第一章數值及其編碼表示1.1二進制數值的編碼表示1.2二—十進制的編碼表示1.3定點數與浮點數1.4非數值信息的表示習題一1.1二進制數值的編碼表示1.1.1原碼表示

原碼（TrueForm）是比較容易理解的一種數值編碼。原碼用0表示正號，用1表示負號。原碼的碼值等于真值的絕對值。根據原碼的表示方法可知：［+0］原＝000…0，［-0］原＝100…0。就是說真值0在原碼表示中不唯一，換句話說［X］原與真值X不是一一對應的。由真值轉換為原碼，則將正號用0表示，負號用1表示，數值位照寫即可。由原碼轉換為真值，則將符號位0寫成+，1寫成-，數值位不變，可簡單表示為：原碼表示簡單、直觀，但用原碼進行加減運算比較復雜。下面介紹應用更為廣泛的另一種編碼——補碼。1.1.2補碼表示

與原碼相同，補碼(Two'sComplement)也用0表示正號，用1表示負號。當真值X≥0時，補碼的碼值等于真值X；當真值X＜0時，補碼的碼值是將真值X各數值位按位取反，末位加1。根據補碼的表示方法可推知補碼具有以下特點：（1）零的補碼是唯一的，即［0］補＝000…0，換句話說，［X］補與X是一一對應的，在這點上補碼優于原碼。（2）根據補碼的表示方法可推知補碼與真值、原碼之間的轉換關系。當真值X≥0時，正數的補碼與原碼形式相同，碼值等于真值，由真值求其補碼和原碼，只需將“+”用“0”表示，數值位照寫即可，反過來由補碼或原碼求真值，將符號位（最高位）的“0”寫成“+”，數值位也照寫即可求得，可簡單表示為：當真值X＜0，即將負數的補碼轉換為真值時，只需將符號位1寫為負號(-)，數值各位按位取反，末位加1即可，簡單表示如下：因為原碼體現的是絕對值，除了用“1”表示符號“-”以外，數值位與真值相同，故可將負數補碼與原碼之間的轉換關系表示為：例1.1

已知真值X1=+0.1011，X2=0，X3=-0.1101，若用5位二進制數表示，求其原碼及補碼。

解：

［X1］原

=0.1011 ［X1］補

=0.1011

［X2］原

=0.0000 或［X2］原

=1.0000［X2］補=0.0000

［X3］原

=1.1101 ［X3］補

=1.0011

例1.2

已知整數補碼［X1］補

=01010，［X2］補

=10101，［X3］補

=10000，最高位代表符號，若用5位二進制數表示，求其真值及原碼。

解：真值X1=+01010=+10D ［X1］原

=01010

真值X2=-01011=-11D ［X2］原

=11011

真值X3=-10000=-16D ［X3］原超出表示范圍（3）補碼的算術右移。算術右移就是除以2的運算。由［X］補求 的簡便方法是把［X］補連同符號位在內各位右移一位，同時符號位保持不變，可簡單表示為：例1.3

已知［X1］補

=0.1110，［X2］補

=1.0110，［X3］補

=1.0000，若用5位二進制數表示，求解：

（4）補碼的算術左移。算術左移就是乘以2的運算，與算術右移不同，左移有可能產生溢出。由［X］補求［2X］補的簡便方法是將［X］補的各位左移一位，末位補0，可簡單表示為：

例1.4

已知補碼［X1］補

=0.0101，［X2］補

=1.0101，若用5位二進制數表示，求［2X1］補

=？［2X2］補

=？

解：

［2X1］補

=0.1010 未溢出［2X2］補

=10.1010 溢出（5）補碼的符號位擴展。符號位的擴展只對定點整數補碼而言，例如如何將一個8位表示的整數補碼擴展為16位的整數補碼，而其真值不變。將整數補碼擴大n位，并使其真值不變，只需將［X］補的符號位向左復制n位即可。

例1.5

已知［X1］補

=0101，［X2］補=1010。將其擴展一個字節。

解：［X1］補

=00000101

［X2］補

=11111010要將n位純小數補碼變為2n位，只需在末尾添加n個“0”即可。1.2二—十進制的編碼表示十進制數的基是10，它不是2的整數冪，必須用二進制數對十進制數進行編碼。一位十進制數由0～9共10個不同的數字字符表示，需要用四位一組的二進制來編碼。而24=16＞10，這就使得二—十進制有多種編碼方案，二—十進制編碼簡稱為BCD碼（Binary-CodedDecimal）。二—十進制編碼又可分為有權碼和無權碼兩種。有權碼與無權碼都有多種編碼方式。目前在計算機中應用最廣泛的有權碼是8421碼，應用較廣泛的無權碼有余三碼。這兩種編碼與十進制數碼的對應關系如表1-1所示。表1–1二—十進制編碼對應關系

8421碼4位二進制的權依次為8，4，2，1，并由此得名。

8421碼中有效碼是0000～1001，1010～1111，共6種，為非法碼，其編碼簡單，每個碼相當于十進制數碼所對應的二進制數。從表1-1中可看到余3碼中任何一個編碼的二進制數都比它對應的十進制數多3，故稱為余3碼。余3碼的非法碼也有6個，即0000，0001，0010，1101，1110，1111。1.3定點數與浮點數

1.3.1定點數

定點數是指小數點位置固定不變的數。小數點的位置通常只有兩種約定，小數點約定在最低數位右面的數稱為定點整數，可用來表示一個純整數。小數點約定在符號位右面，最高數位左面的數稱為定點小數，可用來表示一個純小數。無符號定點整數，即正整數，不需設符號位，所有各數位都用來表示數值大小，并約定小數點在最低數位右面。在定點整數或定點小數的表示法中，參加運算的數以及運算的結果必須在該定點數所能表示的數值范圍之內，否則“溢出”。當發生溢出時，CPU中的狀態標志寄存器FR中的溢出標志位OF置位（即1→OF），并轉入溢出處理。1.3.2浮點數

定點數的表示比較單一，要么純整數，要么純小數，表示數的范圍比較小，運算過程中也很容易發生溢出。計算機中也引入了類似于十進制的科學標識法（如1.23456×104）來表示二進制實數，這種方法用來表示值很大或很小的數，也可用它來表示既有整數又有小數的數。這種表示法稱為浮點表示法，其小數點的實際位置隨指數（階）的大小而浮動。浮點數由兩部分組成：階碼E（Exponent）和尾數M（Mantissa）。浮點數表示的數值為M×RE。若尾數M為m位，階碼E為e位，則典型的浮點數格式如圖1.1所示。圖1.1浮點數格式圖中，E是階碼，即指數，為帶符號定點整數，可用補碼表示。Es為階符，表示階的正負。階為正，小數點實際位置向右浮動，階為負，小數點實際位置向左浮動。

M是尾數，是帶符號的定點純小數，常用補碼表示。Ms是尾數的符號位，安排在最高位，表示該浮點數的正負。小數點的位置約定在階碼最低位的右面，尾數最高數值位的左面，如圖1.1所示。

R是階碼的底，也就是尾數M的基（Radix）。一般基定為2，它是隱含約定的。浮點數的表示范圍主要由階碼的位數決定，精度則主要由尾數的位數決定。1.4非數值信息的表示1.4.1邏輯數據

邏輯數據是用一位二進制數來表示的。因為一位二進制數只具有兩種可能的值：0或1，可以直接表示事物相對立的兩個方面。比如一個事件成立用“1”表示，不成立則用“0”表示，另外還有“真”和“假”、“是”和“否”、“有”和“無”，都可以看作邏輯數據。邏輯數據在計算機中雖然也具有“0”或“1”的形式，但是邏輯數據的“0”和“1”代表的是邏輯概念，完全沒有“0”和“1”的數值概念，而且邏輯數據的取值只有“0”和“1”兩個值，不可能再有其它值。邏輯數據表達的是事物的邏輯關系，而數值數據表達的是事物的數量關系。計算機便是建立在與、或、非等邏輯運算基礎之上的。計算機通過對邏輯數據的比較、判斷、運算，可以完成邏輯推理、定理證明等一系列復雜的工作。1.4.2字符編碼ASCII

計算機中除了使用數字外，還大量使用英文字母及一些符號，這些符號稱為“字符”。目前使用最廣泛的字符編碼方案是美國國家信息交換標準代碼(AmericanStandardCodeforInformationInterchange)，簡稱ASCII碼。ASCII碼選用了128個常用字符，用7位二進制編碼，如果再加上一位奇偶校驗位，則正好是用一個字節表示一個字符的ASCII碼。表1-2給出了128個字符與其ASCII碼的對應關系，表中的ASCII碼用十六進制碼表示。從表1-2中可以看出，ASCII碼包括0~9共10個數字字符(其值分別為30H加上相應的數字值)，它與數據的二—十進制編碼是兩回事，26個大寫英文字母(其值分別為４0H加上字母的順序號)，26個小寫英文字母(其值分別為６0H加上字母的順序號)，一些通用符號和一些控制字符。這些字符的種類可滿足各種程序設計語言、控制命令、西文文字等的需要。我國原電子部規定的一套部標字符編碼與表1-2基本相同。在計算機中，一個字符的ASCII碼占用主存儲器的一個字節單元；如果是字符序列，則占用主存多個連續的字節單元。通用鍵盤的大部分鍵，與最常用的ASCII編碼的字符相對應。當敲擊鍵盤上某字符鍵時，由譯碼電路產生與該字符對應的ASCII碼。計算機處理的結果也常以ASCII碼形式輸出，供顯示與打印使用。習題一

1.1分別寫出下列各十進制數的原碼和補碼，用8位二進制小數表示（含一位符號位）：

1.2分別寫出下列各十進制整數的原碼和補碼，用8位二進制整數表示（含一位符號位）。

-128，+127，-127，105，-64，-1

1.3若認為小數點約定在8位二進制數的最右端（整數），試分別寫