第10章（目錄）材料力學(xué)§10.1

概述

§10.2

彈性應(yīng)變能的計(jì)算§10.3

互等定理§10.4

卡氏第二定理§10.5

虛功原理*§10.6

單位載荷法

§10.7

圖乘法§10.9

超靜定結(jié)構(gòu)的基本解法第十章能量法§10.10

力法正則方程第十章能量法§10.1概述（目錄）一、基本概念

§10.1

概述二、能量原理第十章能量法一、基本概念能量原理功能原理用途：計(jì)算結(jié)構(gòu)的變形求解超靜定結(jié)構(gòu)數(shù)值計(jì)算——計(jì)算力學(xué)——固體力學(xué)中利用功與能之間的關(guān)系建立能

量

法——利用能量原理求解可變形固體的位移、變形、內(nèi)力或外力的計(jì)算方法。的一些定理一、基本概念

§10.1

概述二、能量原理對(duì)變形固體：外力功即：彈性范圍內(nèi)應(yīng)變能可逆桿件應(yīng)變能＝不計(jì)動(dòng)能和其它能量靜載：能量原理二、能量原理

第十章能量法§10.2彈性應(yīng)變能的計(jì)算（目錄）一、克拉貝依隆原理

§10.2

彈性應(yīng)變能的計(jì)算二、桿件應(yīng)變能的計(jì)算§10.2

彈性應(yīng)變能的計(jì)算一、克拉貝依隆原理一、克拉貝依隆原理

即：

對(duì)于線彈性體，變形能是外力或位移的二次函數(shù)

線彈性體的應(yīng)變能等于每一外力與其相應(yīng)位移乘積的二分之一的總和§10.2

彈性應(yīng)變能的計(jì)算二、桿件應(yīng)變能的計(jì)算（1.軸向拉壓）1.軸向拉伸或壓縮(1)應(yīng)變能

a.軸力沿軸線不變

二、桿件應(yīng)變能的計(jì)算

b.軸力沿軸線變化§10.2

彈性應(yīng)變能的計(jì)算二、桿件應(yīng)變能的計(jì)算（1.軸向拉壓）1.軸向拉伸或壓縮(2)比能

二、桿件應(yīng)變能的計(jì)算

§10.2

彈性應(yīng)變能的計(jì)算二、桿件應(yīng)變能的計(jì)算（2.扭轉(zhuǎn)）2.扭轉(zhuǎn)(1)應(yīng)變能

a.扭矩沿軸線不變

b.扭矩沿軸線變化

二、桿件應(yīng)變能的計(jì)算

§10.2

彈性應(yīng)變能的計(jì)算二、桿件應(yīng)變能的計(jì)算（2.扭轉(zhuǎn)）(2)純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的比能

二、桿件應(yīng)變能的計(jì)算

2.扭轉(zhuǎn)(1)應(yīng)變能§10.2

彈性應(yīng)變能的計(jì)算二、桿件應(yīng)變能的計(jì)算（3.彎曲）3.彎曲(1)純彎曲(彎矩沿軸線不變)二、桿件應(yīng)變能的計(jì)算

§10.2

彈性應(yīng)變能的計(jì)算二、桿件應(yīng)變能的計(jì)算（3.彎曲）(2)橫力彎曲微段dx整個(gè)梁3.彎曲(1)純彎曲(彎矩沿軸線變化)二、桿件應(yīng)變能的計(jì)算

§10.2

彈性應(yīng)變能的計(jì)算二、桿件應(yīng)變能的計(jì)算（4.組合變形）4.組合變形

二、桿件應(yīng)變能的計(jì)算

§10.2

彈性應(yīng)變能的計(jì)算例1例1

求圖示簡(jiǎn)支梁的應(yīng)變能，并求yC。解：

1.求支反力

2.列彎矩方程

AC段：

CB段：

3.求梁的應(yīng)變能

4.利用U=W求yC第十章能量法§10.3互等定理（目錄）一、功的互等定理§10.3

互等定理二、位移互等定理§10.3

互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理

以圖示梁為例證明如下：§10.3

互等定理一、功的互等定理1.先在1點(diǎn)作用F1

再在2點(diǎn)作用F2

外力功：

外力功：

應(yīng)變能：

一、功的互等定理

§10.3

互等定理一、功的互等定理1.先在1點(diǎn)作用F1

2.先在2點(diǎn)作用F2

再在1點(diǎn)作用F1

外力功：

外力功：

應(yīng)變能：

一、功的互等定理

§10.3

互等定理一、功的互等定理應(yīng)變能只決定于力與位移的最終值，

與加載次序無(wú)關(guān)

即：功的互等定理1.先在1點(diǎn)作用F1

2.先在2點(diǎn)作用F2

一、功的互等定理

§10.3

互等定理一、功的互等定理應(yīng)變能只決定于力與位移的最終值，

與加載次序無(wú)關(guān)

即：功的互等定理1.先在1點(diǎn)作用F1

2.先在2點(diǎn)作用F2

一、功的互等定理

§10.3

互等定理二、位移互等定理二、位移互等定理

由功的互等定理

位移互等定理注意：1.上述互等定理對(duì)于所有的線彈性結(jié)構(gòu)都適用2.力和位移應(yīng)理解為廣義力和廣義位移

當(dāng)F1

=

F2

=

F時(shí)

力與位移成線彈性關(guān)系的結(jié)構(gòu)線彈性結(jié)構(gòu)——§10.3

互等定理例2例3

試求圖示梁的跨中撓度yC。

解：

1.當(dāng)Me作用時(shí)

設(shè)想在C點(diǎn)作用F

2.

由功的互等定理3.查表討論：若應(yīng)用位移互等定理如何求解？第十章能量法§10.4卡氏第二定理（目錄）一、定理推導(dǎo)§10.4

卡氏第二定理二、定理應(yīng)用§10.4

卡氏第二定理一、定理推導(dǎo)已知：彈性體受一組相互獨(dú)立的廣義力F1、F2、…、

Fi、…作用

求：任一廣義力Fi的作用點(diǎn)沿Fi方向的廣義位移i

例如：一、定理推導(dǎo)

§10.4

卡氏第二定理一、定理推導(dǎo)給：

總應(yīng)變能：

有：

一、定理推導(dǎo)

§10.4

卡氏第二定理一、定理推導(dǎo)改變加載次序

總應(yīng)變能：

先加dFi：再加F1,F2,…,Fi,…：一、定理推導(dǎo)

§10.4

卡氏第二定理一、定理推導(dǎo)由

卡氏第二定理：

說(shuō)明：1.卡氏定理適用于線彈性結(jié)構(gòu)；2.Fi為廣義集中力，i為廣義位移。得到

卡氏定理：

一、定理推導(dǎo)

§10.4

卡氏第二定理二、定理應(yīng)用

1.梁的彎曲

二、定理應(yīng)用

§10.4

卡氏第二定理二、定理應(yīng)用二、定理應(yīng)用

2.桁架§10.4

卡氏第二定理二、定理應(yīng)用

3.求沒(méi)有集中力作用的點(diǎn)的位移

在該點(diǎn)沿要求位移的方向，作用一個(gè)假想的力F0(附加力)，計(jì)算出在載荷和附加力共同作用時(shí)的變形能，在求得U

對(duì)F0的偏導(dǎo)數(shù)后，再令F0=

0，即0——廣義位移

F0——廣義力二、定理應(yīng)用

§10.4

卡氏第二定理例3例3

圖示剛架的EI為常量，不計(jì)軸力和剪力影響，求B、D。解：

1.求B(1)列彎矩方程，并求導(dǎo)

DC段：CB段：BA段：(2)求B§10.4

卡氏第二定理例3解：

2.求D

(1)加附加力

DC：CB：BA：(3)求D(2)列彎矩方程例3

圖示剛架的EI為常量，不計(jì)軸力和剪力影響，求B、D。第十章能量法§10.6單位載荷法（目錄）一、定理推導(dǎo)§10.6

單位載荷二、莫爾定理的其它情形三、莫爾定理與卡氏定理的關(guān)系§10.6

單位載荷法一、定理推導(dǎo)已知：彈性體受一組相互獨(dú)立的廣義力F1、F2、…、

Fi、…作用

求：任一點(diǎn)C的廣義位移一、定理推導(dǎo)

§10.6

單位載荷法一、定理推導(dǎo)圖(a)：

圖(b)：圖(c)：圖(d)：

一、定理推導(dǎo)

§10.6

單位載荷法一、定理推導(dǎo)——廣義位移

——實(shí)際載荷引起的彎矩

——單位廣義力引起的彎矩

莫爾定理：

這種計(jì)算位移的方法稱(chēng)為單位載荷法

式中

莫爾積分

一、定理推導(dǎo)

§10.6

單位載荷法二、莫爾定理的其它形式1.桁架2.扭轉(zhuǎn)二、莫爾定理的其它情形§10.6

單位載荷法二、莫爾定理的其它形式4.組合變形情況

3.求相對(duì)位移二、莫爾定理的其它情形§10.6

單位載荷法三、莫爾定理與卡氏定理的關(guān)系卡氏定理：

莫爾定理：

以彎曲為例說(shuō)明兩者之間的關(guān)系若i=

，則有：

三、莫爾定理與卡氏第二定理的關(guān)系§10.6

單位載荷法例4解：

1.

求yC

(1).列彎矩方程(2).求yC

由對(duì)稱(chēng)性例4

求圖示梁的yC和B。§10.6

單位載荷法例4(1).列彎矩方程(2).求B

2.

求B

解：

1.

求yC

例4

求圖示梁的yC和B。第十章能量法§10.7圖乘法（維利沙金法）（目錄）一、莫爾積分的計(jì)算方法§10.7

圖乘法(維利沙金法)二、幾種常用圖形的面積及其形心位置

§10.7

圖乘法（維利沙金法）一、莫爾積分的計(jì)算方法上述積分可以簡(jiǎn)化必為直線或折線

對(duì)于等直桿在單位力或單位力偶的作用下，一、莫爾積分的計(jì)算方法

§10.7

圖乘法（維利沙金法）1、M（x）為直線情況1.為直線的情況

一、莫爾積分的計(jì)算方法

§10.7

圖乘法（維利沙金法）1、M（x）為直線情況——M圖的面積

——M圖的形心坐標(biāo)

——圖中與M圖形心所對(duì)應(yīng)的值

式中

圖乘法——上述計(jì)算莫爾積分的方法1.為直線的情況

一、莫爾積分的計(jì)算方法

§10.7

圖乘法（維利沙金法）2、M（x）為折線情況(1)以折線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界，將積分分成若干段(2)逐段使用圖乘法

(3)求和

一、莫爾積分的計(jì)算方法

2.為折線的情況

§10.7

圖乘法（維利沙金法）3、積分值的符號(hào)3.積分值的符號(hào)

M圖的形心C與

在同側(cè)，積分值為

+

異側(cè)，積分值為

-

一、莫爾積分的計(jì)算方法

§10.7

圖乘法（維利沙金法）4、M圖由幾種常用圖形組合情況4.M圖由幾種常用圖形組合情況

(1)將M圖分解為幾種常用圖形的組合

(2)分別應(yīng)用圖乘法

(3)疊加

一、莫爾積分的計(jì)算方法

§10.7

圖乘法（維利沙金法）5、一般情況5.一般情況

若一個(gè)為直線或折線，

可使用圖乘法。

一、莫爾積分的計(jì)算方法

§10.7

圖乘法（維利沙金法）二、幾種常用圖形的面積及其形心位置二、幾種常用圖形的面積及其形心位置

1.三角形

§10.7

圖乘法（維利沙金法）二、幾種常用圖形的面積及其形心位置2.二次拋物線

二、幾種常用圖形的面積及其形心位置

§10.7

圖乘法（維利沙金法）二、幾種常用圖形的面積及其形心位置3.n次拋物線二、幾種常用圖形的面積及其形心位置

§10.7

圖乘法（維利沙金法）例5例5

用圖乘法求圖示梁的yC。

分為AC和CB兩段使用圖乘法

解：1.作M

圖

2.作

圖3.求解§10.7

圖乘法（維利沙金法）例6例6

圖乘法求圖示外伸梁A端轉(zhuǎn)角A。

1.疊加法作M圖3.求解A

解：2.作

圖第十章能量法§10.9超靜定結(jié)構(gòu)的基本解法（目錄）一、超靜定結(jié)構(gòu)的基本解法

二、例題§10.9

超靜定結(jié)構(gòu)的基本解法§10.9

超靜定結(jié)構(gòu)的基本解法一、超靜定結(jié)構(gòu)的基本解法1.確定超靜定次數(shù)，選定靜定基2.作出相當(dāng)系統(tǒng)3.寫(xiě)出相當(dāng)系統(tǒng)的應(yīng)變能4.根據(jù)多余約束處的位移條件，5.聯(lián)立求解補(bǔ)充方程，得到全部多余約束力6.按靜定結(jié)構(gòu)求其余約束力、內(nèi)力、應(yīng)力和位移

應(yīng)用卡氏定理列出補(bǔ)充方程一、超靜定結(jié)構(gòu)的基本解法§10.9

超靜定結(jié)構(gòu)的基本解法二、例題二、例題§10.9

超靜定結(jié)構(gòu)的基本解法例7例7

圖示超靜定梁的EI為常量，試求多余約束力。解：一次超靜定1.取靜定基

2.作相當(dāng)系統(tǒng)

4.求解變形協(xié)調(diào)方程3.列變形協(xié)調(diào)方程§10.9

超靜定結(jié)構(gòu)的基本解法例75.討論

利用求得例7

圖