DEPARTMENTOFENGINEERINGMECHANICSKUST第八章

桿件的扭轉本章介紹扭轉的概念軸的扭力矩、扭矩和扭矩圖切應力互等定理、剪切胡克定律圓軸扭轉時的應力與變形圓軸扭轉的強度條件和剛度條件實例對稱扳手擰緊鏍帽§8-1扭轉的概念實例傳動軸汽車傳動軸實例MM受力特征:外力偶作用在垂直于軸線的平面內。變形特征:兩個橫截面之間繞桿軸線發生相對轉動，稱為扭轉角；縱向線傾斜一個角度，稱為剪切角(或稱剪應變)。扭轉的概念MM使桿件產生扭轉變形的外力偶稱為扭力偶，扭力偶的矩稱為扭力矩。（Me，kN.m）承受扭矩并通過扭轉傳遞力的桿件稱為軸。扭轉的概念1.扭力矩的計算§8-2軸的扭力矩、扭矩及扭矩圖切線方向的力F產生力偶矩Me=FR皮帶的拉力F1和F2產生力偶矩.若

F2>F1則

Me=(F2-F1)D/2皮帶輪或鏈條作用在齒輪上的切向力產生力偶矩Me=FtR齒輪功率P(kW或HP)標示牌顯示旋轉速度n(r/min)由轉速和功率計算扭力矩MeMeMenT軸受外力偶矩作用時，將在橫截面上產生分布剪應力，分布剪應力對質心的合力矩也是一個力偶矩，通常稱為扭矩，以

T(或

Mx)表示。單位kN.m。2.軸的扭矩T=Me扭矩T的正負約定:++3扭矩圖

坐標(x,T)用來表示沿軸線方向的扭矩變化.

x

表示橫截面的位置.T表示扭矩的大小.我們可以畫出扭矩圖。例8-1

傳動軸如圖所示，已知：轉速n=300r/min;驅動功率P1=500kW,被驅動齒輪功率分別為P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW.請畫出軸的扭矩圖.

首先計算各齒輪所受的外力偶矩.解:M1

M2

M3

M4

BCADM1

M2

M3

M4

BCAD計算各段上的扭矩22113311M2BxT1BM2

CM3

22xT2x33DT3M4

畫扭矩圖Tmax=9.56kN·m

,位于CA段上.4.789.566.37T(kN·m)221133M1

M2

M3

M4

BCAD畫扭矩圖Tmax=15.9kN·m

,位于AD段上.221133BCADM1

M3

M2

M4

4.789.5615.9T(kN·m)1.薄壁圓管的扭轉lRtR—平均半徑t

(或δ)—筒壁厚度薄壁t<<2R通常t≤R/10薄壁圓管§8-3切應力互等定理、剪切胡克定律(1)圓周線繞軸線相對轉動(2)圓周線的大小和間距不變(3)各縱線傾斜同一角度(4)矩形網格變為平行四邊形變形現象：薄壁圓管的扭轉近似認為管內變形與管表面變形相同C’D’ABDCgr0單元體–

微小六面體微體只產生剪切變形。沿圓周方向所有微體的剪切變形相同。橫截面上只存在垂直于半徑的剪應力，沿圓周大小不變，沿壁厚均勻分布。扭矩等于剪應力的合力矩

T=(2πRt)τRτ=T/(2πR2t)r0切應力的計算xyz自動滿足ttt’t’dydxdz2.切應力互等定理根據平衡條件于是得到這就是切應力互等定理.切應力互等定理:ttt’t’

在相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對出現，且大小相等，并都垂直于兩個平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線.純剪切狀態–

單元體的四個側面上只有切應力而無正應力的應力狀態。思考已知單元體上、下兩個面上的剪應力，以下各圖中所畫的其他面上的剪應力，哪個圖是正確的？ABCD切應變扭轉角切應變gC’D’ABDCg3.剪切胡克定律MM剪切胡克定律塑性材料的扭轉試驗表明，扭轉時的應力-應變關系與拉伸時相同當τ≤τp(彈性范圍內),

τ=G剪切胡克定律G—剪切彈性模量.它與τ(Pa,通常使用GPa)具有相同的量綱.G,E和m都是材料的彈性常量，但它們中只有兩個是獨立的，它們之間的關系是剪切胡克定律變形現象1任意兩圓周線之間的距離保持不變.2縱線變為斜線.3圓周線的形狀和大小沒有任何改變4徑向直線仍然保持為直線.TT§8-4圓軸扭轉時的應力和變形1.實心圓軸橫截面上的應力圓軸扭轉變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，大小和形狀不變，半徑仍保持為直線，且相鄰橫截面間的距離保持不變.平面假設推論1.橫截面上不產生正應力.(桿件的長度不變.)2.橫截面上產生剪應力.(縱向線變為斜線，橫截面關于縱軸扭轉.)3.剪應力的分布不是均勻分布.理論分析與拉壓桿問題相比，圓軸扭轉問題的載荷和變形都要復雜一些，因此理論分析必須包含三類條件。三類條件變形幾何關系物理關系靜力關系(1)變形幾何關系變形幾何關系單位長度的扭轉角由我們注意到因此圓軸橫截面上的切應變沿半徑ρ方向線性變化，在圓心處為零，在外表面達到最大值。(2)物理關系O已知剪切胡克定律物理關系(3)靜力關系極慣性矩GIP—抗扭剛度T扭轉切應力的表達式Wt——

扭轉截面模量TTD實心圓截面空心圓截面OdrrDdrrOd2.圓截面軸的扭轉變形-扭轉角j如前所述，已知因此，單元長度dx上的微分扭轉角為

gMe

Me

jdjgD'MxMxO1O2ababdxDA對于僅在兩端受外力偶矩作用的圓截面軸扭轉剛度整個軸長l上的扭轉角為(單位：rad)gMe

Me

j例8-2

如圖所示，一直徑為d的實心圓軸和另一外徑為內徑2倍的空心圓軸（外徑為d1）受相同的扭矩T作用，為使兩根軸的最大切應力相等，問空心圓軸截面的面積應為實心圓軸截面面積的百分之多少？Tdd1d1/2TTd1.實心圓軸的最大切應力.解:2.空心圓軸的最大切應力.d1d1/2T欲使即解得空心圓軸截面面積兩圓軸截面面積之比在同等扭轉強度的條件下，空心圓軸截面面積只有實心圓軸截面面積的78.18%，所以空心圓軸較為合理。例8-3

如圖所示，由兩種不同材料制成的套管組合圓軸受扭矩T作用。外套管的外半徑為r1，切變模量為G1，內圓軸的半徑為r2，切變模量為G2，設兩層材料的界面緊密結合不會相對錯動，求兩種材料橫截面上的最大切應力。lr1r2TTlr1r2TTT1T2由靜力關系解:界面不發生錯動由軸的變形公式（a）（b）（c）（d）將(c)式代入(b)可得聯立求解(a)式和(d)式可得由最大切應力公式有其中對于等截面圓軸:強度分析的三類問題(1)校核強度(2)設計橫截面直徑(3)計算許用扭矩1.強度條件§8-5圓軸扭轉的強度條件和剛度條件2.剛度條件對于等截面圓桿對于精密機械上的軸對于一般傳動軸單位:/m12345Me1Me2Me3Me4Me5例8-4

如圖所示傳動軸，已知其轉速n=200r/min，主動輪2傳遞的功率為N2=80馬力，其余從動輪傳遞的功率分別為N1=25馬力、N3=15馬力、N4=30馬力及N5=10馬力。若材料的許用切應力[t]=20MPa，單位長度容許扭轉角[q]=0.5o/m，切變模量G=8.2×104MPa，試確定此軸的直徑.ⅠⅡⅢⅣ1.計算扭力矩.解:n=200r/min，N1=25馬力、N2=80馬力、N3=15馬力、N4=30馬力、N5=10馬力Me2ⅠⅡMe1x12Me1Ⅰ1TⅠTⅡx5Me5ⅣxTⅣ2.計算各段任意截面上的扭矩.TⅢ5