第一章隨機事件與概率§1.1隨機事件§1.2頻率與概率

1654年，一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒約定賭若干局,且誰先贏

c局便算贏家。若在一賭徒勝

a局，另一賭徒勝b局時便終止賭博，問應如何分賭本”

為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費馬通信討論這一問題,于1654年共同建立了概率論的第一個基本概念數學期望.

概率論的誕生

概率論的應用

概率論是數學的一個分支，它研究隨機現象的數量規律，

概率論的應用幾乎遍及所有的科學領域，例如天氣預報、

地震預報、產品的抽樣調查、通訊工程等。如在通訊工程中概率論可用以提高信號的抗干擾性、分辨率等等.在一定條件下必然發生的現象稱為確定性現象.

“太陽不會從西邊升起”1.確定性現象

“同性電荷必然互斥”“水從高處流向低處”例自然界所觀察到的現象:確定性現象、隨機現象在一定條件下可能出現也可能不出現的現象稱為隨機現象.例1

在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現的情況.2.隨機現象確定性現象的特征：條件完全決定結果

實例3

拋擲一枚骰子，觀察出現的點數.實例2

用同一門炮向同一目標發射同一種炮彈多發,觀察彈落點的情況.例4

從一批含有正品和次品的產品中任意抽取一個產品.其結果可能為:

正品

、次品.例5

過馬路交叉口時,可能遇上各種顏色的交通指揮燈.實例6

出生的嬰兒可能是男，也可能是女.實例7

明天的天氣可能是晴

,也可能是多云或雨.隨機現象的特征：條件不能完全決定結果說明：隨機現象揭示了條件和結果之間的非確定性聯系

,其數量關系無法用函數加以描述.試驗者拋幣次數n“正面向上”次數頻率DeMorgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005拋擲錢幣試驗記錄高爾頓(Galton)板試驗.試驗模型如下所示:

自上端放入一小球，任其自由下落，在下落過程中當小球碰到釘子時，從左邊落下與從右邊落下的機會相等.碰到下一排釘子時又是如此.最后落入底板中的某一格子.因此，任意放入一球,則此球落入哪一個格子，預先難以確定.但是如果放入大量小球，則其最后所呈現的曲線，幾乎總是一樣的.單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出請看動畫演示

隨機現象在一次觀察中出現什么結果具有偶然性，但在大量試驗或觀察中，這種結果的出現具有一定的統計規律性。

概率論就是研究隨機現象統計規律性的一門數學學科.說明§1.1基本概念1.1.1隨機實驗與事件

從觀察試驗開始

研究隨機現象，首先要對研究對象進行觀察試驗.這里的試驗是一個含義廣泛的術語.它包括各種各樣的科學試驗,甚至對某一事物的某一特征的觀察也認為是一種試驗.幾個具體試驗

:

的情況.和反面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,THE2出現

:

觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,HE7出現的次數.在一批燈泡中任意抽取一支,測試它的壽命.上述試驗具有下列共同的特點:(1)試驗可以在相同的條件下重復進行;

(2)每次試驗的可能結果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能的結果;

(3)試驗之前不能確定哪一個結果會出現.

在概率論中將具有上述特點的試驗稱為隨機試驗.用表示隨機試驗.定義

隨機試驗

E的所有可能結果組成的集合稱為

E的樣本空間，記為

.的元素，即試驗E的每一個結果,稱為樣本點或基本事件.例1

拋擲一枚硬幣,觀察字面,花面出現的情況.例2

拋擲一枚骰子,觀察出現的點數.例3

從一批產品中,依次任選三件,記錄出現正品與次品的情況.例4

記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等車人數.例5

考察某地區12月份的平均氣溫.例6

從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.例7

記錄某城市120急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數.答案寫出下列隨機試驗的樣本空間.1.同時擲三顆骰子,記錄三顆骰子之和.2.生產產品直到得到10件正品,記錄生產產品的總件數.課堂練習

2.同一試驗,若試驗目的不同，則對應的樣本空間也不同.例如

對于同一試驗:“將一枚硬幣拋擲三次”.若觀察正面H、反面T出現的情況，則樣本空為若觀察出現正面的次數,則樣本空間為說明

1.試驗不同,對應的樣本空間也不同.

3.建立樣本空間,事實上就是建立隨機現象的數學模型.因此,一個樣本空間可以概括許多內容大不相同的實際問題.例如只包含兩個樣本點的樣本空間它既可以作為拋擲硬幣出現正面或出現反面的模型,也可以作為產品檢驗中合格與不合格的模型,又能用于排隊現象中有人排隊與無人排隊的模型等.

所以在具體問題的研究中

,描述隨機現象的第一步就是建立樣本空間.

請注意：

實際中，在進行隨機試驗時，我們往往會關心滿足某種條件的那些樣本點所組成的集合.例如在測試某燈泡的壽命這一試驗中，若規定燈泡的壽命(小時)小于500為次品，那我們關心燈泡的壽命是否滿足.或者說,我們關心滿足這一條件的樣本點組成的一個集合.這就是隨機事件隨機試驗E的樣本空間

的子集稱為E的隨機事件,簡稱事件.試驗中，骰子“出現1點”，“出現2點”，…，“出現6點”,“點數不大于4”,“點數為偶數”等都為隨機事件.例

拋擲一枚骰子,觀察出現的點數.基本事件:(相對于觀察目的不可再分解的事件)事件

B={擲出奇數點}如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數.事件Ai

={擲出i點},i=1,2,3,4,5,6由一個樣本點組成的單點集.基本事件

當且僅當集合A中的一個樣本點出現時,稱事件A發生.如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數.事件B={擲出奇數點}B發生當且僅當B中的樣本點1,3,5中的某一個出現.樣本空間為兩個特殊的事件：必件然事例如，在擲骰子試驗中，“擲出點數小于7”是必然事件;即在試驗中必定發生的事件，常用S表示;不件可事能即在一次試驗中不可能發生的事件，常用表示.而“擲出點數8”則是不可能事件.2.幾點說明例如拋擲一枚骰子,觀察出現的點數.可設A=“點數不大于4”,B=“點數為奇數”等等.隨機事件可簡稱為事件,并以大寫英文字母A,B,C,

來表示事件(2)隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關系每一個隨機試驗相應地有一個樣本空間,樣本空間的子集就是隨機事件.隨機試驗樣本空間子集隨機事件隨機事件基本事件必然事件不可能事件復合事件互為對立事件

1.包含關系若事件A出現,必然導致B出現,則稱事件B包含事件A,記作實例

“長度不合格”必然導致“產品不合格”所以“產品不合格”包含“長度不合格”.圖示

B包含

A.SBA1.1.2事件間的關系及運算

2.A等于B

若事件A包含事件B，而且事件B包含事件A，則稱事件A與事件B相等，記作A=B.3.事件

A與

B的并(和事件)實例

某種產品的合格與否是由該產品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產品不合格”是“長度不合格”與“直徑不合格”的并.圖示事件

A與

B的并.

SBA4.事件

A與

B的交

(積事件)圖示事件A與B

的積事件.SABAB實例某種產品的合格與否是由該產品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產品合格”是“長度合格”與“直徑合格”的交或積事件.和事件與積事件的運算性質5.事件

A與

B互不相容(互斥)若事件A的出現必然導致事件B不出現,B出現也必然導致A不出現,則稱事件A與B互不相容,即實例拋擲一枚硬幣,“出現花面”與“出現字面”是互不相容的兩個事件.“骰子出現1點”“骰子出現2點”圖示A與B互斥.SAB互斥實例拋擲一枚骰子,觀察出現的點數.6.事件

A與

B的差由事件A出現而事件B不出現所組成的事件稱為事件A與B的差.記作A-B.圖示A與B的差.SABSAB實例“長度合格但直徑不合格”是“長度合格”與“直徑合格”的差.設A表示“事件A出現”,則“事件A不出現”稱為事件A的對立事件或逆事件.記作實例

“骰子出現1點”“骰子不出現1點”圖示A與B的對立.SB若A與B互逆,則有A7.事件

A的對立事件對立對立事件與互斥事件的區別SSABABA、B對立A、B互斥互斥對

立事件間的運算規律例1設A,B,C表示三個隨機事件,試將下列事件用A,B,C表示出來.(1)A出現,B,C不出現;(5)三個事件都不出現;(2)A,B都出現,C不出現;(3)三個事件都出現;(4)三個事件至少有一個出現;(6)不多于一個事件出現;(7)不多于兩個事件出現;(8)三個事件至少有兩個出現;(10)A,B,C中恰好有兩個出現.(9)A,B至少有一個出現,C不出現;(1)沒有一個是次品;(2)至少有一個是次品;(3)只有一個是次品;(4)至少有三個不是次品;(5)恰好有三個是次品;(6)至多有一個是次品.解隨機試驗樣本空間子集隨機事件隨機事件基本事件必然事件不可能事件復合事件四、小結1