的各種特性，便可根據實際需要選擇合適的FIR濾波器，同時設計時要遵循有關約束條件。如：第3、4種情況，對于任何頻率都有一固定的相移，一般微分器及相移器采用這兩種情況，而選頻性濾波器則用第1、2種情況。(1)要設計一個線性相位的低通DF(2)要設計一個線性相位的高通DF(3)要設計一個線性相位的帶阻DF(4)要設計一個線性相位的帶通DF三、線性相位FIR濾波器零點分布特點線性相位FIR濾波器零點分布特點：零點必須是互為倒數的共軛對，確定其中一個，另外三個零點也就確定了。第三節

窗函數設計法一、設計方法

1.設計思路(1)先給定所要求設計的理想濾波器的頻率響應Hd(ejw).(2)設計一個FIR濾波器頻率響應H(ejw)（3）由于設計是在時域中進行，使所設計濾波器的h(n)去逼近理想單位取樣響應序列hd(n).（1）給定所要求的理想濾波器的頻率響應Hd(ejw)一般情況下，Hd(ejw)逐段恒定，在邊界頻率處有不連續點，因而hd(n)是無限時寬的，且是非因果序列。例：理想低通濾波器的傳輸函數Hd(ejw)--1(2)設計實際一個FIR濾波器H(ejw)例：設計截止頻率wc=/3延時為6的具有線性相位的FIR低通濾波器2、設計步驟（1）先由Hd(ejw)求付里葉反變換Hd(n).(2)砍頭去尾。因為我們要設計FIR濾波器h(n)是：(a)具有因果性t<0時，為0。-->砍頭(b)由于要求所設計濾波器是線性相位，所以要求其偶對稱，奇對稱，由于砍頭，所以必須去尾，讓它們中心對稱。即用有限長的h(n)去逼近無限長的hd(n).(3)利用卷積過程。即h(n)=W(n)?

hd(n)因此，窗函數序列的形狀及長度的選擇是設計關鍵。3、窗口法采用最有效的方法截斷hd(n)，或說是用一個有限長度的窗口函數序列W(n)來截取hd(n).即采用h(n)=W(n)hd(n)二、加窗得到的四種線性相位FIRDF1.低通2.高通3.帶通4.帶阻1、低通2、高通理想的線性相位高通DF的頻率特性為：其幅度特性：1由付氏反變換得：2、帶通理想的線性相位帶通DF的頻率特性為：1幅度特性相位特性若選擇相位有一個相移的理想的線性相位帶通DF的頻率特性為：1幅度特性相位特性4、帶阻三、濾波器頻率特性1、矩形窗口1、矩形窗口主瓣圖2、幾個特殊點-12、幾個特殊點-22、幾個特殊點-32、幾個特殊點-42、幾個特殊點-52、幾個特殊點-62、幾個特殊點-72、幾個特殊點-83、理想濾波器與實際濾波器之間的差別-13、理想濾波器與實際濾波器之間的差別-23、理想濾波器與實際濾波器之間的差別-34、如何改善過渡帶、肩峰、余振-14、如何改善過渡帶、肩峰、余振-2例子4、如何改善過渡帶、肩峰、余振-35、改善函數形狀標準-15、改善函數形狀標準-2例子-1例子-26、窗函數（1）矩形窗（2）三角形窗(3)升余弦窗（漢寧Hanning窗）-1左移右移倒余弦(3)升余弦窗（海寧Hanning窗）-2其頻譜特性：(3)升余弦窗（海寧Hanning窗）-3由于頻譜是由三個互有頻移的不同幅值的矩形窗函數相加而成，這樣使旁瓣大大抵消，從而能量相當有效地集中在主瓣內。其代價:主瓣加寬一倍，可達到減少肩峰，余振，提高阻帶衰減。缺點：過濾帶加大(4)改進的升余弦窗（漢明Hanning窗）-1(4)改進的升余弦窗（漢明Hanning窗）-2(5)二階升余弦窗（布拉克曼Blackman窗）-1(5)二階升余弦窗（布拉克曼Blackman窗）-2(5)二階升余弦窗（布拉克曼Blackman窗）-3(6)凱塞窗（Kaiser窗）-1

以上幾種窗函數是各以一定主瓣加寬為代價，來換取某種程度的旁瓣抑制，而凱窗則是：全面地反映主瓣與旁瓣衰減之間的交換關系，可以在它們兩者之間自由地選擇它們的比重。IIR和FIR濾波器的比較前面討論了IIR和FIR兩種濾波器傳輸函數的設計方法。這兩種濾波器究竟各自有什么特點？在實際運用時應該怎樣去選擇它們呢？為此對這兩種濾波器作一簡單的比較。1.從性能上比較2.從結構上比較3.從設計工具上比較1、從性能上進行比較從性能上來說，IIR濾波器傳輸函數的極點可位于單位園內的任何地方，因此可用較低的階數獲得高的選擇性，所用的存貯單元少，所以經濟而效率高。但是這個高效率是以相位的非線性為代價的。選擇性越好，則相位非線性越嚴重。相反，FIR濾波器卻可以得到嚴格的線性相位，然而由于FIR濾波器傳輸函數的極點固定在原點，所以只能用較高的階數達到高的選擇性；對于同樣的濾波器設計指標，FIR濾波器所要求的階數可以比IIR濾波器高5~10倍，結果，成本較高，信號延時也較大；如果按相同的選擇性和相同的線性要求來說，則IIR濾波器就必須加全通網絡進行相位較正，同樣要大增加濾波器的節數和復雜性。從結構上看IIR濾波器必須采用遞歸結構，極點位置必須在單位圓內，否則系統將不穩定。另外，在這種結構中，由于運算過程中對序列的舍入處理，這種有限字長效應有時會引入寄生振蕩。相反，FIR濾波器主要采用非遞歸結構，不論在理論上還是在實際的有限精度運算中都不存在穩定性問題，運算誤差也較小。此外，FIR濾波器可以采用快速付里葉變換算法，在相同階數的條件下，運算速度可以快得多。從設計工具看IIR濾波器可以借助于模擬濾波器的成果，因此一般都有有效的封閉形式的設計公式可供準確計算，計算工作量比較小，對計算工具的要求不高。FIR濾波器設計則一般沒有封閉形式的設計公式。窗口法雖然僅僅對窗口函數可以給出計算公式，但計算通帶阻帶衰減等仍無顯式表達式。一般，FIR濾波器的設計只有計算程序可循，因此對計算工具要求較高。另外IIR濾波器雖然設計簡單，但主要是用于設計具有片段常數特性的濾波器，如低通、高通、帶通及帶阻等，往往脫離不了模擬濾波器的格局。而FIR濾波器則要靈活得多，尤其它能易于適應某些特殊的應用，如構成微分器或積分器，或用于Butterworth、Chebyshev等逼近不可能達到預定指標的情況，例如，由于某些原因要求三角形振幅響應或一些更復雜的幅頻響應，因而有更大的適