第5章剛體運動學與動力學教學基本要求：一、理解描寫剛體定軸轉動角速度和角加速度的物理意義，并掌握角量與線量的關系。

二、理解力矩和轉動慣量概念，掌握剛體繞定軸轉動的轉動定理。三、理解角動量概念，掌握角動量定律，并能處理一般質點在平面內運動以及剛體繞定軸轉動情況下的角動量守恒問題。四、理解剛體定軸轉動的轉動動能概念，能在有剛體繞定軸轉動的問題中正確地應用機械能守恒定律。§5.1

剛體的概念一.剛體特殊的質點系，——理想化模型形狀和體積不變化在力作用下，組成物體的所有質點間的距離始終保持不變剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發生變化的物體。(任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組。)剛體的運動形式：平動、轉動。⑴剛體是理想模型；⑵剛體模型是為簡化問題引進的。說明：§5.2

剛體的平動剛體運動時，若在剛體內所作的任一條直線都始終保持和自身平行—剛體平動平動的特點(1)剛體中各質點的運動情況相同(2)剛體的平動可歸結為質點運動平動：剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同．特點：各點運動狀態一樣，如：等都相同．剛體平動質點運動一大型回轉類“觀覽圓盤”如圖所示。圓盤的半徑R=25m，供人乘坐的吊箱高度L=2m。若大圓盤繞水平軸均速轉動，轉速n(轉速：物體單位時間內轉過的圈數)為0.1r/min。例解求吊箱底部A點的速度和加速度的大小。吊箱平動§5.3剛體繞定軸轉動角坐標角速度角加速度一.描述

剛體繞定軸轉動的角量剛體的平動和繞定軸轉動是剛體的兩種最簡單最基本運動剛體內各點都繞同一直線(轉軸)作圓周運動___剛體轉動轉軸固定不動—定軸轉動zMIIIP二.定軸轉動剛體上各點的速度和加速度當與質點的勻加速直線運動公式相象定軸P×ω,剛體參考方向θzOr'基點O瞬時軸任意點都繞同一軸作圓周運動,且，都相同

速度與角速度的矢量關系式加速度與角加速度的矢量關系式定軸P×ω,剛體參考方向θzOr'基點O瞬時軸(1)每一質點均作圓周運動，圓面為轉動平面；(2)任一質點運動均相同，但

不同；定軸轉動的特點(3)運動描述僅需一個角坐標．利用皮帶傳動，用電動機拖動一個真空泵．電動機上裝一半徑為0.1m的輪子，真空泵上裝一半徑為0.29m的輪子，如圖所示．如果電動機的轉速為1450rev/min，則真空泵上的輪子的邊緣上一點的線速度為__________________，真空泵的轉速為____________________．0.1m0.29m5.4力矩剛體繞定軸轉動微分方程一.力矩力改變剛體的轉動狀態剛體獲得角加速度力F對z軸的力矩力矩取決于力的大小、方向和作用點???質點獲得加速度改變質點的運動狀態？hA(1)

力對點的力矩O.(2)

力對定軸力矩的矢量形式力矩的方向由右螺旋法則確定(3)力對任意點的力矩，在通過該點的任一軸上的投影，等于該力對該軸的力矩討論hAxLOMy例已知棒長L,質量M，在摩擦系數為的桌面轉動(如圖)解根據力矩xdx求摩擦力對y軸的力矩如圖所示，x軸沿水平方向，y軸豎直向下，在t＝0時刻將質量為m的質點由a處靜止釋放，讓它自由下落，則在任意時刻t，質點所受的對原點O的力矩＝________________；Oyaxb剛體的轉動定律作用在剛體上所有的外力對定軸z軸的力矩的代數和剛體對z軸的轉動慣量(1)M正比于，力矩越大，剛體的

越大(2)力矩相同，若轉動慣量不同，產生的角加速度不同二.剛體對定軸的轉動定律實驗證明當M為零時，則剛體保持靜止或勻速轉動當存在M時，與M成正比，而與J成反比(3)與牛頓定律比較：討論在國際單位中k=1轉動慣量O理論推證取一質量元切線方向對所有質元合內力矩=0合外力矩M剛體的轉動慣量

J?轉動慣量

J

的意義：轉動慣性的量度.

轉動慣量的單位：kg·m2三.轉動慣量定義式質量不連續分布質量連續分布計算轉動慣量的三個要素:(1)總質量(2)質量分布(3)轉軸的位置(1)J與剛體的總質量有關例如兩根等長的細木棒和細鐵棒繞端點軸轉動慣量LzOxdxM?x(2)J與質量分布有關例如圓環繞中心軸旋轉的轉動慣量例如圓盤繞中心軸旋轉的轉動慣量dlOmROmrdrROLxdxMzLOxdxM四.平行軸定理及垂直軸定理zLCMz'z(3)J與轉軸的位置有關1.平行軸定理:剛體繞任意軸的轉動慣量:剛體繞通過質心的軸:兩軸間垂直距離例均勻細棒的轉動慣量2.(薄板)垂直軸定理ML

例如求對圓盤的一條直徑的轉動慣量已知yxz

圓盤

R

Cmx,y軸在薄板內；z軸垂直薄板。zxy(1)飛輪的角加速度(2)如以重量P=98N的物體掛在繩端，試計算飛輪的角加速解(1)(2)兩者區別五.轉動定律的應用舉例例求一輕繩繞在半徑r=20cm的飛輪邊緣，在繩端施以F=98N的拉力，飛輪的轉動慣量J=0.5kg·m2，飛輪與轉軸間的摩擦不計，(見圖)圓盤以

0在桌面上轉動,受摩擦力而靜止解例求到圓盤靜止所需時間取一質元由轉動定律摩擦力矩R§5.5

繞定軸轉動剛體的動能動能定理一.轉動動能zO設系統包括有N個質量元,其動能為剛體的總動能P?繞定軸轉動剛體的動能等于剛體對轉軸的轉動慣量與其角速度平方乘積的一半結論取二.力矩的功O功的定義力矩作功的微分形式對一有限過程若

M=C(積分形式）力的累積過程——力矩的空間累積效應??.P三.轉動動能定理——力矩功的效果對于一有限過程繞定軸轉動剛體在任一過程中動能的增量，等于在該過程中作用在剛體上所有外力所作功的總和。這就是繞定軸轉動剛體的——動能定理(2)力矩的功就是力的功。(3)內力矩作功之和為零。討論(1)合力矩的功例一根長為l，質量為m的均勻細直棒，可繞軸O在豎直平面內轉動，初始時它在水平位置解由動能定理求它由此下擺

角時的OlmCx一.質點動量矩(角動量)定理和動量矩守恒定律1.質點的動量矩(對O點)其大小(1)質點的動量矩與質點的動量及位矢(取決于固定點的選擇)有關特例：質點作圓周運動§5.6

動量矩和動量矩守恒定律說明OS慣性參照系(2)當質點作平面運動時，質點對運動平面內某參考點O的動量矩也稱為質點對過O垂直于運動平面的軸的動量矩例一質點m，速度為v，如圖所示，A、B、C分別為三個參考點,此時m相對三個點的距離分別為d1、d2、d3求此時刻質點對三個參考點的動量矩md1d2

d3ABC解OS(質點動量矩定理的積分形式)(質點動量矩定理的微分形式)質點所受合力矩的沖量矩等于質點的動量矩的增量2.質點的動量矩定理說明(1)沖量矩是質點動量矩變化的原因(2)質點動量矩的變化是力矩對時間的積累結果3.質點動量矩守恒定律──質點動量矩守恒定律(2)

通常對有心力：(1)動量矩守恒定律是物理學的基本定律之一，它不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系，且在高速低速范圍均適用討論過O點,M=0,動量矩守恒當飛船靜止于空間距行星中心4R時，以速度v

0發射一求θ角及著陸滑行的初速度多大？解引力場（有心力）質點的動量矩守恒系統的機械能守恒例發射一宇宙飛船去考察一質量為M、半徑為R的行星，質量為m的儀器。要使該儀器恰好掠過行星表面二.質點系的動量矩定理和動量矩守恒定律質點系對參考點O的動量矩就是質點系所有質點對同一參考點的動量矩的矢量和記質點系質心C的位置矢量為，速度為。對第i個質，則點，設其相對于質心的位置矢量為，速度為1.質點系的動量矩(1)

質點系的動量矩(角動量)可分為兩項第一項：只包含系統的總質量、質心的位矢和質心的速度

——軌道角動量第二項：是質點系各質點相對于質心的角動量的矢量和——自旋角動量說明(2)質點系的軌道角動量等于質點系的全部質量集中于質心處的一個質點對于參考點的角動量。它反映了整個質點系繞參考點的旋轉運動

(3)質點系的自旋角動量是以質心為參考點的角動量。與質心運動無關。它只代表系統的內稟性質

2.質點系的動量矩定理微分形式積分形式質點系所受合外力矩的沖量矩等于質點系動量矩的增量質點系的內力矩不能改變質點系的動量矩說明3.質點系動量矩守恒定律對質點系三.剛體定軸轉動的動量矩定理和動量矩守恒定律1.剛體定軸轉動的動量矩剛體上任一質點對Z軸的動量矩都具有相同的方向O(所有質元的動量矩之和)如果作用在質點系合外力矩沿某軸的投影為零,則沿此軸動量矩守恒,如2.剛體定軸轉動的動量矩定理由轉動定律（動量矩定理積分形式）定軸轉動剛體所受合外力矩的沖量矩等于其動量矩的增量(1)變形體繞某軸轉動時，若其上各點(質元)轉動的角速度相同，則變形體對該軸的動量矩說明3.剛體定軸轉動的動量矩守恒定律