流體力學李忠賢E-mail:lizhongxian@南京信息工程大學大氣科學學院2流體力學是研究流體（宏觀）運動規律，以及流體與固體之間相互作用等方面的一門學科。水－－液體空氣－－氣體流體地球物理流體海洋大氣自然界的物質,按照其凝聚態（或分子平均間距）的不同，可以分為固體、液體和氣體，液體和氣體統稱為流體。第1章流體力學的基礎概念3(1)流動性流體的抗拉強度很小，只有在適當的約束下才能承受壓力；處于靜止狀態的流體不能承受任何剪切力作用，即在不論怎樣小的剪切力作用下，流體將發生連續不斷的變形，直到剪切力消失時，流體的變形才會停止。流體的這一特性稱之為流動性。1.1流體的主要物理性質第1節流體的物理性質和宏觀模型4(2)黏性處于相對運動狀態流體對剪切形變的阻礙的度量。當流體層之間存在相對運動時，流體就會反抗這種相對運動，使流體漸漸失去相對運動；這種阻礙流體相對運動的特性，稱為黏性。1.1流體的主要物理性質第1節流體的物理性質和宏觀模型5(3)壓縮性流體體積在外力作用下可以改變的特性。液體的壓縮性一般情況下很小，可略去不計，可視為不可壓縮流體。例如，水在溫度不變條件下，每增加一個大氣壓，體積減少率為0.005%。但在壓力變化很大或很突然時，則液體的壓縮性必須考慮。氣體的壓縮性一般較大，一般不能當做不可壓縮流體處理。例如，空氣在溫度不變條件下，當壓力由1個標準大氣壓增加到1.1個標準大氣壓時，體積減小率為0.1。真實流體都是可壓縮的，不可壓縮流體是一種抽象的理論模型，是對流場中體積（密度）變化較小的實際流體的一種近似。1.1流體的主要物理性質第1節流體的物理性質和宏觀模型6

在普通物理的質點力學中，通常把實際物體抽象概括為“質點”這樣一個理論模型，較簡便地研究物體的運動規律。

流體力學中也需要把實際流體抽象概括為一個宏觀理論模型，再來討論它的運動規律。這里理論模型不是質點力學中的“質點”，而是下文所介紹的連續介質。

7實際流體是由無數流體分子（2.7X1019/cm3）構成的不連續的離散系。若以單個分子為研究對象，由于其運動的隨機性，相應的物理量（如分子速度）隨時間作隨機變化，同時由于分子間存在間距，則物理量（如分子速度）在空間上存在不連續性。因而將流體視為分子構成的粒子系求解流體運動方程是不可能的。1.2流體的連續介質假設日常生活中所指的流體運動，屬于經典力學范疇的宏觀運動，它并不要求涉及分子運動和分子的微觀結構。連續介質假設：把離散分子構成的實際流體抽象為由無數流體質點沒有空隙的連續分布而構成的連續介質這樣一種理想的物理模型。使用這一模型可以簡化流體運動的數學分析，描述流體物理性質的各種物理量均視為時間和空間的連續函數，可直接應用牛頓定律及相應的數學工具（如，微積分）。89流體質點，是宏觀質點，每一個質點均包含大量分子，流體質點所具有的宏觀物理性質是所含分子相應物理性質的統計平均。在微觀上足夠大，以保證流體質點中包含足夠多的分子，對它們進行統計平均能取得穩定的宏觀量值，不會因少量分子出入流體質點而影響該宏觀量值；同時，又要求宏觀上充分地小，要求流體質點的線尺度和流動范圍相比要充分地小，以致可以把流體質點近似地看成在幾何沒有維度的點。流體質點10例如，在通常條件下，1cm3的空氣中含有2.7x1019個分子。因此，取10-3cm為邊長的立方體作為流體質點，它對于一般流動規模已是充分地小，可當作一點（宏觀上充分小），而它還含有2.7x1010個分子，可認為它在微觀上充分大，足夠具有確定的統計平均效應。對于大多數情況的流體，一般均可以當做連續介質來考慮，但對稀薄氣體運動或空氣動力學中的激波區則流體連續介質模型不能使用。在50km左右（平流層頂以下）的高空大氣，仍然可以作為連續介質。本課程僅討論連續介質模型適用的情況。1112(1)拉格郎日(Lagrange)方法（隨體觀點）該方法觀察流體運動的出發點是設法描述每一個流體質點自始至終的運動過程，即它們的位置隨時間變化的規律。第2節 流體的速度和加速度2.1描寫流體運動的兩種方法13考慮確定的參考系，取流體質點的位置矢徑為，且可以表示為：Oxyz笛卡爾坐標系如果x,y,z在流體域內連續取值，則上式就描述了流體域所有流體質點的位置。14假定某一流體質點的初始時刻位置位于點：則該流體質點不同時刻的位置矢徑為，可以表示為：分量形式：變量x,y,z為Lagrange變量。15Lagrange觀點下有： 據速度的定義，求位置矢量隨時間的變化率，即：Lagrange觀點下流體運動的速度16例1-2-1已知Lagrange變量，求流體運動的速度。17(2)歐拉(Euler)方法（場的觀點）該方法觀察流體運動的出發點是設法描述任意瞬時流體質點的物理量(例如，溫度、壓強、速度矢量等)在空間場的分布。18

流體運動的流速矢量是空間和時間的函數:分量形式：Euler觀點下流體運動的速度場19分量形式：上式通常稱為流速場或流場。Euler觀點下流體運動的速度場變量u,v,w為Euler變量。20若某時刻流場不隨空間變化-----------均勻流場；反之，為非均勻流場；若流場不隨時間變化-----------定常（穩定）流場；反之，為非定常（不穩定）場。幾個與流場有關的基本概念Euler觀點下流體運動的速度場21例1-2-2已知Lagrange變量，其中均為常數,且，求流體運動的加速度。2.2流體運動的加速度加速度是指流體質點的速度矢量隨時間的變化率，即：22已知Euler變量，求流體運動的加速度場例如流體速度場如下：Euler觀點下的流體運動的加速度場23求解Euler觀點下的流體運動的加速度場24引入那勃勒算子25定義微商算符：上式適用于任意物理量，包括如力、速度、位移等矢量，以及如溫度、氣壓等標量。26物理意義？27微商算符的常用形式：①②③普通情況下：

物理量的局地變化由兩部分組成，個別變化和平流變化。28流體運動加速度場產生的原因流體運動加速度場產生的原因：流場的非定常性和非均勻性。定常流場均勻流場29例題1-2-3已知流體運動的速度場如下，分別求流體運動的加速度場；并說明各種情況下產生加速度的原因。（a為常數）；（m、n為常數）；

①②③30例題1-2-4已知流體運動的速度場，求流體運動的加速度場。31第3節跡線和流線流體運動的物理圖象？直觀和形象地描述流體的運動情況跡線和流線的概念引入323.1跡線用拉格朗日方法描述流體的流動時，流體質點在流動過程中所形成的軌跡，稱為流體質點的跡線。每個流體質點都具有自己的跡線。同一空間點，在不同瞬時，可能為不同的流體質點所占據，因此，不同流體質點的跡線在空間相互間是可能相交的。33參數方程跡線消去參數t跡線-----拉格郎日(Lagrange)變量密切相關34例1-3-1假設流體運動的Lagrange變量為：解：消去參數t，即可得跡線方程：

求跡線方程？35為了用幾何的方法來表示流動流體的速度場，在某一瞬時t，可以在流動流體所占據的空間中畫出一系列曲線，使得曲線上的每一點的切線方向正好與該時刻該處的流速方向相同，這樣的曲線，稱為該瞬時的流線。3.2流線362015年1月1日00時的流線。2015年2月1日00時的流線。37同一瞬時，每個空間點上均只可能有一個流體速度矢量，因此，除非在速度等于零或等于無窮大這兩種特殊情況下，同一瞬時的流線在空間是不可能相交的。非定常流場的局地速度是隨時在變化的，因此，其流線是隨時變化的空間曲線。38式中x、y、z、t為四個相互獨立的變量，積分時將t作常數處理。積分流線設為流線的線元矢量：流線的求解39例1-3-2已知流體運動的速度場如下：求出t=0時刻，過點M（1,1）的流線方程。40下列有關流線的描述正確嗎？定常流場流線不隨時間變化流線不隨時間變化定常流場41定常流動即流體質點經過某固定空間位置時流速是相同的，其流線是一些不隨時變化的空間曲線，而且其每條流線上的所有流體質點的跡線均和這條流線相重合。42例1-3-3流體運動的速度場由Euler變量表示為：

其中k為常數：（1）求流線方程；（2）請問同一地點不同時刻流速是否相同？同一流體質點不同時刻的流速是否相同？

(3)求出t=0時刻，過點（a，b，c）的跡線方程。43第4節速度分解剛體運動的速度構成：經典力學中，剛體運動的速度剛體上任一質點A的速度VA可以分為隨同剛體上任意一點M0的平動VM0和繞M0的相對轉動線速度。有平動和轉動速度44流動性和壓縮性等形變流體運動的速度構成平動、轉動亥姆霍茲速度分解定理：流體運動的速度可分解為平動速度、轉動線速度和形變線速度三部分。45選擇參考點及鄰近一點某瞬時t，以位于流動流體中的任意一個空間點M0處的流體質點為基點，對流體微團內的任意一個與M0點的相對失徑為處的流體質點M的流動速度進行速度分解。46某瞬時t4748定義:49y方向作類似處理：50z方向作類似處理：51亥姆霍茲速度分解定理：流體運動的速度可分解為平動速度、轉動線速度和形變線速度三部分。52形變張量矩陣53流體轉動的角速度54剛體運動：轉動是作為一個整體來進行的；

流體運動：流體的轉動角速度是一個局地量，流體域內各點可以以不同的角速度轉動。

55例1-4-1已知流場：其中m為常數，計算坐標原點O附近點的轉動線速度和形變線速度。O56第5節渦度、散度和形變率引進其他的物理量，表征流體質點在運動過程中的各種特征。流體質點運動位置變化形狀大小變化流體質點自身可以旋轉。575.1渦度定義渦度矢為矢量微商符和速度矢的矢性積，即：①渦度的定義58表示流體沿閉合曲線流動趨勢的程度。②渦度的物理意義首先引入速度環流的概念在流體中取任一閉合曲線,

沿閉合曲線對該曲線上的每一點的流速分量求和：59應用斯托克斯（Stokes）公式，線積分曲面積分：60當閉合曲線l向內無限收縮（閉合曲線所圍面積趨向零）渦度是度量流體旋轉程度的物理量。表示流體沿閉合曲線流動趨勢的程度。61③渦度與流體旋轉角速度的關系例1-5-1流體質點在xoy平面上圍繞oz軸作逆時針圓周運動（假設旋轉角速度大小為a），其流速與流體質點到oz軸的距離成正比，試求流體的渦度場。

62④與渦度有關的幾個問題：A直線有旋運動B無旋圓周運動C有旋圓周運動63例1-5-2已知流體運動的速度場為，求流體運動的渦度。

645.2散度定義散度為矢量微商符和速度矢的數性積，即：①散度的定義65為了說明散度的概念及意義，引入流體通量F②散度的物理意義σ為流體中的任一封閉曲面上式表示單位時間內經整個閉合曲面的流體體積通量66流體散度即為單位體積的流體通量。當曲面面元向內無限收縮時，即體積元趨于零：應用奧—高公式，將以上曲面積分轉化為體積分，則有：Ostrovski-Gaussformula67流體凈流出源(輻散)

流體凈流入匯(輻合)場的觀點若流體中的任一封閉曲面為幾何面時：散度的物理意義（一）：68封閉曲面向外膨脹

封閉曲面向內收縮流體中的任一封閉曲面為流體質點組成的物質面時：體現了流體體積的變化。散度的物理意義（二）：69例1-5-3已知流體二維速度場為，分別計算渦度和散度。70①法形變率法形變率（線形變率）：即單位長度的速度變化率（單位長度單