第十章計數原理和概率第2課時排列與組合1．理解排列、組合的概念．2．能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式．3．能解決簡單的實際問題．請注意1．排列、組合問題每年必考．2．以實際問題為背景，考查排列數、組合數，同時考查分類討論的思想及解決問題的能力．3．以選擇、填空的形式考查，或在解答題中和概率相結合進行考查．1．兩個概念(1)排列．從n個不同元素中取出m個元素(m≤n)，按照___________________，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．(2)組合．從n個元素中取出m個元素

，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．一定順序排成一列并成一組2．兩個公式(1)排列數公式．規定0！＝

.n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)

11

3．組合數的兩個性質1．(課本習題改編)下列等式不正確的是(

)答案B

2．(2014·遼寧理)6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數為(

)A．144 B．120C．72 D．24答案D3．若從1,2,3，…，9這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有(

)A．60種 B．63種C．65種 D．66種答案D4．若某單位要邀請10位教師中的6位參加一個會議，其中甲、乙兩位教師不能同時參加，則邀請的不同方法有(

)A．84種 B．98種C．112種 D．140種答案D5．一份試卷有10道考題，分為A，B兩組，每組5題，要求考生選答6題，但每組最多選4題，則每位考生有________種選答方案．答案200題型一排列數、組合數公式探究1運用排列數、組合數公式證明等式時，一般用階乘式．運用排列數、組合數公式計算具體數字的排列數、組合數時一般用展開式，直接進行運算．思考題1【答案】

(1)x＝8

(2)165

例2

7位同學站成一排：(1)站成兩排(前3后4)，共有多少種不同的排法？(2)其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？(3)甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？(4)甲不排頭、乙不排尾的排法共有多少種？(5)甲、乙兩同學必須相鄰的排法共有多少種？(6)甲、乙兩同學必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？題型二排列應用題(7)甲、乙兩同學不能相鄰的排法共有多少種？(8)甲、乙、丙三個同學都不能相鄰的排法共有多少種？(9)甲、乙、丙三個同學不都相鄰的排法共有多少種？(10)甲、乙相鄰且與丙不相鄰的排法共有多少種？(11)甲必須站在乙的左邊的不同排法共有多少種？【思路】本題是有關排列的一道綜合題目，小題比較多，包括排列中的各種方法和技巧，請同學們認真思考．【講評】涉及有限制條件的排列問題時，首先考慮特殊元素的排法或特殊位置上元素的選法，再考慮其他元素或其他位置(這種方法稱為元素分析法或位置分析法)．探究2求解排列應用題的主要方法：直接法把符合條件的排列數直接列式計算優先法優先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中先整體后局部“小集團”排列問題中先整體后局面定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價轉化的方法 (1)(2014·四川理)六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有(

)A．192種 B．216種C．240種 D．288種思考題2【答案】

B

(2)(2014·重慶理)某次聯歡會要安排3個歌舞類節目，2個小品類節目和1個相聲類節目的演出順序，則同類節目不相鄰的排法種數是(

)A．72 B．120C．144 D．168【答案】

B

(3)有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位．現安排2人就座，規定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數有________．【答案】

346

例3某市工商局對35件商品進行抽樣調查，已知其中有15件假貨．現從35件商品中選取3件．(1)其中某一件假貨必須在內，不同的取法有多少種？(2)其中某一件假貨不能在內，不同的取法有多少種？(3)恰有2件假貨在內，不同的取法有多少種？(4)至少有2件假貨在內，不同的取法有多少種？(5)至多有2件假貨在內，不同的取法有多少種？題型三組合應用題【講評】組合問題常有以下兩類題型：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．(2)“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解，用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．探究3有限制條件的組合問題的解題思路，同樣要從限制條件入手．因組合問題只是從整體中選出部分即可，相對來說較簡單．常見情況有：(1)某些元素必選；(2)某些元素不選；(3)把元素分組，根據在各組中分別選多少，分類；(4)排除法． 7名男生5名女生中選取5人，分別求符合下列條件的選法總數有多少種？(1)A，B必須當選；(2)A，B必不當選；(3)A，B不全當選；(4)至少有2名女生當選；(5)選取3名男生和2名女生分別擔任班長、體育委員等5種不同的工作，但體育委員必須由男生擔任，班長必須由女生擔任．思考題3【答案】

(1)120

(2)252

(3)672

(4)596(5)12600例4有五張卡片，它們的正、反面分別寫著0與1,2與3,4與5,6與7,8與9，將其中任意三張并排放在一起組成三位數，共可組成多少個不同的三位數？題型四排列、組合混合題【答案】

432

探究4排列、組合的混合題推理是從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定位置上的問題．其基本的解題步驟為：第一步：選，根據要求先選出符合要求的元素．第二步：排，把選出的元素按照要求進行排列．第三步：乘，根據分步乘法計數原理求解不同的排列種數，得到結果．

有4個不同的球，四個不同的盒子，把球全部放入盒內．(1)共有多少種放法？(2)恰有一個盒子不放球，有多少種放法？(3)恰有一個盒內放2個球，有多少種放法？(4)恰有兩個盒子不放球，有多少種放法？思考題4(3)“恰有一個盒子內放2個球”，即另外的三個盒子放2個球，每個盒子至多放1個球，即另外三個盒子中恰有一個空盒．因此，“恰有一個盒子放2球”與“恰有一個盒子不放球”是一回事．故也有144種放法．【答案】

(1)256

(2)144

(3)144

(4)84

1．解排列組合題的“16字方針，12個技巧”：(1)“16字方針”是解排列組合題的基本規律，即：有序排列、無序組合；分類為加、分步為乘．(2)“12個技巧”是速解排列組合題的捷徑．即：①相鄰問題捆綁法；②不相鄰問題插空法；③多排問題單排法；④定序問題倍縮法；⑤定位問題優先法；⑥有序分配問題分步法；⑦多元問題分類法；⑧交叉問題集合法；⑨至少(至多)問題間接法；⑩選排問題先取后排法；?局部與整體問題排除法；?復雜問題轉化法．2．計數重復或遺漏的原因在于分類、分步的標準不清，一般來說，應檢查分類是否按元素(或特殊元素)的性質進行的，分步是否按事件發生的過程進行的．3．畫示意圖是尋找解題途徑的有效手段．1．從1,2,3,4,5,6六個數字中，選出一個偶數和兩個奇數，組成一個沒有重復數字的三位數，這樣的三位數共有(

)A．9個 B．24個C．36個 D．54個答案D2．從甲、乙等5人中選3人排成一列，則甲不在排頭的排法種數是(

)A．12 B．24C．36 D．48答案D答案C

4．從1,2,3,4,5,6,7這七個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數，其中奇數的個數為________．答案2165．某校開設