第五章

異方差性

根據四川省2000年21個地市州醫療機構數與人口數資料，分析醫療機構與人口數量的關系，建立衛生醫療機構數與人口數的回歸模型。對模型估計的結果如下：

式中表示衛生醫療機構數（個），表示人口數量（萬人)引子：更為接近真實的結論是什么？人口數量對應參數的標準誤差較小；

t統計量遠大于臨界值，可決系數和修正的可決系數結果較好，F檢驗結果明顯顯著；表明該模型的估計效果不錯，可以認為人口數量每增加1萬人，平均說來醫療機構將增加5.3735人。然而，這里得出的結論可能是不可靠的，平均說來每增加1萬人口可能并不需要增加這樣多的醫療機構，所得結論并不符合真實情況。有什么充分的理由說明這一回歸結果不可靠呢？更為接近真實的結論又是什么呢？模型顯示的結果和問題4

本章討論四個問題：●異方差的實質和產生的原因●異方差產生的后果●異方差的檢測方法●異方差的補救第五章異方差性5第一節異方差性的概念

本節基本內容：

●異方差性的實質●異方差產生的原因6

一、異方差性的實質

同方差的含義

同方差性：對所有的有：（5.1）因為方差是度量被解釋變量的觀測值圍繞回歸線（5.2）的分散程度，因此同方差性指的是所有觀測值的分散程度相同。

7

設模型為如果對于模型中隨機誤差項有：則稱具有異方差性。進一步，把異方差看成是由于某個解釋變量的變化而引起的，則

異方差性的含義(5.4)(5.3)8

圖形表示

異方差的類型

同方差：i2=常數

f(Xi)

異方差：i2=f(Xi)異方差一般可歸結為三種類型：

(1)單調遞增型：i2隨X的增大而增大

(2)單調遞減型：i2隨X的增大而減小

(3)復雜型：i2與X的變化呈復雜形式實際經濟問題中的異方差性

高收入家庭：儲蓄的差異較大低收入家庭：儲蓄則更有規律性，差異較小i的方差呈現單調遞增型變化截面資料下研究居民家庭的儲蓄行為:

Yi=0+1Xi+iYi:第i個家庭的儲蓄額Xi:第i個家庭的可支配收入。以絕對收入假設為理論假設、以截面數據為樣本建立居民消費函數：

Ci=0+1Yi+i

將居民按照收入等距離分成n組，取組平均數為樣本觀測值。一般情況下，居民收入服從正態分布：中等收入組人數多，兩端收入組人數少。而人數多的組平均數的誤差小，人數少的組平均數的誤差大。所以樣本觀測值的觀測誤差隨著解釋變量觀測值的不同而不同，往往引起異方差性。較高收入的家庭比低收入家庭有更多的儲蓄，并在儲蓄過程中有更多的變異/家庭的支出模式異方差的現實情境：（1)邊錯邊改學習模型。隨著打字練習，出錯（誤差會減少）（2）隨著備用收入的增加，人們支配他們的收入有著更多的選擇范圍（3）異常值的出現。和其他值相比，非常大或非常小。包括或不包括這樣一個觀測值，尤其是在樣本很小的時候，會改變樣本回歸的結果。（4）分布偏態問題（skewness)一個或多個回歸元的分布偏態，大多數社會中收入和財富的分配都是不對稱的，處在頂端少數幾個人擁有大部分的收入和財富。以某一行業的企業為樣本建立企業生產函數模型：

Yi=Ai1

Ki2

Li3ei

被解釋變量：產出量Y

解釋變量：資本K、勞動L、技術A，

那么：每個企業所處的外部環境對產出量的影響被包含在隨機誤差項中。大公司的利潤變化幅度要比小公司的利潤變化幅度大，即大公司的利潤方差比小公司的利潤方差大。利潤方差的大小取決于公司的規模、產業特點和研發支出等因素。

每個企業所處的外部環境對產出量的影響程度不同，造成了隨機誤差項的異方差性。這時，隨機誤差項的方差并不隨某一個解釋變量觀測值的變化而呈規律性變化，呈現復雜型。17

（一）模型中省略了某些重要的解釋變量

假設正確的計量模型是：假如略去，而采用

當被略去的與有呈同方向或反方向變化的趨勢時,隨的有規律變化會體現在（5.5）式的中。（5.5）二、產生異方差的原因18（二）模型的設定誤差

模型的設定主要包括變量的選擇和模型數學形式的確定。模型中略去了重要解釋變量常常導致異方差，實際就是模型設定問題。除此而外，模型的函數形式不正確，如把變量間本來為非線性的關系設定為線性，也可能導致異方差。（三）數據的測量誤差

樣本數據的觀測誤差有可能隨研究范圍的擴大而增加，或隨時間的推移逐步積累，也可能隨著觀測技術的提高而逐步減小。

20（四）截面數據中總體各單位的差異通常認為，截面數據較時間序列數據更容易產生異方差。這是因為同一時點不同對象的差異，一般說來會大于同一對象不同時間的差異。不過，在時間序列數據發生較大變化的情況下，也可能出現比截面數據更嚴重的異方差。21第二節異方差性的后果

本節基本內容：

●對參數估計統計特性的影響●對參數顯著性檢驗的影響●對預測的影響

22一、對參數估計統計特性的影響（一）參數估計的線性性仍然滿足（二）參數估計的無偏性仍然滿足參數估計的無偏性僅依賴于基本假定中的零均值假定（即）。所以異方差的存在對無偏性的成立沒有影響。（二）參數估計的方差不再是最小的同方差假定是OLS估計方差最小的前提條件，所以隨機誤差項是異方差時，將不能再保證最小二乘估計的方差最小。24

二、對參數顯著性檢驗的影響由于異方差的影響，使得無法正確估計參數的標準誤差，導致參數估計的t統計量的值不能正確確定，所以，如果仍用t統計量進行參數的顯著性檢驗將失去意義。

25盡管參數的OLS估計量仍然無偏，并且基于此的預測也是無偏的，但是由于參數估計量不是有效的，從而對Y的預測也將不是有效的。

三、對預測的影響

所以，當模型出現異方差性時，參數OLS估計值的變異程度增大，從而造成對Y的預測誤差變大，降低預測精度，預測功能失效。26第三節異方差性的檢驗常用檢驗方法:●圖示檢驗法●Goldfeld-Quanadt檢驗●White檢驗●ARCH檢驗檢驗思路：

由于異方差性就是相對于不同的解釋變量觀測值，隨機誤差項具有不同的方差。那么：檢驗異方差性，也就是檢驗隨機誤差項的方差與解釋變量觀測值之間的相關性及其相關的“形式”。28一、圖示檢驗法

（一）相關圖形分析方差描述的是隨機變量取值的（與其均值的）離散程度。因為被解釋變量與隨機誤差項有相同的方差，所以利用分析與的相關圖形，可以初略地看到的離散程度與之間是否有相關關系。如果隨著的增加，的離散程度為逐漸增大（或減小）的變化趨勢，則認為存在遞增型（或遞減型）的異方差。29用1998年四川省各地市州農村居民家庭消費支出與家庭純收入的數據，繪制出消費支出對純收入的散點圖,其中用表示農村家庭消費支出，表示家庭純收入。圖形舉例用X-Y的散點圖進行判斷看是否存在明顯的散點擴大、縮小或復雜趨勢（即不在一個固定的帶型域中）30設一元線性回歸模型為：

運用OLS法估計,得樣本回歸模型為：由上兩式得殘差：繪制出對的散點圖◆如果不隨而變化，則表明不存在異方差；◆如果隨而變化，則表明存在異方差。

（二）殘差圖形分析32二、Goldfeld-Quanadt檢驗

作用：檢驗遞增性(或遞減性)異方差。

基本思想：將樣本分為兩部分，然后分別對兩個樣本進行回歸，并計算兩個子樣的殘差平方和所構成的比，以此為統計量來判斷是否存在異方差。（一）檢驗的前提條件

1、要求檢驗使用的為大樣本容量。

2、除了同方差假定不成立外，其它假定均滿足。是常數。值越大，值也越大33（二）檢驗的具體做法1.排序將解釋變量的取值按從小到大排序。2.數據分組將排列在中間的約1/4的觀察值刪除掉，記為，再將剩余的分為兩個部分，每部分觀察值的個數為。3.提出假設344.構造F統計量

分別對上述兩個部分的觀察值求回歸模型，由此得到的兩個部分的殘差平方為和。為前一部分樣本回歸產生的殘差平方和，為后一部分樣本回歸產生的殘差平方和。它們的自由度均為，為參數的個數。

35

在原假設成立的條件下，因和自由度均為，分布，可導出：

（5.13）365.判斷給定顯著性水平，查F分布表得臨界值計算統計量。如果則拒絕原假設，接受備擇假設，即模型中的隨機誤差存在異方差。回過頭來再想想：為啥要把處于中間的樣本量去掉？!38●要求大樣本●異方差的表現既可為遞增型，也可為遞減型●檢驗結果與選擇數據刪除的個數的大小有關●只能判斷異方差是否存在，在多個解釋變量的情下，對哪一個變量引起異方差的判斷存在局限。（三）檢驗的特點39三、White檢驗（一）基本思想：

不需要關于異方差的任何先驗信息，只需要在大樣本的情況下，將OLS估計后的殘差平方對常數、解釋變量、解釋變量的平方及其交叉乘積等所構成一個輔助回歸，利用輔助回歸建立相應的檢驗統計量來判斷異方差性。

40(二)檢驗的特點要求變量的取值為大樣本不僅能夠檢驗異方差的存在性，同時在多變量的情況下，還能判斷出是哪一個變量引起的異方差。

懷特檢驗并不要求排序，也不依賴正態性假定。41（三）檢驗的基本步驟：以一個二元線性回歸模型為例，設模型為：并且，設異方差與的一般關系為

其中為隨機誤差項。421.求回歸估計式并計算用OLS估計式（5.14），計算殘差，并求殘差的平方。2.求輔助函數用殘差平方作為異方差的估計，并建立的輔助回歸，即（5.15）

高次方交叉項每個解釋變量的一次方433.計算

利用求回歸估計式（5.15）得到輔助回歸函數的可決系數，為樣本容量。4.提出假設

445.檢驗

在零假設成立下，有漸進服從自由度為5的分布。給定顯著性水平,查分布表得臨界值，如果,則拒絕原假設，表明模型中隨機誤差存在異方差。評述：（1）如果模型有多個回歸元，那么引進所有的回歸元，它們的平方（或更高次方）項，以及它們的交叉乘積項就會迅速消耗掉許多的自由度。因此，在使用懷特檢驗時要保持警覺。（2）若懷特檢驗程序中沒有出現交叉項，則是對純粹異方差的檢驗。若出現交叉項，則既是對異方差又是對設定偏誤的檢驗。46（一）ARCH過程設ARCH

過程為

為ARCH過程的階數,并且為隨機誤差。（二）檢驗的基本思想在時間序列數據中，可認為存在的異方差性為ARCH過程，并通過檢驗這一過程是否成立去判斷時間序列是否存在異方差。

四、ARCH檢驗471.提出原假設

2.參數估計并計算對原模型作OLS估計，求出殘差，并計算殘差平方序列，以分別作為對的估計。（三）ARCH檢驗的基本步驟483.求輔助回歸

（5.17）4.檢驗計算輔助回歸的可決系數與的乘積。在成立時，基于大樣本，漸進服從分布。給定顯著性水平，查分布表得臨界值，如果

，則拒絕原假設，表明模型中得隨機誤差存在異方差。49●變量的樣本值為大樣本●數據是時間序列數據●只能判斷模型中是否存在異方差，而不能診斷出哪一個變量引起的異方差。（四）檢驗的特點50五、Glejser檢驗（一）檢驗的基本思想由OLS法得到殘差，取得絕對值，然后將對某個解釋變量回歸，根據回歸模型的顯著性和擬合優度來判斷是否存在異方差。（二）檢驗的特點不僅能對異方差的存在進行判斷，而且還能對異方差隨某個解釋變量變化的函數形式進行診斷。該檢驗要求變量的觀測值為大樣本。51（三）檢驗的步驟

1.建立模型并求根據樣本數據建立回歸模型，并求殘差序列

2.尋找與的最佳函數形式用殘差絕對值對進行回歸，用各種函數形式去試，尋找最佳的函數形式。523.判斷根據選擇的函數形式作對的回歸，作為的替代變量，對所選函數形式回歸。用回歸所得到的、、等信息判斷，若參數顯著不為零，即認為存在異方差性。每一種檢驗方法都不是一種精確的檢驗方法。如果這種方法檢驗沒有異方差，不能說明不存在異方差。可以用其他方法檢驗一下，確保嚴謹性。54第四節異方差性的補救措施

主要方法:

●模型變換法

●

加權最小二乘法

●模型的對數變換55以一元線性回歸模型為例：經檢驗存在異方差，且

其中是常數，是的某種函數。

一、模型變換法56變換模型時，用除以模型的兩端得：

記則有：

57隨機誤差項的方差為

經變換的模型的隨機誤差項已是同方差，常見的設定形式及對應的情況

函數形式58二、加權最小二乘法以一元線性回歸模型為例：

經檢驗存在異方差，且：其中是常數，是的某種函數。59（一）基本思路

區別對待不同的。對較小的,給予較大的權數，對較大的給予較小的權數，從而使更好地反映對殘差平方和的影響。

最小二乘法的實質：方差比較小，信息含量比較可靠，我們賦予一個較大的權重。方差較大，信息不太可靠，我們賦予一個較小的權重。60（二）具體做法

1.選取權數并求出加權的殘差平方和通常取權數，當越小時，越大。當越大時，越小。將權數與殘差平方相乘以后再求和，得到加權的殘差平方和：\612.求使滿足的根據最小二乘原理，若使得加權殘差平方和最小，則：

其中：62三、模型的對數變換

在經濟意義成立的情況下，如果對模型：作對數變換，其變量和分別用和代替，即：

對數變換后的模型通常可以降低異方差性的影響：

◆運用對數變換能使測定變量值的尺度縮小。

◆經過對數變換后的線性模型，其殘差表示相對誤差往往比絕對誤差有較小的差異。

注意：對變量取對數雖然能夠減少異方差對模型的影響，但應注意取對數后變量的經濟意義。63第五節案例分析一、問題的提出和模型設定為了給制定醫療機構的規劃提供依據，分析比較醫療機構與人口數量的關系，建立衛生醫療機構數與人口數的回歸模型。假定醫療機構數與人口數之間滿足線性約束，則理論模型設定為：其中表示衛生醫療機構數，表示人口數。

四川省2000年各地區醫療機構數與人口數

地區人口數（萬人）醫療機構數（個）地區人口數（萬人）醫療機構數（個）

成都1013.36304眉山339.9827自貢315911宜賓508.51530攀枝花103934廣安438.61589瀘州463.71297達州620.12403德陽379.31085雅安149.8866綿陽518.41616巴中346.71223廣元302.61021資陽488.41361遂寧3711375阿壩82.9536內江419.91212甘孜88.9594樂山345.91132涼山402.41471南充709.24064

65二、參數估計

估計結果為:66三、檢驗模型的異方差（一）圖形法

1.EViews軟件操作

由路徑：Quick/QstimateEquation，進入EquationSpecification窗口，鍵入，點“ok”，得樣本回歸估計結果，見教材表5.2。

67（1）生成殘差平方序列。在得到表5.2估計結果后，用生成命令生成序列，記為。生成過程如下，先按路徑：Procs/GenerateSeries，進入GenerateSeriesbyEquation對話框，鍵入下式并點“OK”即可：68生成序列圖示69（2）繪制對的散點圖。選擇變量名與。（注意選擇變量的順序，先選的變量將在圖形中表示橫軸，后選的變量表示縱軸），進入數據列表，再按路徑view/graph/scatter，可得散點圖，見右圖：702.判斷由圖可以看出，殘差平方對解釋變量的散點圖主要分布在圖形中的下三角部分，大致看出殘差平方隨的變動呈增大的趨勢，因此，模型很可能存在異方差。但是否確實存在異方差還應通過更進一步的檢驗。71（二）Goldfeld-Quanadt檢驗1.EViews軟件操作（1）對變量取值排序（按遞增或遞減）。在Procs菜單里選SortCurrentPage/SortWorkfileSeries命令，出現排序對話框，鍵入，如果以遞增型排序，選“Ascenging”，如果以遞減型排序，則應選“Descending”，點ok。本例選遞增型排序，這時變量與將以按遞增型排序。（2）構造子樣本區間，建立回歸模型。在本例中，樣本容量，刪除中間1/4的觀測值，即大約5個觀測值，余下部分平分得兩個樣本區間：1—8和14—21，它們的樣本個數均是8個，即

72在Sample菜單里，將區間定義為1—8，然后用OLS方法求得如下結果(表1)73在Sample菜單里,將區間定義為14—21，再用OLS方法求得如下結果(表2)74（3）求F統計量值。基于表1和表2中殘差平方和的數據，即Sumsquaredresid的值。由表1計算得到的殘差平方和為，由表2計算得到的殘差平方和為。根據Goldfeld-Quanadt檢驗，F統計量為

75

（4）判斷在下，式中分子、分母的自由度均為6，查F分布表得臨界值為：因為，所以拒絕原假設，表明模型確實存在異方差。76（三）White檢驗

由表5.2估計結果，按路徑view/residu