學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE13學必求其心得，業必貴于專精PAGE1．1利用函數性質判定方程解的存在學習目標1.理解函數的零點、方程的根與圖像交點三者之間的關系.2.會借助零點存在性定理判斷函數的零點所在的大致區間.3。能借助函數單調性及圖像判斷零點個數．知識點一函數的零點概念思考函數的“零點"是一個點嗎？梳理概念：函數y＝f（x)的零點是函數y＝f（x)的圖像與橫軸的交點的__________．方程、函數、圖像之間的關系：方程f（x)＝0______________?函數y＝f（x）的圖像________________?函數y＝f(x）__________．知識點二零點存在性定理思考函數零點有時是不易求或求不出來的．如f(x）＝lgx＋x。但函數值易求，如我們可以求出f（eq\f(1，10))＝lgeq\f（1，10)＋eq\f(1,10)＝－1＋eq\f(1，10）＝－eq\f(9，10），f(1）＝lg1＋1＝1。那么能判斷f(x）＝lgx＋x在區間eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，10）,1）)內有零點嗎？梳理若函數y＝f（x）在閉區間[a,b]上的圖像是______________，并且在區間端點的函數值符號相反，即________________,則在區間(a，b)內,函數y＝f(x)至少有一個零點,即相應的方程f（x)＝0在區間(a，b)內至少有一個實數解．這個結論可稱為函數零點的存在性定理．類型一求函數的零點例1函數f(x）＝（lgx)2－lgx的零點為________．反思與感悟函數y＝f(x）的零點就是方程f（x)＝0的實數根，也就是函數y＝f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標，所以函數的零點是一個數，而不是一個點．在寫函數零點時，所寫的一定是一個數字,而不是一個坐標．跟蹤訓練1函數f(x）＝（x2－1）（x＋2)2（x2－2x－3)的零點個數是________．類型二判斷函數的零點所在的區間例2根據表格中的數據，可以斷定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一個根所在的區間是（)x－10123ex0。3712.727。4020.12x＋212345A.(－1，0) B．（0,1）C．(1,2) D．（2,3）反思與感悟在函數圖像連續的前提下，f(a）·f(b）＜0，能判斷在區間（a，b）內有零點,但不一定只有一個；而f（a）·f（b）＞0，卻不能判斷在區間（a，b）內無零點．跟蹤訓練2若函數f(x)＝3x－7＋lnx的零點位于區間（n，n＋1）(n∈N)內，則n＝________.類型三函數零點個數問題eq\x（命題角度1判斷函數零點個數)例3求函數f（x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點個數．反思與感悟判斷函數零點個數的方法主要有：（1)可以利用零點存在性定理來確定零點的存在性，然后借助函數的單調性判斷零點的個數．(2)利用函數圖像交點的個數判定函數零點的個數．跟蹤訓練3求函數f（x)＝lnx＋2x－6零點的個數．eq\x（命題角度2根據零點情況求參數范圍）例4f（x）＝2x·（x－a）－1在(0，＋∞)內有零點，則a的取值范圍是()A．(－∞，＋∞） B．（－2，＋∞)C．（0，＋∞） D．（－1，＋∞)反思與感悟為了便于限制零點個數或零點所在區間，通常要對已知條件進行變形，變形的方向是：（1)化為常見的基本初等函數；（2）盡量使參數與變量分離，實在不能分離，也要使含參數的函數盡可能簡單．跟蹤訓練4若函數f（x)＝x2＋2mx＋2m＋1在區間（－1,0）和（1，2）內各有一個零點，則實數m的取值范圍是（)A．(－∞,1－eq\r(2）]∪［1＋eq\r(2），＋∞)B．（－∞，1－eq\r（2））∪（1＋eq\r(2)，＋∞）C．［－eq\f(5,6)，－eq\f(1，2)］D．(－eq\f(5，6),－eq\f(1，2))1．函數y＝x的零點是(）A．（0，0)B．x＝0C．x＝1D．不存在2．函數f(x)＝x2－2x的零點個數是(）A．0B．1C．2D．33．若函數f(x)的圖像在R上連續不斷,且滿足f(0)<0，f(1)>0,f（2)>0，則下列說法正確的是（）A．f(x）在區間(0,1)上一定有零點，在區間(1,2)上一定沒有零點B．f(x)在區間（0，1)上一定沒有零點，在區間（1，2）上一定有零點C．f(x）在區間（0，1)上一定有零點，在區間(1,2）上可能有零點D．f(x）在區間(0,1）上可能有零點，在區間（1，2）上一定有零點4．下列各圖像表示的函數中沒有零點的是（)5．函數f（x）＝x3－(eq\f(1，2）)x的零點有()A．0個B．1個C．2個D．無數個1．方程f(x）＝g（x）的根是函數f(x）與g(x)的圖像交點的橫坐標，也是函數y＝f（x)－g(x)的圖像與x軸交點的橫坐標．2．在函數零點存在性定理中,要注意三點:(1）函數是連續的;（2)定理不可逆;（3）至少存在一個零點．3．解決函數的零點存在性問題常用的辦法有三種：（1）用定理；(2）解方程；（3）用圖像．4．函數與方程有著密切的聯系，有些方程問題可以轉化為函數問題求解,同樣，函數問題有時化為方程問題，這正是函數與方程思想的基礎．答案精析問題導學知識點一思考不是,函數的“零點"是一個數，一個使f（x)＝0的實數x.實際上是函數y＝f(x）的圖像與x軸交點的橫坐標．梳理橫坐標有實數根與x軸有交點有零點知識點二思考能．因為f(x)＝lgx＋x在區間eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，10），1））內是連續的，函數值從－eq\f(9,10）變化到1，勢必在eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,10）,1））內某點處的函數值為0.梳理連續曲線f（a)·f(b）<0題型探究例1x＝1或x＝10解析由（lgx）2－lgx＝0，得lgx(lgx－1)＝0，∴lgx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10.跟蹤訓練14解析f(x)＝(x＋1）(x－1)(x＋2)2(x－3）（x＋1)＝（x＋1)2(x－1）(x＋2）2（x－3)．可知零點為±1，－2,3，共4個．例2C［令f(x）＝ex－(x＋2),則f（－1)＝0.37－1〈0，f(0)＝1－2〈0，f(1)＝2。72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0。由于f(1)·f（2）〈0，∴方程ex－(x＋2）＝0的一個根在（1，2)內．]跟蹤訓練22解析∵函數f（x)＝3x－7＋lnx在定義域上是增函數，∴函數f(x）＝3x－7＋lnx在區間（n,n＋1)上只有一個零點．∵f（1)＝3－7＋ln1＝－4<0,f（2）＝6－7＋ln2〈0,f(3)＝9－7＋ln3>0,∴函數f（x)＝3x－7＋lnx的零點位于區間(2,3）內，∴n＝2。例3解方法一∵f（0）＝1＋0－2＝－1〈0，f(1）＝2＋lg2－2>0，∴f（x)在(0,1)上必定存在零點．又顯然f(x）＝2x＋lg(x＋1)－2在（－1，＋∞）上為增函數．故函數f(x)有且只有一個零點．方法二在同一坐標系下作出h（x)＝2－2x和g（x）＝lg(x＋1）的草圖．由圖像知g(x）＝lg(x＋1）的圖像和h（x)＝2－2x的圖像有且只有一個交點，即f（x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個零點．跟蹤訓練3解方法一由于f(2)〈0，f(3)>0,即f（2)·f(3)〈0，說明這個函數在區間（2，3）內有零點．又因為函數f（x）在定義域（0，＋∞)內是增函數，所以它僅有一個零點．方法二通過作出函數y＝lnx，y＝－2x＋6的圖像,觀察兩圖像的交點個數得出結論．也就是將函數f(x）＝lnx＋2x－6的零點個數轉化為函數y＝lnx與y＝－2x＋6的圖像交點的個數．由圖像可知兩函數有一個交點，即函數f(x）有一個零點．例4D［由題意可得a＝x－（eq\f（1，2)）x（x＞0)．令g(x）＝x－（eq\f（1，2）)x,該函數在（0，＋∞）上為增函數，可知g（x）的值域為(－1，＋∞），故a＞－1時,f(x)在(0,＋∞）內有零點．］跟蹤訓練4D[函數f（x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零點分別在區間(－1,0)和(1，2)內,即函數f（x)＝x2＋2mx＋2m＋1的圖像與x軸的交點一個在（－1，0）內，一個在（1,2)內，根據圖像列出不等式組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝2＞0,,f0＝2m＋1＜0,，f1＝4m＋2＜0,,f2＝6m＋5＞0，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（