3拉普拉斯變換傅里葉變換的基礎是：可以用復指數的線性組合表示信號復指數的指數jt，它只能隨時間在虛軸j上變化變化的范圍擴展到整個復數平面將指數進一步擴展為復變量s（s=+j）這就由傅里葉變換推廣至拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換1拉普拉斯變換的歷史與應用十九世紀末，英國工程師亥維賽德發明了算子法，很好地解決了電力工程計算中遇到的一些基本問題，但缺乏嚴密的數學論證。法國數學家拉普拉斯在著作中對這種算子法給予嚴密的數學定義。是對連續時間系統進行分析的重要方法之一，同時也是其他一些新變換方法的基礎。在電學、力學等眾多科學與工程領域中得到了廣泛應用。隨著技術的發展和實際的需要，離散的、非線性的、時變的等類型系統的研究與應用日益廣泛，而拉氏變換在這些方面卻無能為力，它長期占據的傳統重要地位正讓位給一些新的方法。盡管如此，利用拉氏變換建立的關于系統函數及其零極點分析的概念仍有重要的意義。在連續、線性、時不變系統的分析中，拉氏變換至今仍是不可缺少的強有力工具。2不少信號函數雖然有傅里葉變換存在，但由于積分不收斂，不能直接用定義式求傅里葉變換。如單位階躍函數。由于狄義赫利條件要求信號絕對可積，有的信號根本不存在傅里葉變換。某些信號雖有傅里葉變換，但變換結果中出現了沖激函數。如階躍信號、周期信號等信號。這樣有時不方便。其中為任意常數，將其與信號f(t)相乘，選取合適的實數，使乘積信號滿足絕對可積條件（即狄義赫利條件），從而能夠進行傅里葉變換。引入一個衰減因子傅里葉變換的不足3拉普拉斯變換的定義令則上式被稱為拉普拉斯變換式4雙邊拉普拉斯變換拉普拉斯變換方法是一種復頻域變換方法，常稱為s域分析。拉普拉斯變換LT定義拉普拉斯反變換ILT定義原函數象函數5單邊拉普拉斯變換實際碰到的信號總是因果信號變換的積分下限從零開始單邊拉普拉斯變換表達式6衰減因子引入的意義（作用）衰減因子的意義從數學方法上看：將函數f(t)乘以衰減因子后，將使之成為收斂函數，從而滿足絕對可積條件。從物理意義上看：只能表示振蕩的重復頻率，而將頻率變換為復頻率s后，不僅能表示重復頻率，還能表達振蕩幅度增長或衰減的速率。7LT的收斂域從LT的定義可知：當信號f(t)乘以衰減因子以后，乘積信號并非一定能滿足絕對可積的限制條件。還要根據信號f(t)的性質，選擇適當的衰減因子，才能使信號的LT存在。使信號f(t)的拉普拉斯變換存在的的取值范圍，稱為該信號拉普拉斯變換的收斂域，簡記為ROC。不同的信號，它們的拉氏變換結果有可能相同，但變換成立的條件(即各自的ROC)不同。因此，對于信號的拉氏變換，除了給出相應的變換結果表示式外，還要給出使表示式能夠成立的復變量s的取值范圍。也只有給出了相應的ROC，拉氏變換才與特定的信號有對應關系。8常見信號的拉普拉斯變換階躍函數指數函數Re[s]>-a,其中a可正可負

沖激函數ROC為整個s平面

還有一些常用信號的拉普拉斯變換及其收斂域，可以通過查表得到。可以用它們來求解一些復雜變換的逆變換，特別是在用部分分式來求解拉普拉斯變換的逆變換的時候。9拉普拉斯變換的性質拉普拉斯變換的性質與傅里葉變換的性質基本上是相似的，都可以根據拉氏變換的定義來直接證明。我們在后面將學習離散時間信號的Z變換，以及離散傅里葉變換DFT，這些變換也有類似的性質。建議大家在學習完本課程介紹的所有變換后，把它們對比起來進行復習。10線性信號之和的拉氏變換等于各信號的拉氏變換之和。時域平移(延時定理)S域平移尺度變換拉普拉斯變換的性質S域平移尺度變換時域平移(延時定理)S域平移尺度變換線性時域平移(延時定理)S域平移尺度變換11拉普拉斯變換的性質時域微分時域積分f(t)積分式在t=0的取值頻域微分頻域積分12卷積定理拉普拉斯變換的性質兩信號卷積的拉氏變換等于各自拉氏變換的乘積

兩信號乘積的拉氏變換等于各自拉氏變換的卷積

它們被分別稱為時域卷積定理和頻域卷積定理13拉普拉斯變換的性質初值定理與終值定理若信號是因果信號，且f(t)及其導數的拉氏變換都存在，則可以利用信號的拉氏變換結果，求信號的初值和終值。初值終值在求出信號的拉氏變換后，可利用本性質對變換結果進行檢驗。即若根據本性質求出的初值和終值與信號的實際值不符，則說明拉氏變換過程有錯。但這種驗證并不充分，因為即便求出的初值和終值與信號的真實值相符，拉氏變換結果還是可能是錯誤的。14拉普拉斯逆變換留數法留數定理在s平面沿一不通過被積分函數極點的封閉曲線C進行的圍線積分等于此圍線C中被積函數各極點pi的留數之和用留數定理求拉普拉斯逆變換的公式為15拉普拉斯逆變換部分分式法求逆變換拉氏變換式F(s)常可表示為s的有理分式，這時，借助于部分分式分解法，可以將F(s)表達式分解，對分解后的各項s函數式的逆變換，可直接從常見函數拉氏變換表中查得，不再需要進行積分運算，從而大大簡化拉氏逆變換的求解過程。理論依據拉氏變換的線性特性逆變換方法總結F(s)為有理分式：利用部分分式分解和查表的方法求逆變換，無需引用留數定理。F(s)為有理分式與exp(-st)相乘：可借助拉氏變換的時域平移性質，用部分分式法求解逆變換。F(s)為無理函數：需利用留數定理逆變換。但是這種情況在實際系統中很少碰到16拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系從FT求LT拉氏變換是傅氏變換的一般化，可以把拉氏變換作為傅氏變換來進行，即可以用信號的傅氏變換來求解信號的拉氏變換求信號的單邊拉氏變換求信號的雙邊拉氏變換17拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系從LT求FT傅里葉變換可以被看成是虛軸(s=j)上的拉氏變換即把信號的LT結果中的自變量s換成j，就得到信號的傅里葉變換。這個辦法是否正確呢？18拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系由雙邊LT求FT雙邊拉氏變換的積分限范圍是(-,)，如果收斂域包含虛軸j，則信號的傅里葉變換總存在，這時就可以直接用上面的公式由LT求FT。

19拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系由單邊LT求FT單邊拉氏變換的積分限范圍是0~，如果信號不是因果信號，則信號在進行單邊拉氏變換時會“丟失”部分信息，而傅里葉變換實際上是一種雙邊變換，因此，從信息“殘缺”的拉氏變換求信息“完備”的傅氏變換，是不可能的。信號是因果信號能否從LT求FT，還要根據LT的收斂坐標的情況來定收斂坐標在S平面右半邊：信號FT不存在！收斂坐標在S平面左半邊：信號FT存在，可用此公式！收