標量場和矢量場標量場的梯度矢量場的通量與散度矢量場的環量與旋度無源場與無旋場第0章矢量分析下頁返回VectorAnalysis電磁場的特殊形式微分算子及矢量運算亥姆霍茲定理0.1.1

場的概念如果在空間的某區域中，每一點都存在一個確定的物理量，我們就說，此區域中存在由此物理量構成的場，此物理量稱為場量，該區域稱為場域。如果這個物理量是標量，稱為標量場；若為矢量，稱為矢量場。按場中物理量是否隨時間變化，又可分為靜態場（恒定場）和時變場（動態場）。0.1

標量場和矢量場ScalarFieldandVectorField下頁上頁返回0.1.2

場的描述表示場量空間和時間分布特性的函數稱為場函數。記為或。例如，在直角坐標下：標量場矢量場如溫度場、電位場、高度場等；如流速場、電場、渦流場等。下頁上頁返回其方程為:圖0.1.1等高線

標量場--等值線(面)形象描繪場分布的工具—場線（圖）思考在某一高度上沿什么方向高度變化最快？下頁上頁返回三維場二維場圖0.1.2矢量線矢量場--矢量線其方程為：在直角坐標下：下頁上頁返回0.2標量場的梯度

GradientofScalarField研究一個標量場，不僅要掌握物理量在空間的分布情況，更為重要的是要知道它的變化規律以及與其它物理量之間的相互關系。本節將介紹標量場的方向導數和梯度。0.2.1

方向導數標量場的分布情況，可借助于等值面或等值線來了解，但這只能大致地了解標量場的整體分布情況。而要詳細地研究標量場，還必須對它作局部性的下頁上頁返回了解，即要考察物理量在場中各點處的鄰域內沿每一方向的變化情況。為此，引入方向導數的概念。數學上，標量函數(P)從點P0沿路徑l

變到點

P

的變化率稱為方向導數，記作，即

式中,,分別是任一方向與x,y,z軸的夾角,l

方向的單位矢量可以表示為下頁上頁返回0.2.2

梯度方向導數解決了標量場中(P)在給定點處沿某一方向l

的變化率問題。但是，函數(P)從給定點出發有無窮多個變化方向，其中哪個方向的變化率最大？最大變化率是多少？以下從方向導數的計算公式出發來討論此問題。設下頁上頁返回則有：上式表明：l與g

方向一致時,方向導數取最大值,增加得最快；l與g

方向相反時,方向導數取最小值,減小得最快；l

與g

方向垂直時,方向導數為0。定義矢量函數g為標量場的梯度，記作grad。在直角坐標系中，下頁上頁返回——梯度(gradient)——哈密頓算子式中圖0.1.3等溫線分布梯度的方向為該點最大方向導數的方向。梯度的大小為該點標量函數的最大變化率，即最大方向導數。標量場的梯度是一個矢量，是空間坐標點的函數。梯度的意義下頁上頁返回例0.2.1

三維高度場的梯度圖0.2.1三維高度場的梯度高度場的梯度與過該點的等高線垂直；數值等于該點位移的最大變化率；指向地勢升高的方向。下頁上頁返回例0.2.2

電位場的梯度圖0.2.2電位場的梯度電位場的梯度與過該點的等位線垂直；數值等于該點的最大方向導數；指向電位增加的方向。下頁上頁返回0.3矢量場的通量與散度0.3.1通量(Flux)1.面元矢量一個曲面有兩側，對于非閉合曲面（開曲面），可以規定其中一側為正側；對于閉合曲面，則是規定其外側為正側。規定了正側的曲面為有向曲面。稱為面元矢量。FluxandDivergenceofVectorField下頁上頁返回2.通量

矢量E沿有向曲面S的面積分若S

為閉合曲面根據通量的大小判斷閉合面中源的性質：

>0

(有正源)

=0(無源)圖0.3.2矢量場通量的性質

下頁上頁返回圖0.3.1矢量場的通量

稱為穿過的通量

<0(有負源)0.3.2散度(Divergence)根據穿出閉合面的通量的正負，可判斷出該曲面內有正源或負源，但源在S

內的分布情況和強弱卻是通量無法說明的。為此，引入矢量場的散度。1.定義

如果包圍點P的閉合面S

所圍區域V

以任意方式縮小到點P時：下頁上頁返回

矢量場A的散度是一個標量函數，它表示在場中任一點處，通過包圍該點的單位體積的表面的通量，故該散度可稱為通量源密度，它是該點處的通量源強度的量度。散度的絕對值表示該點處源的體密度的大小，若divA>0,則該點有發出通量線的正源，若divA<0,則該點有發出通量線的負源，若divA=0,則該點無源。如下圖所示。

下頁上頁返回

2.表達式

根據散度的定義，divA描述的是一點的值，與體積元V形狀無關，在取零極限時，所有尺寸都趨于零，在推導散度的表達式時，采用直角坐標系，體積元取平行六面體元，可得：———散度(divergence)下頁上頁返回3.散度的意義在矢量場中，若?

A=0，稱之為有源場，稱為(通量)源密度；若矢量場中處處?A=0

，稱之為無源場。矢量的散度是一個標量，是空間坐標點的函數；散度代表矢量場的通量源的分布特性。

(無源）

(正源)

(負源)圖0.3.3通量的物理意義

下頁上頁返回0.3.3散度定理(DivergenceTheorem)圖0.3.4散度定理通量元密度——高斯公式矢量函數的面積分與體積分的相互轉換。下頁上頁返回0.4

矢量場的環量與旋度0.4.1環量(Circulation)矢量A

沿空間有向閉合曲線L的線積分——環量環量的大小與閉合路徑L及沿L的積分正方向（通常為逆時針）有關，它表示繞環線旋轉趨勢的大小。CirculationandRotationofVectorField下頁上頁返回圖0.4.1環量的計算矢量場的環量與通量一樣，是描述矢量場特性的重要積分量。我們已知，若矢量場通過閉合曲面的通量不為零，表示該閉合面內存在通量源。而如果矢量場沿某閉合曲線的環量不為零，則此矢量場中必有產生場的旋渦源。下頁上頁返回水流沿平行于水管軸線方向流動，=0，無渦旋運動。例：流速場圖0.4.2

流速場流體做渦旋運動，0，有產生渦旋的源。下頁上頁返回0.4.2旋度(Rotation)1.環量密度過點P作一微小曲面S，它的邊界曲線記為L，面的法線方向與曲線繞向符合右手定則。當S

點P

時，存在極限——環量密度環量密度是單位面積上的環量。下頁上頁返回矢量場的環量是一個積分量，它不能說明矢量場中的旋渦源在每點上的大小和方向。為此，我們先引入矢量場在任一點處的某方向上的環量面密度的概念，再討論矢量場的旋度。2.旋度旋度是一個矢量，其大小等于環量密度的最大值；其方向為最大環量密度的方向——旋度(curl)－S

的法線方向它與環量密度的關系為在直角坐標下:下頁上頁返回3.旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數。某點旋度的大小是該點環量密度的最大值，其方向是最大環量密度的方向。在矢量場中，若A=J0

稱之為旋度場（或渦旋場），J

稱為旋度源（或渦旋源）。若矢量場處處A=0，稱之為無旋場。下頁上頁返回4.斯托克斯定理(Stockes’Theorem)矢量函數的線積分與面積分的相互轉化。圖0.4.3斯托克斯定理——斯托克斯定理下頁上頁在電磁場理論中，高斯定理和斯托克斯定理是兩個非常重要的公式。返回

0.5

無散場與無旋場SolenoidalFieldandIrrotational(Conservative)Field下頁上頁返回

任何一個場必然有源來激發它，場和源是同時存在的。矢量場的散度對應著一種源，稱為通量源；矢量場的旋度對應著另一種源，稱為旋渦源。0.5.1無散場（必有旋）

設有矢量場A,如果在場域中每一點處恒有：，A稱為無散場。無散場具有兩個重要性質。性質1

下頁上頁返回性質2數學上有恒等式可令,稱為的矢勢。0.5.2無旋場（必有散）

設有矢量場A,如果在場域中每一點處恒有：

A稱為無旋場。無旋場具有兩個重要性質。性質1性質2數學上有恒等式可令,稱為的標勢。

下頁上頁返回0.5.3調和場

設有矢量場A,如果在場域中每一點處恒有：

A稱為調和場。

0.6

亥姆霍茲定理0.6.1

亥姆霍茲定理內容在有限區域內，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場域邊界條件（矢量A惟一地確定）電荷密度電流密度J場域邊界條件在電磁場中HymherzeTheorem下頁上頁返回

0.6.2

場方程

矢量場A的場方程決定了場的性質，為：

亥姆霍茲定理是研究電磁場理論的一條主線。無論是靜態場還是時變場，都是圍繞著它們的旋度、散度和邊界條件展開理論分析的。

下頁上頁返回例0.6.1

試判斷下列各圖中矢量場的性質。000000下頁上頁返回0.7

特殊形式的電磁場如果在經過某一軸線(設為z

軸）的一族平行平面上，場F

的分布都相同，即F=f（x,y），則稱這個場為平行平面場。1.平行平面場SpecialFormsofElectromagneticField如無限長直導線產生的電場。下頁上頁返回0如果在經過某一軸線(設為z

軸)的一族子午面上，場F

的分布都相同，即F=f（r,），則稱這個場為軸對稱場。2.軸對稱場如螺線管線圈產生的磁場；有限長直帶電導線產生的電場。下頁上頁返回3.球面對稱場如果在一族同心球面上（設球心在原點），場F

的分布都相同，即F=f（r），則稱這個場為球面對稱場。如點電荷產生的電場；帶電球體產生的電場。上頁0返回

0.8

微分算子及矢量運算DifferentialOperatorandVectorOperation

0.8.1

微分算子在直角坐標系中，哈密頓算子梯度散度下頁上頁返回

下頁上頁返回旋度拉普拉斯算子