平穩時間序列模型預測第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日§7.1最小均方誤差預測考慮預測問題首先要確定衡量預測效果的標準，一個很自然的思想就是預測值與真值的均方誤差達到最小，即設預測值與真值的均方誤差我們的工作就是尋找，使上式達到最小。下面我們證明最小均方誤差預測就是上海財經大學統計與管理學院2第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日條件無偏均方誤差最小預測

設隨機序列，滿足，則如果隨機變量使得

達到最小值，則如果隨機變量使得

達到最小值，則上海財經大學統計與管理學院3第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日因為可以看作為當前樣本和歷史樣本的函數，根據上述結論，我們得到，當時，使得達到最小。對于ARMA模型，下列等式成立：上海財經大學統計與管理學院4第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日ARMA模型的預測方差和預測區間

如果ARMA模型滿足因果性，則有所以，預測誤差為上海財經大學統計與管理學院5第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日由此，我們可以看到在預測方差最小的原則下，是當前樣本和歷史樣本已知條件下得到的條件最小方差預測值。其預測方差只與預測步長有關，而與預測起始點t無關。當預測步長的值越大時，預測值的方差也越大，因此為了預測精度，ARMA模型的預測步長不宜過大，也就是說使用ARMA模型進行時間序列分析只適合做短期預測。上海財經大學統計與管理學院6第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日進一步地，在正態分布假定下，有由此可以得到預測值的95%的置信區間為或者

上海財經大學統計與管理學院7第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日§7.2對AR模型的預測首先考慮AR(1)模型當時，即當前時刻為t的一步預測為當，當前時刻為t的步預測上海財經大學統計與管理學院8第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日對于AR(p)模型當時，當前時刻為t的一步預測為

當，當前時刻為t的步預測上海財經大學統計與管理學院9第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日例7.1

設平穩時間序列來自AR(2)模型已知，求和以及95%的置信區間。解：上海財經大學統計與管理學院10第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日根據第三章，可以計算模型的格林函數為所以的95%的置信區間為（－1.076，3.236）

的95%的置信區間為

（－2.296，3.952）上海財經大學統計與管理學院11第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日例7.2

已知某商場月銷售額來自AR(2)模型(單位：萬元/月)2006年第一季度該商場月銷售額分別為：101萬元，96萬元，97.2萬元。求該商場2006年第二季度的月銷售額的95%的置信區間。上海財經大學統計與管理學院12第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日求第二季度的四月、五月、六月的預測值分別為上海財經大學統計與管理學院13第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日計算模型的格林函數為四月、五月、六月的月銷售額的95%的置信區間分別為四月：（85.36，108.88）五月：（83.72，111.15）六月：（81.84，113.35）上海財經大學統計與管理學院14第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日§7.3MA模型的預測對于MA(q)模型我們有當預測步長，可以分解為當預測步長，可以分解為上海財經大學統計與管理學院15第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日MA(q)模型預測方差為上海財經大學統計與管理學院16第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日例7.3

已知某地區每年常住人口數量近似的服從MA(3)模型（單位：萬人）

2002年—2004年的常住人口數量及1步預測數量見表上海財經大學統計與管理學院17年份人口數量預測人口數量200220032004104108105110100109第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日預測未來5年該地區常住人口數量的95%的置信區間。上海財經大學統計與管理學院18第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日上海財經大學統計與管理學院19預測年份95%的置信區間20052006200720082009（99，119）（83，109）（87，115）（86，114）（86，114）第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日§7.4ARMA模型的預測關于ARMA模型有

上海財經大學統計與管理學院20第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日上海財經大學統計與管理學院21第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日

例7.4

已知ARMA(1,1)模型為且，預測未來3期序列值的95%的置信區間。上海財經大學統計與管理學院22第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日首先計算未來3期預測值計算模型的格林函數為上海財經大學統計與管理學院23第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日計算預測方差計算得到未來3期序列值的95%的置信區間上海財經大學統計與管理學院24預測時期95%的置信區間101102103（0.136，0.332）（0.087，0.287）（-0.049，0.251）第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日§7.5預測值的適時修正上海財經大學統計與管理學院25第二十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日例7.2續

假設一個月后已知四月份的真實銷售額為100萬元，求第二季度后兩個月銷售額的修正預測值及95%的置信區間。因為根據上述公式可以計算五月、六月的修正預測值如下：上海財經大學統計與管理學院26第二十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日修正預測方差為步預測銷售額的95%的置信區間上海財經大