第二講三維變換齊次坐標在計算機中處理一個三維空間的“無窮遠點”是困難的，但是可以容易地處理一個四維齊次空間的解析點，例如可以用向量：（1000） 表示x軸方向無窮遠點（0100） 表示y軸方向無窮遠點（0010） 表示z軸方向無窮遠點（0001） 表示坐標原點這4個向量將構成四維齊次空間的單位矩陣齊次變換矩陣提供一個三維空間中包括平移、旋轉、透視、投影、反射、錯切和比例等變換在內的統一表達式，使得物體的變換可在統一的矩陣形式下進行。

比例、旋轉、對稱、錯切等變換平移變換投影變換整體比例變換矩陣級聯

一個變換是一個單一的數學實體——矩陣描述和標識。兩個變換的結合用矩陣的級聯而產生一個具有兩者功效的單一變換。例如變換T是平移，而變換R是旋轉，則變換的結合允許決定一個變換A=TR，其功效是先平移然后旋轉變換。幾何變換圖形的幾何變換是指對圖形的幾何信息經過平移、比例、旋轉等變換后產生新的圖形。點的矩陣變換線框圖的變換用參數方程描述的圖形的變換7.1.3平面幾何投影投影變換就是把三維立體（或物體）投射到投影面上得到二維平面圖形。平面幾何投影主要指平行投影、透視投影以及通過這些投影變換而得到的三維立體的常用平面圖形：三視圖、軸測圖、透視圖等。觀察投影是指在觀察空間下進行的圖形投影變換。投影中心、投影面、投影線：

平面幾何投影可分為兩大類：透視投影的投影中心到投影面之間的距離是有限的平行投影的投影中心到投影面之間的距離是無限的7.2三維幾何變換三維基本幾何變換都是相對于坐標原點和坐標軸進行的幾何變換假設三維形體變換前一點為p(x,y,z)，變換后為p'(x',y',z')。基本幾何變換 例子：對如圖7-6所示的長方形體進行比例變換，其中a=1/2，e=1/3，j=1/2，求變換后的長方形體各點坐標。

對稱變換

錯切變換相對任一參考點的三維變換相對于參考點F(xf,yf,zf)作比例、旋轉、錯切等變換的過程分為以下三步：(1)將參考點F移至坐標原點(2)針對原點進行三維幾何變換(3)進行反平移繞任意軸的三維旋轉變換分析：公式推導：(1)將坐標原點平移到A點(2)將O'BB'繞x'軸逆時針旋轉α角，則O'B旋轉到x'o'z'平面上(3)將O'B繞y'軸順時針旋轉β角，則O'B旋轉到z'軸上。(4)經以上三步變換后，AB軸與z'軸重合，此時繞AB軸的旋轉轉換為繞z軸的旋轉。(5)最后，求TtA，TRx，TRy的逆變換，回到AB原來的位置。類似地，針對任意方向軸的變換可用五個步驟來完成：(1)使任意方向軸的起點與坐標原點重合，此時進行平移變換。(2)使方向軸與某一坐標軸重合，此時需進行旋轉變換，且旋轉變換可能不止一次。(3)針對該坐標軸完成變換。(4)用逆旋轉變換使方向軸回到其原始方向。(5)用逆平移變換使方向軸回到其原始位置。7.3平行投影平行投影可分成兩類：正投影和斜投影。正投影又可分為：三視圖和正軸測。當投影面與某一坐標軸垂直時，得到的投影為三視圖；否則，得到的投影為正軸測圖。

三視圖：三視圖包括主視圖、側視圖和俯視圖三種，投影面分別與Y軸、Z軸和X軸垂直。1.三視圖計算步驟：(1)確定三維形體上各點的位置坐標(2)引入齊次坐標，求出所作變換相應的變換矩陣(3)將所作變換用矩陣表示，通過運算求得三維形體上各點(x,y,z)經變換后的相應點(x',y')或(y',z')(4)由變換后的所有二維點繪出三維形體投影后的三視圖。

2.主視圖將三維形體向xoz面（又稱V面）作垂直投影（即正平行投影），得到主視圖。

3.俯視圖三維形體向xoy面（又稱H面）作垂直投影得到俯視圖，(1)投影變換(2)使H面繞x軸負轉90°(3)使H面沿z方向平移一段距離-z0

4.側視圖獲得側視圖是將三維形體往yoz面（側面W）作垂直投影。(1)側視圖的投影變換(2)使W面繞z軸正轉90°(3)使W面沿負x方向平移一段距離x0正軸測圖正軸測有等軸測、正二測和正三測三種。當投影面與三個坐標軸之間的夾角都相等時為等軸測；當投影面與兩個坐標軸之間的夾角相等時為正二測；當投影面與三個坐標軸之間的夾角都不相等時為正三測。

5.正軸測圖的投影變換矩陣分析：公式推導：(1)先繞y軸順時針旋轉α角(2)再繞x軸逆時針旋轉β角(3)將三維形體向xoy平面作正投影

最后得到正軸測圖的投影變換矩陣6.正等測圖分析：公式推導： 將α和β的值代入(7-1)式得到正等測圖的投影變換矩陣：7.正二測圖分析：將α值代入(7-1)式得到正二測圖的投影變換矩陣：7.3.2斜投影斜投影圖，即斜軸測圖，是將三維形體向一個單一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面圖形。常用的斜軸測圖有斜等測圖和斜二測圖。斜軸測圖的形成通常β=30?取30°或45°。

斜平行投影的投影變換矩陣為：對于斜等測圖有：α=45?,ctgα=1斜二測圖則有：α=arctg(2),ctgα=1/2

對于斜等測圖有：α=45?,ctgα=1斜二測圖則有：α=arctg(2),ctgα=1/27.4透視投影7.4透視投影r透視縮小效應r的取值對透視投影圖有放大和縮小的作用：r大時，得到的投影圖小，而當r小時，得到的投影圖大。對于相同的取值r：z大時．即物體離投影平面遠時，得到的投影圖小，而當z小時、即物體離投影平面近時，得到的投影圖大。這說明物體透視投影的大小與物體到投影平面的距離成反比，這就是所謂的透視縮小效應。透視縮小效應使得透視投影圖的深度感更強，這種效應產生的視覺效果很類似于照相系統和人的視覺系統。透視縮小效應透視投影能夠產生具有一定真實感的二維圖形。但透視投影不保持物體的精確形狀和尺寸，而且平行線的投影不一定仍然保持平行。滅點不平行于投影面的平行線的投影會匯聚到一個點，這個點稱為滅點(VanishingPoint)。坐標軸方向的平行線在投影面上形成的滅點稱作主滅點。一點透視有一個主滅點，即投影面與一個坐標軸正交，與另外兩個坐標軸平行。兩點透視有兩個主滅點，即投影面與兩個坐標軸相交，與另一個坐標軸平行。三點透視有三個主滅點，即投影面與三個坐標軸都相交。7.4.1一點透視分析：要考慮下列幾點：(1)三維形體與畫面（投影面）的相對位置；(2)視距，即視點（投影中心）與畫面的距離；(3)視點的高度。

假定視點（投影中心）在z軸（z=-d）。畫面（投影面）為xoy一點透視的步驟：(1)將三維形體平移到適當位置l、m、n；(2)令視點在z軸，利用公式進行透視變換；(3)最后，為了繪制的方便，向xoy平面作正投影變換，將結果變換到xoy平面上。例：試繪制如圖7-21(a)所示的單位立方體的一點透視圖。7.4.2二點透視可以這樣來構造二點透視的一般步驟：(1)先將三維形體平移到適當位置，使視點有一定高度，且使形體的主要表面不會積聚成線；(2)將形體繞y軸旋轉一個φ角(φ＜90?)，方向滿足右手定則；(3)進行透視變換(4)最后向xoy面作正投影，即得二點透視圖。例：試繪制上例（圖7-21(a)）中的單位立方體的二點透視圖。7.4.3三點透視同樣可以簡單的構造三點透視圖：(1)首先將三維形體平移到適當位置；(2)將形體進行透視變換(3)然后使形體先繞y軸旋轉φ角；(4)再繞x軸旋轉θ角；(5)將變形且旋轉后的形體向xoy面作正投影。7.5觀察坐標系及觀察空間7.5.1觀察坐標系觀察參考坐標系（ViewReferenceCoordinate）觀察參考點（ViewReferencePoint）觀察平面（ViewPlane），即投影平面。觀察坐標系（uvn坐標系）的建立法矢量N、法矢量V、法矢量U7.5.2觀察空間觀察窗口：

投影中心與投影方向由投影參考點(ProjectionReferencePoint，PRP)確定(即用戶通過指定PRP來確定投影中心或投影方向)。對透視投影來說，投影參考點就是投影中心。從投影中心向窗口的邊發出射線、由此形成一個以投影中心COP為頂點的四棱錐，稱為透視投影的觀察空間，如圖10．14(a)所示。平行投影，從投影參考點指向窗口中心的方向確定了投影方向。平行于投影方向并過窗口邊的直線所包圍的一個長度無限的四棱柱，即為平行投影的觀察空間觀察空間：無限觀察空間、有限觀察空間需注意，對于透視投影，前截面必須在投影中心和后截面之間。

觀察平面和前后截面的有關位置取決于要生成的窗口類型及特殊圖形包的限制規范化觀察空間平行投影的規范化觀察空間定義為：透視投影的規范化觀察空間為：

7.6三維觀察流程7.6.1用戶坐標系到觀察坐標系的變換具體變換步驟：(1)平移觀察參考點到用戶坐標系原點(2)進行旋轉變換分別讓xv、yv和zv軸對應到用戶坐標系中的x、y和z軸。7.6.2平行投影的規范化投影變換分析：平行投影的規范化投影變換可由以下三步組成。(1)將投影中心平移到觀察坐標系原點。(2)對坐標系進行錯切變換，使投影中心和窗口中心的連線錯切到zv軸(3)進行坐標的歸一化變換7.6.3透視投影的規范化投影變