第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱§3.1非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念§3.2集總參數(shù)法的簡化分析§3.3一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解§3.4二維三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的求解§3.5半無限大物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱１、重點內(nèi)容：

①非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念及特點；②集總參數(shù)法的基本原理及應(yīng)用；③一維及二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。

2、掌握內(nèi)容：

①確定瞬時溫度場的方法；②確定在一時間間隔內(nèi)物體所傳導(dǎo)熱量的計算方法。

3、了解內(nèi)容：無限大物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本特點。

§3-1非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念一、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程及其特點導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)溫度場隨時間變化的導(dǎo)熱過程為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。溫度隨時間變化，熱流也隨時間變化。自然界和工程上許多導(dǎo)熱過程為非穩(wěn)態(tài)，t=f()例如：冶金、熱處理與熱加工中工件被加熱或冷卻；鍋爐、內(nèi)燃機等裝置起動、停機、變工況；自然環(huán)境溫度；供暖或停暖過程中墻內(nèi)與室內(nèi)空氣溫度2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分類周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：物體的溫度隨時間而作周期性的變化

非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（瞬態(tài)導(dǎo)熱）：物體的溫度隨時間不斷地升高（加熱過程）或降低（冷卻過程），在經(jīng)歷相當長時間后，物體溫度逐漸趨近于周圍介質(zhì)溫度，最終達到熱平衡．物體的溫度隨時間的推移逐漸趨近于恒定的值．著重討論瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

3溫度分布：4兩個不同的階段

非正規(guī)狀況階段(右側(cè)面不參與換熱)：溫度分布顯現(xiàn)出部分為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱規(guī)律控制區(qū)和部分為初始溫度區(qū)的混合分布，即：在此階段物體溫度分布受t分布的影響較大．環(huán)境的熱影響不斷向物體內(nèi)部擴展的過程，即物體（或系統(tǒng)）有部分區(qū)域受到初始溫度分布控制的階段。必須用無窮級數(shù)描述．

兩類非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的區(qū)別：前者存在著有區(qū)別的兩個不同階段，而后者不存在。正規(guī)狀況階段(右側(cè)面參與換熱)：當右側(cè)面參與換熱以后，物體中的溫度分布不受t0影響，主要取決于邊界條件及物性，此時，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程進入到正規(guī)狀況階段。環(huán)境的熱影響已經(jīng)擴展到整個物體內(nèi)部，即物體（或系統(tǒng)）不再受到初始溫度分布影響的階段。可以用初等函數(shù)描述。5熱量變化Φ1－－板左側(cè)導(dǎo)入的熱流量Φ2－－板右側(cè)導(dǎo)出的熱流量6學(xué)習非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的目的：(1)溫度分布和熱流量分布隨時間和空間的變化規(guī)律(2)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的導(dǎo)熱微分方程式：(3)求解方法：分析解法、近似分析法、數(shù)值解法分析解法：分離變量法、積分變換、拉普拉斯變換近似分析法：集總參數(shù)法、積分法數(shù)值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子動力學(xué)模擬二、討論物體處于恒溫介質(zhì)中的第三類邊界條件問題

在第三類邊界條件下，確定非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱物體中的溫度變化特征與邊界條件參數(shù)的關(guān)系。

已知：平板厚、初溫、表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h、平板導(dǎo)熱系數(shù)，將其突然置于溫度為的流體中冷卻。由于面積熱阻與的相對大小的不同，平板中溫度場的變化會出現(xiàn)以下三種情形：

（1）

這時，由于表面對流換熱熱阻幾乎可以忽略，因而過程一開始平板的表面溫度就被冷卻到。并隨著時間的推移，整體地下降，逐漸趨近于。（2）

這時，平板內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻幾乎可以忽略，因而任一時刻平板中各點的溫度接近均勻，并隨著時間的推移，整體地下降，逐漸趨近于

這時，平板中不同時刻的溫度分布介于上述兩種極端情況之間。（3）與的數(shù)值比較接近

由此可見，上述兩個熱阻的相對大小對于物體中非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度場的變化具有重要影響。為此，我們引入表征這兩個熱阻比值的無量綱數(shù)畢渥（Biot）數(shù)：1）畢渥數(shù)的定義：畢渥數(shù)屬特征數(shù)（準則數(shù)）。

2）Bi數(shù)的物理意義：

Bi的大小反映了物體在非穩(wěn)態(tài)條件下內(nèi)部溫度場的分布規(guī)律。3）特征數(shù)（準則數(shù)）：表征某一物理現(xiàn)象或過程特征的無量綱數(shù)。4）特征長度：是指特征數(shù)定義式中的幾何尺度。§3-2集總參數(shù)法的簡化分析1定義：忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻、認為物體溫度均勻一致的分析方法。此時，，溫度分布只與時間有關(guān)，即，與空間位置無關(guān)，因此，也稱為零維問題。一、集總系統(tǒng)的能量平衡方程和溫度分布

h,t0AQcΔΕρ,c,V,t0一個集總參數(shù)系統(tǒng)，其體積為V、表面積為A、密度為、比熱為c以及初始溫度為t0，突然放入溫度為t、換熱系數(shù)為h的環(huán)境中。

熱平衡關(guān)系為：內(nèi)熱能隨時間的變化率ΔΕ＝通過表面與外界交換的熱流量Qc

當物體被冷卻時（t>t）,由能量守恒可知方程式改寫為：初始條件控制方程

積分過余溫度比其中的指數(shù)：應(yīng)用集總參數(shù)法時，物體過余溫度隨時間的變化關(guān)系是一條負自然指數(shù)曲線，或者無因次溫度的對數(shù)與時間的關(guān)系是一條負斜率直線

是傅立葉數(shù)物體中的溫度呈指數(shù)分布方程中指數(shù)的量綱：即與的量綱相同，當時，則此時，上式表明：當傳熱時間等于時，物體的過余溫度已經(jīng)達到了初始過余溫度的36.8％。稱為時間常數(shù)，用表示。二、時間常數(shù)

稱為系統(tǒng)的時間常數(shù)，記為s，也稱弛豫時間。

如果導(dǎo)熱體的熱容量（Vc

）小、換熱條件好（hA大），那么單位時間所傳遞的熱量大、導(dǎo)熱體的溫度變化快，時間常數(shù)(Vc/hA)小反映了系統(tǒng)處于一定的環(huán)境中所表現(xiàn)出來的傳熱動態(tài)特征，與其幾何形狀、密度及比熱有關(guān)，還與環(huán)境的換熱情況相關(guān)。可見，同一物質(zhì)不同的形狀其時間常數(shù)不同，同一物體在不同的環(huán)境下時間常數(shù)也是不相同。θ/θ0τ/τs0.386101當物體冷卻或加熱過程所經(jīng)歷的時間等于其時間常數(shù)時，即τ=τs

，τ=4τs，工程上認為=4τs時導(dǎo)熱體已達到熱平衡狀態(tài)3瞬態(tài)熱流量：導(dǎo)熱體在時間0-內(nèi)傳給流體的總熱量：當物體被加熱時(t<t)，計算式相同（為什么？）4物理意義無量綱熱阻無量綱時間Fo越大，熱擾動就能越深入地傳播到物體內(nèi)部，因而，物體各點地溫度就越接近周圍介質(zhì)的溫度。5、集總參數(shù)系統(tǒng)的判定

如何去判定一個任意的系統(tǒng)是集總參數(shù)系統(tǒng)？V/A具有長度的因次，稱為集總參數(shù)系統(tǒng)的定型尺寸。為判定系統(tǒng)是否為集總參數(shù)系統(tǒng)。

采用此判據(jù)時，物體中各點過余溫度的差別小于5%對厚為2δ的無限大平板對半徑為R的無限長圓柱對半徑為R的球其他無規(guī)則形狀的物體，定型尺寸V/A例題3-2將一個初始溫度為20℃、直徑為100mm的鋼球投入1000℃的加熱爐中加熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h=50W/(m2·K)。已知鋼球的密度為7790kg/m3，比熱容為470J/(kg·K)，導(dǎo)熱系數(shù)為43.2W/(m·K)。試求鋼球中心溫度達到800℃所需要的時間。解：首先判斷能否用集總參數(shù)法求解：畢渥數(shù)為可以用集總參數(shù)法求解。

可解得Fov=83.6例題3-2一溫度計的水銀泡呈圓柱狀,長20mm,內(nèi)徑為4mm,初始溫度為t0,今將其插入到溫度較高的儲氣罐中測量氣體溫度.設(shè)水銀泡同氣體間的對流換熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h=11.63W/(m2.K),水銀泡一層薄玻璃的作用可忽略不計,試計算此條件下溫度計的時間常數(shù),并確定插入5min后溫度計讀數(shù)的過余溫度為初始溫度的百分之幾?水銀的物性參數(shù)如下:解:首先檢驗是否可用集總參數(shù)法.考慮到水銀泡柱體的上端面不直接受熱,故可以用集總參數(shù)法.時間常數(shù)為即經(jīng)5min后溫度計讀數(shù)的過余溫度的確13.3%.也就是說,在這段時間內(nèi)溫度計的讀數(shù)上升了這次測量中溫度躍升的86.7%§3.2一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程分析一、無限大平板加熱（冷卻）過程分析厚度2

的無限大平壁，、a為已知常數(shù)；=0時溫度為t0;突然把兩側(cè)介質(zhì)溫度降低為t并保持不變；壁表面與介質(zhì)之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。兩側(cè)冷卻情況相同、溫度分布對稱。中心為原點。導(dǎo)熱微分方程：初始條件：邊界條件：(第三類)采用分離變量法求解：取只能為常數(shù)：只為的函數(shù)只為x的函數(shù)對積分得到式中C1是積分常數(shù)，常數(shù)值的正負可以從物理概念上加以確定。當時間τ趨于無窮大時，過程達到穩(wěn)態(tài)，物體達到周圍環(huán)境溫度，所以必須為負值，否則物體溫度將無窮增大。令則有以及以上兩式的通解為：于是常數(shù)A、B和ε可由邊界條件確定。(1)(2)(3)由邊界條件（2）得B=0（a）將右端整理成：注意，這里Bi數(shù)的尺度為平板厚度的一半。解題過程參看書P58至此，我們獲得了無窮個特解：….將無窮個解疊加：利用初始條件求An解的最后形式為：傅里葉準則Fo：稱之為傅里葉準則或傅里葉數(shù)，其物理意義表征了給定導(dǎo)熱系統(tǒng)的導(dǎo)熱性能與其貯熱（貯存熱能）性能的對比關(guān)系，是給定系統(tǒng)的動態(tài)特征量

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無量綱距離2.非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況

對無限大平板當取級數(shù)的首項，板中心溫度，誤差小于1%

與時間無關(guān)3正規(guī)熱狀況的實用計算方法－線算圖法諾謨圖以無限大平板為例，F(xiàn)0>0.2時，取其級數(shù)首項即可P61圖3-5P62圖3-6經(jīng)過秒鐘、每平方米平壁放出或吸收的熱量：P62圖3-7解的應(yīng)用范圍書中的諾謨圖及擬合函數(shù)僅適用恒溫介質(zhì)的第三類邊界條件或第一類邊界條件的加熱及冷卻過程，并且F0>0.2多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的圖解法應(yīng)用上面討論的海斯勒線算圖可以求出厚度為2的大平板、半徑為R的無限長圓柱體、及半徑為R的球體的溫度分布和傳導(dǎo)的熱量。對非一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，我們能不能利用上面的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱線算圖來進行求解呢？用一個無限長矩形柱為例來回答這一問題。

0xy2δ12δ2一個無限長矩形柱，可以看成是由兩個無限大平板正交而組成，它們的厚度分別為21和22。

無限長矩形柱的導(dǎo)熱微分方程式為：

假定,將其代入微分方程中

一個二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的解可以用兩個導(dǎo)熱方向相互垂直的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題解的乘積來表示。

同理，一個三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的解可以用三個相互垂直的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題解的乘積來表示。2δ2yx02δ1例如：1.矩形截面的長棱柱（正四棱柱）：可由兩個大平板正交構(gòu)成，因而溫度分布為兩個大平板對應(yīng)的溫度分布的乘積yzx2.矩形塊體(立方體)可由三個大平板正交構(gòu)成，因而溫度分布為三個大平板對應(yīng)的溫度分布的乘積2δxrR03.短圓柱體可由一個長圓柱體和一個大平板正交構(gòu)成，因而溫度分布為一個長圓柱體和一個大平板對應(yīng)的溫度分布的乘積rx04.半長圓柱體可由一個長圓柱體和一個半無限大固體正交構(gòu)成，因而溫度分布為一個長圓柱體和一個半無限大固體對應(yīng)的溫度分布的乘積需要強調(diào)的是，我們要確定某一點的溫度時，一定要首先確定該點在對應(yīng)的幾個一維空間上的位置，再去確定相應(yīng)的一維溫度值，最終乘積得出物體在該點的溫度值。

例題3-1一塊厚200mm的大鋼板，鋼材的密度為ρ=7790kg/m3，比熱容cp=170J/(kg·K)，導(dǎo)熱系數(shù)為43.2W/(m·K)，鋼板的初始溫度為20℃，放入1000℃的加熱爐中加熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h=300W/(m2·K)。試求加熱40分鐘時鋼板的中心溫度。解：

根據(jù)題意，δ=100mm=0.1m。鋼材的熱擴散率為

傅里葉數(shù)為

畢渥數(shù)為

查圖可得

§3-5半無限大的物體半無限大系統(tǒng)指的是一個半無限大的空間，也就是一個從其表面可以向其深度方向無限延展的物體系統(tǒng)。很多實際的物體在加熱或冷卻過程的初期都可以視為是一個半無限大固體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程。誤差函數(shù)：令

無量綱坐標引入過余溫度問題的解為

誤差函數(shù)無量綱變量說明：(1)無量綱溫度僅與無量綱坐標

有關(guān).(2)一旦物體表面發(fā)生了一個熱擾動，無論經(jīng)歷多么短的時間無論x有多么大，該處總能感受到溫度的化。(3)

但解釋Fo,a