第三章振動、波動和聲廣義振動：任一物理量(如位移、電流等)在某一數值附近反復變化。

振動分類非線性振動線性振動受迫振動自由振動機械振動：物體在一定位置附近作來回往復的運動。線性振動：系統中構件的彈性服從胡克定律，運動時產生的阻尼力與廣義速度（廣義坐標的時間導數）的一次式成正比的振動。非線性振動：恢復力與位移不成正比或阻尼力不與速度一次方成正比的系統的振動。自由振動：系統受初擾動后不再受外界激勵時所作的振動。振動按照能量是否虧損分為阻尼振動(減幅振動)和無阻尼振動（等幅振動)；按照振動的成因又分為受迫振動和自激振動.3-1

簡諧振動簡諧振動：一個作往復運動的物體，如果其所受的回復力跟離開平衡位置的位移成正比方向相反。一、簡諧振動的基本特征及其表示彈簧振子模型彈簧振子：彈簧—物體系統平衡位置：彈簧處于自然狀態的穩定位置輕彈簧—質量忽略不計，形變滿足胡克定律物體—可看作質點簡諧振動微分方程其通解為：簡諧振動的微分方程簡諧振動的運動學方程二、描述簡諧振動的特征量1、振幅A簡諧振動物體離開平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對值。初始條件頻率：單位時間內振動的次數。2、周期、頻率、角頻率對彈簧振子角頻率周期T：物體完成一次全振動所需時間。0

是t=0時刻的位相—初位相3、位相和初位相—位相，決定諧振動物體的運動狀態位相差兩振動位相之差。當=2k

,k=0,±1,±2…,兩振動步調相同,稱同相當=(2k+1)

,k=0,±1,±2...兩振動步調相反,稱反相2

超前于1

或1滯后于

2

位相差反映了兩個振動不同程度的參差錯落三、簡諧振動的旋轉矢量表示法0t=0xt+0t=toX諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關系toTavxT/4T/4例：

一質點沿x

軸作簡諧振動，振幅A=0.12m，周期T=2s，當t=0時，質點對平衡位置的位移x0

=0.06m,

此時刻質點向x

正向運動。求此簡諧振動的表達式。解取平衡位置為坐標原點。由題設T=2s，則A=0.12m由初條件x0

=0.06m，v00得簡諧振動的表達式為設簡諧振動的表達式為例

已知某簡諧振動的速度與時間的關系曲線如圖所示，試求其振動方程。解：方法1設振動方程為故振動方程為方法2：用旋轉矢量法輔助求解。v的旋轉矢量與v軸夾角表示t時刻相位由圖知以彈簧振子為例諧振動系統的能量=系統的動能Ek+系統的勢能Ep某一時刻，諧振子速度為v，位移為x諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數四、

簡諧振動的能量一、同方向、同頻率的兩個簡諧振動的合成合振動是簡諧振動,其頻率仍為質點同時參與同方向同頻率的諧振動:合振動:3-2

簡諧振動的合成如A1=A2,則A=0兩分振動相互加強兩分振動相互減弱分析若兩分振動同相：若兩分振動反相:合振動不是簡諧振動式中隨t緩變隨t快變合振動可看作振幅緩變的簡諧振動二.同方向不同頻率簡諧振動的合成---拍分振動合振動當21時,拍

合振動忽強忽弱的現象拍頻:單位時間內強弱變化的次數

=|2-1|

xtx2tx1t三、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成合振動分振動合振動的軌跡為通過原點且在第一、第三象限內的直線質點離開平衡位置的位移討論合振動的軌跡為通過原點且在第二、第四象限內的直線質點離開平衡位置的位移合振動的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓質點沿橢圓的運動方向是順時針的。合振動的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓質點沿橢圓的運動方向是逆時針的。時，逆時針方向轉動。時，順時針方向轉動。*四、兩個相互垂直方向不同頻率的簡諧振動的合成如果兩個分振動的頻率相差較大，但有簡單的整數比關系，這時合振動為有一定規則的穩定的閉合曲線，這種曲線稱為利薩如圖形一、阻尼振動阻尼振動能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。摩擦阻尼：系統克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統的動能轉化為熱能。輻射阻尼：振動以波的形式向外傳波，使振動能量向周圍輻射出去。3-3

阻尼振動受迫振動共振阻尼振動的振動方程（系統受到弱介質阻力而衰減）振子動力學方程振子受阻力系統固有角頻率阻尼系數弱介質阻力是指振子運動速度較低時，介質對物體的阻力僅與速度的一次方成正比—阻力系數弱阻尼每一周期內損失的能量越小，振幅衰減越慢，周期越接近于諧振動。阻尼振動的振幅按指數衰減阻尼振動的準周期何為臨界阻尼，過阻尼二、受迫振動受迫振動振動系統在周期性外力作用下的振動。弱阻尼諧振子系統在策動力作用下的受迫振動的方程令周期性外力——策動力穩定解(1)頻率:等于策動力的頻率(2)振幅:(3)初相:特點:穩態時的受迫振動按簡諧振動的規律變化阻尼振動簡諧振動三、共振在一定條件下,振幅出現極大值,振動劇烈的現象。1、位移共振(1)共振頻率:取極大值。(2)共振振幅:2、速度共振一定條件下,速度振幅極大的現象。波動是一切微觀粒子的屬性，與微觀粒子對應的波稱為物質波。各種類型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，有類似的波動方程。機械振動在介質中的傳播稱為機械波。聲波、水波3-4機械波的產生和傳播一、機械波產生的條件如果波動中使介質各部分振動的回復力是彈性力，則稱為彈性波。彈性力：有正彈性力（壓、張彈性力）和切彈性力；液體和氣體彈性介質中只有正彈性力而沒有切彈性力。1、有作機械振動的物體，即波源2、有連續的介質二、縱波和橫波橫波——振動方向與傳播方向垂直，如電磁波縱波——振動方向與傳播方向相同，如聲波。切變：

兩個距離很近、大小相等、方向相反的平行力作用于同一物體上所引起的形變。

在物理中，橫波在彈性介質中傳播時，一部分介質相對相鄰部分介質發生橫向移動稱為切變。橫波在介質中傳播時，介質中產生切變，只能在固體中傳播。容變：拉伸和壓縮形變。縱波在介質中傳播時，介質中產生容變，能在固體、液體、氣體中傳播。結論：機械波向外傳播的是波源（及各質點）的振動狀態和能量。（介質的質點并不移動）三、波線和波面波場--波傳播到的空間。波面--波場中同一時刻振動位相相同的點的軌跡。波前（波陣面）--離波源最遠的波面。波線（波射線）--代表波的傳播方向的射線。各向同性均勻介質中，波線恒與波面垂直.沿波線方向各質點的振動相位依次落后。波線波面波面波線平面波球面波波面波線波線波面四、描述波動的幾個物理量振動狀態（即位相）在單位時間內傳播的距離稱為波速1、波速u在固體媒質中縱波波速為G、E為媒質的切變彈性模量和楊氏彈性模量為介質的密度在固體媒質中橫波波速為在同一種固體媒質中，橫波波速比縱波波速小些3、波長2、波的周期、波長和頻率波的周期：一個完整波形通過介質中某固定點所需的時間，用T表示，時間的周期性。波的頻率：單位時間內通過介質中某固定點完整波的數目，用表示。同一波線上相鄰的位相差為2

的兩質點的距離，空間的周期性。介質決定波源決定一、平面簡諧波的波動方程平面簡諧波簡諧波的波面是平面。(可當作一維簡諧波研究）3-5

波動方程一平面簡諧波在理想介質中沿x軸正向傳播，x軸即為某一波線設原點振動表達式：y表示該處質點偏離平衡位置的位移x為p點在x軸的坐標于是p點的振動方程：t時刻p處質點的振動狀態與O處時刻質點的振動狀態相同振動狀態以速度u沿x軸正向傳播，

時刻，P點的振動狀態與O點在t=0時刻的狀態或位移相同。上式表示：沿x軸正向傳播的平面簡諧波的波動方程沿著波傳播方向，各質點的振動依次落后于波源振動。為p點的振動落后與原點振動的時間。同理：沿x軸負向傳播的平面簡諧波的波動方程若波源（原點）振動初位相不為零或波矢，表示在2長度內所具有的完整波的數目。“負號”表示波向x軸正向傳播，“正號”表示-向x軸負向傳播。二、波動方程的物理意義1、如果給定x，即x=x0tTTx0處質點的振動初相為為x0處質點落后于原點的位相為x0處質點的振動方程則y=y(t)若x0=

則x0處質點落后于原點的位相為2是波在空間上的周期性的標志2、如果給定t，即t=t0

則y=y(x)表示給定時刻波線上各質點在同一時刻的位移分布，即給定了t0

時刻的波形同一波線上任意兩點的振動位相差XYOx1x2同一質點在相鄰兩時刻的振動位相差T是波在時間上的周期性的標志3.如x,t

均變化y=y(x,t)包含了不同時刻的波形t時刻,x處的某個振動狀態經過t，傳播了x的距離在時間t內整個波形沿波的傳播方向平移了一段距離x行波振動曲線與波動曲線的區別聲速的測量例5已知波動方程為，其中x，y的單位為m，t的單位為s，求(1)振幅、波長、周期、波速；(2)距原點為8m和10m兩點處質點振動的位相差；(3)波線上某質點在時間間隔0.2s內的位相差.解(1)(2)同一時刻波線上坐標為和兩點處質點振動的位相差(3)對于波線上任意一個給定點(x一定)，在時間間隔Δt內的位相差例.一平面簡諧波沿x正方向傳播，振幅A＝10cm，圓頻率當t=1.0s時，位于x=10cm處的質點a經過平衡位置向y軸負方向運動。此時,位于x=20cm處的質點b的位移為5cm,且向y軸正方向運動。設該波波長，試求該波的波動方程。解：設該波的波動方程為：求解的關鍵是求出波速u及原點的初位相由題意知t=1.0s時所以XOabu取故得波動方程為得時，b點的位相只能取－（還考慮了以及的條件。）注意b點落后于a點，故同一時刻（t=1.0s)a點的位相取同理XOabuP例一平面簡諧波在時刻的波形圖如圖，設頻率，且此時P

點的運動方向向下，求1）該波的波函數;解：波向軸負向傳播O

2）求在距原點O

為100m處質點的振動方程與振動速度表達式.P例：如圖有一平面簡諧波在空間傳播，已知P點的振動方程為（1）分別就圖中的兩種坐標寫出其波動方程（2）寫出距P點為b的Q點的振動方程原點的振動方程波動方程原點的振動方程波動方程OPQXYuPQXOYu一、波的能量和能量密度波不僅是振動狀態的傳播，而且也是伴隨著振動能量的傳播。有一平面簡諧波質量為在x處取一體積元質點的振動速度3-6

波的能量體積元內媒質質點動能為體積元內媒質質點的彈性勢能為(剪切形變產生的勢能）體積元內媒質質點的總能量為：1）在波動的傳播過程中，任意時刻的動能和勢能不僅大小相等而且相位相同，同時達到最大，同時等于零。平衡位置處動能最大，形變也最大。2）在波傳動過程中，任意體積元的能量不守恒（能量作周期變化。波動過程不斷吸收能量，不斷釋放能量，反應了波動過程是一個傳播能量的過程）能量密度單位體積介質中所具有的波的能量。平均能量密度一個周期內能量密度的平均值。能流:單位時間內通過介質中某一截面的能量。二、波的能流和能流密度波強平均能流：在一個周期內能流的平均值。能流密度（波的強度）：通過垂直于波動傳播方向的單位面積的平均能量。三、波的吸收波在實際介質中，由于波動能量總有一部分會被介質吸收，波的機械能不斷減少，波強亦逐漸減弱。波通過厚度為dx的介質，其強度衰減量為-dI介質的吸收系數與介質的性質和波的頻率有關一、惠更斯原理惠更斯原理：介質中波陣面（波前）上的各點，都可以看作為發射子波的波源，其后一時刻這些子波的包跡便是新的波陣面。3-7波的疊加原理波的干涉t時刻波面

t+t時刻波面波的傳播方向如你家在大山后,聽廣播和看電視哪個更容易?(若廣播臺、電視臺都在山前側)二、波的疊加原理各列波在相遇前和相遇后都保持原來的特性（頻率、波長、振動方向、傳播方向等）不變，與各波單獨傳播時一樣，而在相遇處各質點的振動則是各列波在該處激起的振動的合成。波傳播的獨立性原理或波的疊加原理：能分辨不同的聲音正是這個原因兩列波若頻率相同、振動方向相同、在相遇點的位相相同或位相差恒定，則合成波場中會出現某些點的振動始終加強，另一點的振動始終減弱（或完全抵消），這種現象稱為波的干涉。相干條件具有恒定的相位差振動方向相同兩波源具有相同的頻率滿足相干條件的波源稱為相干波源。三、波的干涉現象和規律傳播到p點引起的振動分別為：在p點的振動為同方向同頻率振動的合成。設有兩個相干波源S1和S2發出的簡諧波在空間p點相遇。合成振動為：其中：對空間不同的位置，都有恒定的，因而合強度在空間形成穩定的分布，即有干涉現象。其中：相長干涉的條件：相消干涉的條件：當兩相干波源為同相波源時，相干條件寫為相長干涉相消干涉稱為波程差四、駐波當兩列振幅相同的相干波沿同一直線相向傳播時，合成的波是一種波形不隨時間變化的波，稱為駐波。

將弦線的一端系于電動音叉的一臂上，弦線的另一端系一砝碼，砝碼通過定滑輪P對弦線提供一定的張力，調節刀口B的位置，就會在弦線上出現駐波。1、駐波方程函數不滿足它不是行波它表示各點都在作簡諧振動，各點振動的頻率相同，是原來波的頻率。但各點振幅隨位置的不同而不同。駐波的特點：不是振動的傳播，而是媒質中各質點都作穩定的振動。（1）、波腹與波節駐波振幅分布特點2、駐波的特點相鄰波腹間的距離為：相鄰波節間的距離為：相鄰波腹與波節間的距離為：因此可用測量波腹間的距離，來確定波長。（2）、駐波的位相的分布特點時間部分提供的相位對于所有的

x是相同的，而空間變化帶來的相位是不同的。在波節兩側點的振動相位相反。同時達到反向最大或同時達到反向最小。速度方向相反。兩個波節之間的點其振動相位相同。同時達到最大或同時達到最小。速度方向相同。3-8聲波聲波：客觀上是聲振動在彈性介質中的傳播，主觀上是這種物理現象可引起人的聽覺。聲波：可聽聲頻率20Hz~20000Hz

次聲頻率<20Hz

超聲頻率>20000Hz聲波是縱波，可在固、液、氣態中傳播聲的主要特征量：頻率和聲壓一、聲壓、聲強和聲強級

1．聲壓：當聲波在介質中傳播時，介質的密度作周期性變化，稠密時壓強大，稀疏時壓強小，在某一時刻，介質中某一點的壓強與無聲波時的壓強之差。若聲波方程為：則可以證明：聲壓的幅值：2．聲阻抗聲阻抗是表征介質聲學特性的一個重要物理量聲壓的單位即壓強的單位N/m2,聲阻抗的單位是kg.m-2.s-1。討論：（1）聲壓與介質振動速度具有相同位相，（2）聲壓超前位移/2，（3）聲壓與f成正比；（4）聲壓一定，聲阻抗與介質振動速度幅值成反比，（5）要注意聲速與介質振動速度區別。3.聲強：單位時間通過單位面積（與聲速垂直）的平均能量，也叫能流密度。例：1000hz的痛域強度I=1W/m2在聽覺區域中，聲強差別很大，但人耳主觀感覺差別并沒有這樣大。因此用聲強級來表示聲音強度的等級。4．聲強級：例：已知兩聲強級之差為20dB，求兩聲強之比。表3-2幾種聲音的聲強、聲強級聲源 聲強（w/m2）聲強級（dB） 引起聽覺傷害的聲音 100 140 炮聲1 120 引起痛覺的聲音 1 120 鉆巖機或鉚釘機 10－2 100 鬧市車聲 10－５

70 通常的談話 10－6 60 耳語 10－10 20 樹葉沙沙聲 10－11 10二、聽覺域引起人耳聽覺的聲波，不僅有頻率范圍，而且有聲強范圍。對每一給定的可聞頻率，聲強都有上下兩個限值。下限值是能引起聽覺的最低聲強—聽閾。低于下限值的聲強，不能引用聽覺。上限是人耳所能忍受的最高聲強—痛閾。高于上限值的聲強，只能引起耳的疼痛，不能產生聽覺。聽閾隨聲波頻率變化的曲線—聽閾曲線。痛閾隨聲波頻率變化的曲線—痛閾曲線。由聽閾曲線、痛閾曲線、20hz和20000hz線所圍成的區域—聽覺區域。3-9多普勒效應

當我們在火車站送別親人和朋友的時候，望著遠去的火車，我們會覺得火車也嗚咽著，聲音比較低沉，好像我們依依惜別的心情。而當我們接親人的時候，進站的汽笛聲仿佛也變得尖銳而高昂，也很符合我們當時的心情。同樣的現象還出現在呼嘯而來的警車或者救護車的警笛聲中，來時尖銳急促，走時冷靜低沉。這是我們的心理作用嗎？

1842年，奧地利物理學家克里斯琴·多普勒在前人觀察的基礎上，驗證了運動的聲源與觀察者接受到的聲音音高的變化。具體說就是接近觀察者的聲源，聲音會變尖銳，而遠離觀察者的物體，聲音會變得低沉。多普勒這樣解釋這一現象：當聲源朝你運動時，聲波被物體的運動壓縮而導致波長變短，頻率升高；當物體遠離的時候，聲波被拉開，波長變長，頻率變低。如果物體的運動速度足夠大以至于這種頻率的變化能夠被我們的耳朵分辨出來的時候，這種變化體現在我們的耳朵當中就是聲音的變高或者變低。這種由于聲源和觀察者之間存在相對運動，使觀察者感到聲調變化的現象就叫做多普勒效應。

正如多普勒指出的那樣，多普勒效應不