定義1.2.2

設是定義在集合類上的集函數，若對中任第二節測度與概率則稱在A處下連續（類似于普通函數在某一點上的左連續）。若在?中的每一A處下連續，則稱在上下連續（類似于普通函數在某一區間上的左連續性）。類似地可定義在A處上連續（一般情況下集函數在A處的值是有限的），甚至也可推廣在上的上連續性。上連續+下連續連續意滿足條件An，且的集合序列{An}，有：2/5/20231北京郵電大學電子工程學院

下面討論完全可加性與連續性的關系：定理1.2.2設是集代數上的σ-可加集函數（或測度），則有限可加且連續。證明：由定理1.2.1（2）知：σ-可加有限可加因此只需說明的連續性。（1）首先說明的下連續性，不妨假設{An}，An2/5/20232北京郵電大學電子工程學院

一般情形：若對一切n，(An)有限，則如下圖，有：且上式右邊的任意兩項均兩兩不交，以保證可以利用-可加性。具體證明過程略，見P11。（2）類似地可說明的上連續性，略2/5/20233北京郵電大學電子工程學院定理1.2.3

設是集代數上的有限可加集函數（或有限可加測度）,若滿足下列條件之一：（1）是下連續的；（2）有限，且在處連續，則是σ-可加集函數（或測度）證明：（1）若下連續，則對任意的

An，n=1,2,…，Bn，且：2/5/20234北京郵電大學電子工程學院則由下連續性和有限可加性，有：則：是-可加的。2/5/20235北京郵電大學電子工程學院（2）設有限，且對每一個n，有：則：2/5/20236北京郵電大學電子工程學院二、測度的擴張定理有了定義在集代數上的測度v，我們考慮如何在此基礎上產生測度ν在σ-代數σ()上的擴張？首先必須明白什么叫“擴張”？定理1.2.31,2是?上的兩個非空集合類,且1

2，vi是1的測度，i=1,2，若對A1,有v1(1)=v2(1)，則稱v2是v1在2上的擴張（v1是v2在1上的限制）。第二節測度與概率2/5/20237北京郵電大學電子工程學院以下討論的前提是是?的集代數，ν是的測度稱?上的v*是由上的v所引出的外測度。(可列多個集合的并覆蓋集合A，該可列多個集合的測度和的下確界，即為集合A的外測度。）還需回顧下確界的性質（1.2.1）1、?（?的一切子集所生成的σ-代數）上的外測度2/5/20238北京郵電大學電子工程學院下面討論外測度的性質：引理1.2.1

由集代數上的測度v引出的?上的外測度v*，滿足：2/5/20239北京郵電大學電子工程學院2/5/202310北京郵電大學電子工程學院

由的任意性，外測度的次可加性得證。2/5/202311北京郵電大學電子工程學院問題：外測度ν*在?上未必滿足可加性，為了把那些滿足可加性的集合挑選出來，我們引入ν*可測集的概念，并構成一個新的集合類，該集合類*不僅為σ-代數，而且ν*

是*上的測度。2、ν*可測集2/5/202312北京郵電大學電子工程學院證明：必要性顯然成立下面簡單說明充分性：

由引理1.2.1，有v*()=0

由引理1.2.1(1)知外測度函數v*具有次可加性，則在引理1.2.1(3)中取我們記*為所有ν*可測集組成的集合類。2/5/202313北京郵電大學電子工程學院引理1.2.3*滿足：（1）*是σ-代數；（3）ν*是*上的測度證明：（1）首先證明*是集代數2/5/202314北京郵電大學電子工程學院則有：AB*綜上所述知*是集代數。（1.2.5）2/5/202315北京郵電大學電子工程學院下面說明*是-代數，只需進一步說明*對可列不交并運算封閉。（要解釋原因？）

設An*是，n=1,2,…，Ai

Aj=，ij，則：對D，有：2/5/202316北京郵電大學電子工程學院令n，有：*，則*是-代數。（1.2.6）2/5/202317北京郵電大學電子工程學院2/5/202318北京郵電大學電子工程學院（3）欲證v*是*上的測度，只須說明v*在*上滿足完全可加性。在（2）的結論中取D=A*，則對任意的D考慮到v*()=0，所以A*上，有：v*(A)0則v*是*上的測度。整個引理的證明完畢。2/5/202319北京郵電大學電子工程學院3、測度擴張定理問題：*是否是包含的σ-代數？若是，則v*便是定義在上的測度v在*的一個擴張；進一步地，這樣的擴張唯一嗎？為了保證唯一性，不必將v擴張到*上，而只需擴張到σ(

)即可。定理1.2.4

設v是?的集代數

上的測度，則v在σ(

)

上存在一個擴張；如果v在上是σ-有限的，則v在σ(

)

上的擴張是唯一的。證明：由前面的一系列引理，只須說明

*即可具體證明過程略，見教材P15唯一性的證明過程也略，見教材P162/5/202320北京郵電大學電子工程學院三、測度的完全化初等概率中我們遇到這樣的問題：考慮某一集合BA，A\BN，且P(N)=0，但B未必屬于，即B未必是事件，未必有概率。為了克服這個問題，必須將上的測度完全化。即根本的問題在于零測集的子集未必有概率。定義1.2.4

設v是σ-代數

(或集代數)上的測度,如果A

(或)，v(A)=0，BA，則B

(或)，因而必有v(B)=0

，則稱v為

(或)上的完全測度。以下介紹如何將σ-代數上的測度v完全化？2/5/202321北京郵電大學電子工程學院定理1.2.5（測度的完全化）設v是σ-代數上的測度，記：2/5/202322北京郵電大學電子工程學院證明過程略。2/5/202323北京郵電大學電子工程學院第三節L-S測度和L測度

本節先給出L-S測度（Lebesque-Stieltjes測度）的構造方法，其特殊情況就是L測度。一、

n維L-S測度前面介紹過n維Borel域（由開區