思想01運(yùn)用分類討論的思想方法解題【命題規(guī)律】高考命題中，以知識(shí)為載體，以能力立意、思想方法為靈魂，以核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)，兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值．高考試題一是著眼于知識(shí)點(diǎn)新穎巧妙的組合，二是著眼于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查．如果說(shuō)數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)的內(nèi)容，可用文字和符號(hào)來(lái)記錄和描述，那么數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的意識(shí)，重在領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用，屬于思維的范疇，用于對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、處理和解決．高考中常用到的數(shù)學(xué)思想主要有分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：由情境的規(guī)則引起的分類討論核心考點(diǎn)二：由定義引起的分類討論核心考點(diǎn)三：由平面圖形的可變性引起的分類討論核心考點(diǎn)四：由變量的范圍引起的分類討論核心考點(diǎn)五：由空間圖形的可變性引起的分類討論【真題回歸】1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)已知SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0上不同的三點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0．證明：（ⅰ）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（ⅱ）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（注：SKIPIF1<0是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，求a的取值范圍；(3)設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的最大值；(2)若SKIPIF1<0恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【方法技巧與總結(jié)】當(dāng)被研究的問(wèn)題出現(xiàn)多種情況且綜合考慮無(wú)法深入時(shí)，我們通常將可能出現(xiàn)的所有情況分別進(jìn)行討論，得出每種情況下相應(yīng)的結(jié)論，這就是分類討論的思想，包含分類與整合兩部分，既化整為零，各個(gè)擊破，又集零為整．基本步驟是：（1）研究討論的必要性，確定討論對(duì)象；（2）確定分類依據(jù)，并按標(biāo)準(zhǔn)分類；（3）逐類解決，獲得各類的結(jié)果；（4）歸納整合，得到結(jié)果．分類的基本原則是：（1）標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏；（2）層次明晰，不混不亂．分類討論應(yīng)用的熱點(diǎn)：（1）由概念、定義、公式、定理、性質(zhì)等引起的分類討論，如直線的斜率是否存在，冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，等比數(shù)列的公比是否為等．（2）由數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則引起的分類討論，如除法運(yùn)算中分母不為零，偶次方根為非負(fù)數(shù)，不等式兩邊同乘（除）以一個(gè)數(shù)（式）的符號(hào)等．（3）由變量的范圍引起的分類討論，如對(duì)數(shù)的真數(shù)與底數(shù)的范圍，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的范圍，函數(shù)在不同區(qū)間上單調(diào)性受參變量的影響等．（4）由圖形的可變性引起的分類討論，如圖形類型、位置，點(diǎn)所在的象限，角大小的可能性等．（5）由情境的規(guī)則引起的分類討論，情境問(wèn)題的規(guī)則在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常需要分類討論思想，如體育比賽的規(guī)則等．【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：由情境的規(guī)則引起的分類討論【典型例題】例1．多項(xiàng)選擇題給出的四個(gè)選項(xiàng)中會(huì)有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．若選項(xiàng)中有SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，隨機(jī)作答該題時(shí)SKIPIF1<0至少選擇一個(gè)選項(xiàng)SKIPIF1<0所得的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，則有（

）A． B．C． D．例2．甲、乙、丙、丁進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則如下：第一輪：甲和乙進(jìn)行比賽，同時(shí)丙和丁進(jìn)行比賽，兩個(gè)獲勝者進(jìn)入勝者組，兩個(gè)敗者進(jìn)入敗者組；第二輪：勝者組進(jìn)行比賽，同時(shí)敗者組進(jìn)行比賽，敗者組中失敗的選手淘汰；第三輪：敗者組的勝者與勝者組的敗者進(jìn)行比賽，失敗的選手淘汰；第四輪：第三輪中的勝者與第二輪中勝者組的勝者進(jìn)行決賽，勝者為冠軍．已知甲與乙、丙、丁比賽，甲的勝率分別為SKIPIF1<0；乙與丙、丁比賽，乙的勝率分別為SKIPIF1<0；丙與丁比賽，丙的勝率為SKIPIF1<0任意兩場(chǎng)比賽之間均相互獨(dú)立．SKIPIF1<0求丙在第二輪被淘汰的概率；SKIPIF1<0在丙在第二輪被淘汰的條件下，求甲所有比賽全勝并獲得冠軍的概率．例3．一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；SKIPIF1<0設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：SKIPIF1<0的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0根據(jù)你的理解說(shuō)明SKIPIF1<0問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義．核心考點(diǎn)二：由定義引起的分類討論【典型例題】例4．已知數(shù)列滿足SKIPIF1<0求數(shù)列的通項(xiàng)公式；SKIPIF1<0求數(shù)列的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0例5．設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；SKIPIF1<0若求數(shù)列SKIPIF1<0的前15項(xiàng)的和．例6．已知正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，則當(dāng)SKIPIF1<0取得最大值時(shí)，n的值等于（

）A．17 B．18 C．19 D．20核心考點(diǎn)三：由平面圖形的可變性引起的分類討論【典型例題】例7．SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0求角SKIPIF1<0SKIPIF1<0若AC邊上的點(diǎn)D滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．例8．若恰有三組不全為0的實(shí)數(shù)對(duì)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足關(guān)系式SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)t的所有可能的值為_(kāi)_________．例9．過(guò)雙曲線C：SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)F作直線l，且直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為A，直線l與另一條漸近線交于點(diǎn)SKIPIF1<0已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若SKIPIF1<0的內(nèi)切圓的半徑為SKIPIF1<0，則雙曲線C的離心率為_(kāi)_________．核心考點(diǎn)四：由變量的范圍引起的分類討論【典型例題】例10．已知函數(shù)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)．SKIPIF1<0求證：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零點(diǎn)；SKIPIF1<0求證：有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．例11．已知函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)．SKIPIF1<0確定a的值，并討論函數(shù)的極值點(diǎn)：SKIPIF1<0設(shè)，若當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．例12．已知函數(shù)SKIPIF1<0是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，試討論SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．SKIPIF1<0參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0核心考點(diǎn)五：由空間圖形的可變性引起的分類討論【典型例題】例13．正方體SKIPIF1<0棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)P在線段SKIPIF1<0上SKIPIF1<0含端點(diǎn)SKIPIF1<0，以下結(jié)論不正確的為（

）A．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值SKIPIF1<0B．過(guò)P，B，SKIPIF1<0三點(diǎn)若可作正方體的截面，則截面圖形為三角形或平面四邊形C．當(dāng)點(diǎn)P和SKIPIF1<0重合時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的外接球體積為SKIPIF1<0D．直線PD與面SKIPIF1<0所成角的正弦值的范圍為SKIPIF1<0例14．兩條異面直線a，b所成的角為SKIPIF1<0，在直線a，b上分別取點(diǎn)A，E和點(diǎn)B，F(xiàn)，使SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則線段AB的長(zhǎng)為（

）A．8 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例15．（多選題）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0為垂足點(diǎn)，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若AD的長(zhǎng)為定值，則該三棱錐外接球的半徑也為定值B．若AC的長(zhǎng)為定值，則該三棱錐內(nèi)切球的半徑也為定值C．若BD的長(zhǎng)為定值，則EF的長(zhǎng)也為定值D．若CD的長(zhǎng)為定值，則SKIPIF1<0的值也為定值【新題速遞】一、單選題1．已知SKIPIF1<0為奇函數(shù)，且在上是遞增的，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的解集是（

）A．或 B．或C．或 D．或2．已知函數(shù)若存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知角SKIPIF1<0的終邊上一點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．以上答案都不對(duì)4．已知函數(shù)SKIPIF1<0是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．若關(guān)于x的不等式SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．

B．C． D．

或SKIPIF1<0二、多選題6．對(duì)于給定實(shí)數(shù)a，關(guān)于x的一元二次不等式SKIPIF1<0的解集可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．R7．SKIPIF1<0，則的值可能為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知函數(shù)，則方程SKIPIF1<0的根的個(gè)數(shù)可能為SKIPIF1<0（

）A．2 B．6 C．5 D．49．設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的有A．SKIPIF1<0 B．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值C．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，n的最小值為7 D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值10．在棱長(zhǎng)為1的正方體SKIPIF1<0中，M是線段SKIPIF1<0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．四面體SKIPIF1<0的體積恒為定值B．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角正弦值可以為SKIPIF1<0C．異面直線BM與AC所成角的范圍是SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，平面BDM截該正方體所得的截面圖形為等腰梯形11．已知函數(shù)若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)a的值可能為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題12．定義新運(yùn)算“SKIPIF1<0