工程隨機過程第四章平衡隨機過程和各態歷經過程在隨機過程的大家族中，有一類隨機過程，它的統計特性或者說統計變化規律與所選取的時間起點無關。或者說，整個隨機過程的統計特性不隨時間的推移而變化。例如，飛機在某一水平高度h上飛行時，由于受到氣流的影響，實際飛行高度H(t)總是在理論設計高度h水平上下隨機波動，此時飛機的實際飛行高度H(t)是一個隨機過程，顯然此過程可看作不隨推移面變化的過程，這個隨機過程，我們把它看作是平衡的隨機過程。此外當我們知道一個隨機過程是平穩過程時，它應不隨時間的推移而變化。例如當我們要測定一個電阻的熱噪聲的統計特性，由于它是平穩過程，因而我們在任何時間進行測試都能得到相同的結果。§4.1嚴平穩隨機過程及其數字特征

定義嚴平穩隨機過程：對于任意的t，隨機過程X(t)的任意n維概密度都有

則稱X(t)為嚴平穩隨機過程。研究平穩過程的意義在于：該過程在任何時刻計算它的統計結果都是相同的。由定義知平穩隨機過程的n維概度密度函數不隨時間而變化，這一特性具體反映在隨機過程的一、二維概率密度及數字特征方面具有如下性質：性質4.1

若X(t)為平衡過程，則它的一維概率密度與時間無關。

性質4.1

若X(t)為平衡過程，則它的一維概率密度與時間無關證設X(t)的一維概率密度函數為，由于X(t)為平穩過程∴令則由此我們可求平穩過程X(t)的均值、均方值、方差。顯然是一個數。這說明平穩隨機過程的數學期望與時間無關。顯然，X(t)的均方值、方差都與時間t無關。由此知，當隨機過程為平穩過程時，該過程的所有樣本函數總是它們均值——水平直線上下波動，樣本曲線偏離水平直線的幅度正好是。如圖4.1所示，圖中細實線表示隨機過程的樣本函數，粗實線表示隨機過程的數學期望，虛線表示隨機過程對數學期望的偏差。性質4.2

平穩過程X(t)的二維概率密度只與的時間間隔有關，而與時間起點無關。性質4.2

平穩過程X(t)的二維概率密度只與的時間間隔有關，而與時間起點無關。證：設X(t)的二維概率密度函數為由于X(t)為平穩過程，所以對任意有若令，則而正是隨機過程二維概率密度函數的時間間隔，令，則：此式表明，平穩隨機過程的二維概率密度函數僅依賴于，而時間的個別值無關。由此，我們可以進一步來討論平穩過程X(t)的自相關函數應具有什么樣的表達形式。又∵

∴

順便指出，由一個隨機過程的平穩性研究可推廣到關于兩個隨機過程的平穩性研究，可以這樣說，若兩個隨機過程的聯合概率密度函數不隨時間的平移而變化，與時間的起點無關，則可稱這兩個隨機過程是聯合平衡的，或稱平穩相依。§4.2寬平穩隨機過程

從上面介紹的嚴平穩隨機過程的定義知，要判斷一個隨機過程是否是嚴平穩，需要確定該隨機過程的任意n維概率密度函數族，它的變化是否與時間的平穩無關，這本身就是一個十分困難的工作，然而在工程上根據實際需要，我們往往只在所謂的相關理論范圍內考慮隨機過程的平穩性問題，這里所指的相關理論，就是指隨機過程的數字特征，即數學期望、相關函數和今后要介紹的功率普密度等。當在相關理論又可指研究隨機過程的一、二階矩理論。

前面已經介紹過，對于一個隨機過程X(t)，我們當然希望能建立起它的多維分布函數，因為隨機過程的多維分函數能較完整地描述隨機過程的統計特性，但是要建立多維分布函數往往很困難，因此我們一般在相關理論范圍內也就是用數字特征來描述過程的重要特性，這種用數字特征來描述過程X(t)統計特性變化規律，對很多實際問題往往已能獲得很好的效果，可以提取到所需的參數。定義寬平穩過程：給定隨機過程X(t)，如果常數且則稱X(t)為寬平穩過程（廣義平穩過程）。顯然由寬平穩定義可知，要求就要考慮X(t)的一維概率密度函數和二維概率密度函數。下面我們來分析一下嚴平穩和寬平穩之間的關系。對于一個隨機過程X(t)，如果它是嚴平穩的，且它的二階矩存在及均方有界，則由嚴平穩雙因嚴平穩的一維概率密度與時間無關，即∴常數又因嚴平穩的二維概率密度只與時間間隔有關，即∴綜上所述，嚴平穩一定是寬平穩

反之不一定成立，除非是高斯過程（正態過程）。類似地，我們還可以給出兩個隨機過程聯合寬平穩定義。定義聯合寬平穩：對于平穩過程若則稱聯合寬平穩。

順便指出，今后凡提到“平穩過程”，通常是指寬平穩過程。例4.1設Y是隨機變量，試分別考慮隨機過程的平穩性。

順便指出，今后凡提到“平穩過程”，通常是指寬平穩過程。例4.1設Y是隨機變量，試分別考慮隨機過程的平穩性。解∵Y是隨機變量，∵這一過程是一個與時間無關的特殊的過程，它的任何n維概率密度函數與時間無關，所以是一個嚴平穩。∵是嚴平穩,∴只要則X1(t)是寬平穩。對于都與時間有關，所以為非平穩。例4.2設是一周期為T的函數，是（0,T）上具有均勻分布的隨機變量，稱為隨機相位周期過程，試討論它的平穩性。解由題設知的概率密度函數為要討論X(t)的平穩性，由寬平穩定義知，需要求。當取定為一隨機變量的函數，由求隨機變量函數的數學期望公式知∵令，則常數又∵令§4.3各態歷經過程

1.各態歷經問題的提出

對于一個隨機過程X(t)，我們當然希望知道它們的分布函數，但很困難，于是我們退而求其次，考慮求它的數字特征即數學期望、相關函數等。但要求X(t)的數字特征，首先需要知道它的一、二維概率密度函數，即這實際上又很難辦，進而為我們求數字特征又帶來困難。怎么解決這個問題呢？實際上，在工程中，要求X(t)的數字特征，我們首先是通過試驗來產生一族時間樣本函數或者是做試驗產生一個樣本函數x(t)，然后再對樣本函數x(t)取不同時刻，如，得所對應的結果，即此時隨機過程可表示為。對任意指定時刻的數學期望可近似表示為自相關函數可近似表示為來計算，顯然這種用近似計算的方法來估計隨機過程的數學期望及自相關函數要求n很大，即樣本函數xk(t)很多。但這在實際工程又常常又很難做到，于是人們自然想到能不能夠通過測試一個樣本函數如用一個樣本函數xi(t)的均值和相關函數來近似隨機過程的均值和相關函數，如果能，這為我們求隨機過程的數學特征就帶來了很大方便。這里提出一個問題：怎樣表示一個樣本函數如x1(t)的均值呢？我們以下式來表示顯然x1(t)不同其積分結果一般不同。

于是對一個隨機過程，，其樣本函數的積數結果可能不同。此時顯然用一個樣本函數的數字特征如，近似是不正確的。但是如果當時間區間T充分大時，如果X(t)的絕大多數樣本函數的均值都有則我們可用其中一個樣本函數的均值作為[X(t)]的近似，即定義隨機過程的時間均值和時間相關函數：稱為隨機過程的時間相關函數。注意：定義中一般都是隨機變量（常數可看作特殊的隨機變量）。由上述分析可知，是不是任何一個隨機過程，它的數學期望、相關函數都可用其中的一個樣本函數的均值和自相關函數來近似呢，顯然不一定，一個自然的問題是X(t)在什么條件下可用一個樣本函數的均值和自相關函數作為整個過程X(t)的均值，自相關函數的近似呢？2.平穩隨機過程的各態歷經性

要回答上述的問題，我們設當X(t)為平穩過程且滿足一定條件時，可用一個樣本函數的均值和自相關函數作為過程X(t)的數字特征近似，為此我們給出如下定義：定義：設X(t)是一個平穩過程（1）若

以概率1成立，則稱隨機過程X(t)均值具有各態歷經性這里依概率1成立是指對X(t)的所有樣本函數即由此知，此時，我們可用一個樣本函數的均值如的值作為的近似值。反之，若已知X(t)的均值各態歷程，則可用一個樣本函數的均值作為過程X(t)的均值。（2）若

以概率1成立，則稱X(t)的自相關函數具有各態歷經性。

這里若X(t)的自相關函數各態歷經，就是指我們可用過程X(t)的一個樣本函數、xn(t)的時間相關函數

即作為過程的相關函數。（3）若X(t)的均值和自相關函數都具有各態歷經性，則稱X(t)是寬各態歷經過程，簡稱X(t)為各態歷經過程。綜上所述，如果X(t)是各態歷經過程，則必為平穩過程，此時可用過程的一個樣本函數的數字特征作為過程的數字特征近似。例4.3設隨機過程式中為參數，是（0.2,）上均勻分布隨機變量。①求證X(t)是寬平穩過程；②該過程是否是各態歷經過程。例4.3設隨機過程式中為參數，是（0.2,）上均勻分布隨機變量。①求證X(t)是寬平穩過程；②該過程是否是各態歷經過程。解①∴X(t)為一寬平穩過程。②顯然由①、②結果再由隨機過程各態歷經定義知∴X(t)為寬各態歷經過程。如果兩個隨機過程X(t)，Y(t)，當它們各自都是各態歷經時，并且時間互相關函數與統計相關函數以概率1相等時，我們有如下定義：定義兩個隨機過程聯合各態歷經：設X(t)，Y(t)各自都各態歷經則稱X(t)，Y(t)為聯合各態歷經過程。同理當X(t)，Y(t)聯合各態歷經時，可用它們的一對樣本函數的數字特征作為X(t)，Y(t)的數字特征近似。3.

隨機過程成為各態歷經過程的判定

從前面的分析知，如果一個隨機過程能成為一個平衡過程，這對我們研究各態歷經非常方便。各態歷經則該過程一定是平衡過程，反之則不一定成立，于是很自然提出這樣一個問題，能不能給出一些判定定理，使其可以很方便地判定一個平穩過程成為各態歷經過程。通過對平穩過程的分析研究，我們給出如下的幾個判定定理。

性質4.3平穩過程X(t)的均值具有各態歷經性的充要條件是

式中：為平穩過程的自相關函數；為平穩過程的數學期望。例4.4已知隨機電報信號X(t)，它的，，問X(t)是否均值各態歷經。例4.4已知隨機電報信號X(t)，它的，，問X(t)是否均值各態歷經。解∵∴X(t)是均值各態歷經的。性質4.4平衡過程X(t)的自相關函數具備各態歷經性的充要條件是式中平穩過程X(t)和Y(t)的互相關函數具有聯合各態歷經性的充要條件（4.7）式相似，只是將（4.7）式中相應的自相關函數改為互相關函數即可。性質4.5對于高斯平穩過程，如果它的均值為零，自相關函數連續，則該過程各態歷經的一個充分條件是

綜上所述，對一個平穩隨機過程X(t)通過性質1、2判定以后，如果X(t)各態歷經了，則對于該過程的數字特征，即求，我們可用也就是當X(t)各態歷經時，我們可用一個樣本函數的時間均值和時間自相關函數作為過程X(t)的數學期望、自相關函數的近似。最后順便說明，對于許多實際問題，如果要從理論上判定一個過程是否為各態歷經過程，往往是比較困難。因此工程上經常都是憑經驗把各態歷經性作為一種假設，然后根據實驗來檢驗這個假設是否合理。在實際應用中一般不可能給出隨機過程X(t)的樣本函數x(t)的表達式，因此，確定各態歷經過程的數學期望、自相關函數，有兩種方法：第一種方法用模擬自相關分析儀，自動畫出自相關曲線。這種儀器的功能是當輸入樣本函數時，X-Y記錄儀自動描繪出自相關函數的曲線。它的方框圖如圖4.2所示。圖4.2圖4.3

第二種方法用數字處理方法（即近似計算方法）。如圖4.3把[0，T]等分為N個長為的小區間，再在時刻，取樣，得N個函數值。于是再把積分表達式表示為基本區間上的和，就有數字估計式（4.8）。類似可以寫出在時的自相關函數估計式（4.9）式，由這個估計式可算出自相關函數的一系列近似值，從而可作出自相關函數的近似圖形，見圖4.4。圖4.4最后指出，工程上遇到的很多平穩過程，我們一般都把它看成各態歷經過程，然后用各態歷經的方法來確定過程X(t)的統計特性，看處理出來的結果是否與實際相符合，如果不相符合，再對過程的假設作修改。

4.平穩過程自相關函數的性質對于一個隨機過程，它的基本數字特征是數學期望和相關函數，但是當隨機過程為平穩過程時，它的數學期望是一個常數，經中心化后可以變為零，所以當過程X(t)平穩后其基本數字特征實際上就是相關函數。此外，相關函數不僅可向我們提供隨機過程各狀態間的關聯特性的信息，而且也是求取隨機過程的功率譜密度以及從噪聲中提取有用信息工具。為此下面我們專門研究一下平穩過程相關函數的性質。性質4.6證∵當，即平穩過程的均方值可自由相關函數得到。性質4.7，即平穩過程的自相關函數為偶函數。同理證∵性質4.8平穩過程X(t)自相關函數的最大點在處，即

性質4.8平穩過程X(t)自相關函數的最大點在處，即證∵任何非負函數的數學期望恒為非負值，的平方均值，即∴∴∴又∵X(t)平穩，∴∴∵平穩隨機過程的一維率密度函數不隨時間的平緩而變化，即∴∴∴同理對于

性質4.9周期平穩過程X(t)的自相關函數是周期函數，且與周期平穩地程的周期相同，即證設∵性質4.10非周期平穩過程X(t)的自相關函數滿足例4.6非周期平穩過程X(t)的自相關函數。求。解∵∴∴為了方便表征隨機過程在兩個不同時刻狀態之間的線性關聯程度，我們給出自相關系數定義：定義自相關系數：

特別取，一般有顯然，自相關系數越接近1，狀態之間的關聯程度越高。也可以說，當狀態與狀態之間的時間間隔越小，狀態之間的關系越高。因此相關系數可直觀地說明隨機過程不同兩個狀態的自相關程度的強弱或隨機過程起伏的快慢。相關時間是另一個表示隨機過程相關程度的量，它是利用相關系數來定義的。一般相關時間的定義有兩種，一種是把滿足時的作為相關時間。其物理意義為：若隨機過程X(t)的相關時間為，則認為隨機過程的時間間隔大于的兩個時刻的取值不相關。另一種定義相關時間間隔大于的兩相時刻的取值不相關。另一種定義相關時間方法是將曲線在之間的面積等效成的矩形，如圖4.3所示。因此有圖4.3自相關系數5.設隨機過程互相關函數性質設為兩個平穩過程。性質4.11一般情況下，互相關函數是非奇非偶函數，同理，互協方差函數也是非奇非偶函數。性質4.12互相關函數的幅度平方滿足同理，互協方差函數滿足性質4.13互相關函數和互協方差函數的幅度滿足同理性質4.14互相關系數為了研究兩個平穩過程的相互關聯程度，我們引入互相關系定義定義互相關系數：可以證明，且當時互不相關。習題四1.考慮一個具有隨機相位的余弦波，它由如下定義的隨機過程描述：，其中是常數，服從上的均勻分布，證明X(t)是寬平穩過程。2.考慮一個具有隨機振幅的正弦波，它由如下定義的隨機過程描述其中，A、B為兩個隨機變量，且滿足，，度X(t)為寬平穩過程。3.設隨機過程是方差不為零的隨機變量，試討論其各態歷經性。4.設X(t)是雷達的發射信號，遇到目標后返回接收機的微弱信號是是信號返回時間，由于接收到的信號總是伴有噪聲，記噪聲為，于是接收機收到的全信號。①若X(t)和Y(t)是聯合平穩，求互相關函數。②在①的條件下，假如N(t)的均值為零，且X(t)是相互獨立，求（這是利用互相關函數從全信號中檢測小信號的接收法）。5.設有隨機過程，其中A是具有瑞利分布的隨機變量，其概率密度為是在（0,2）上具有均勻分布且與A相互獨立的隨機變量，是一個常數，問X(t)是否是寬平穩過程。第五章隨機過程的功率譜密度

當我們在時間域內研究某一函數的特性時，如果確定起來不方便，在數學上我們可以考慮將此函數通過某種變換將它變換到另一區域，比如說頻率域內進行研究，最終目的是使問題簡化。傅里葉變換提供了一種方法，就是如何將時間域的問題轉換到頻率域，進而使問題簡化。在頻率域內，頻率意味著信息變化的速度。即，如果一個信號有“高”頻成分，我們在頻率域內就可以看到“快”的變化。這方面的應用在數字信號分析和電路理論等方面應用極廣。是不是任何一個時間函數都可以將其通過傅氏變換變到頻率域去研究呢？我們說當時間函數滿足絕對可積條件時可以。然而，隨機過程的樣本函數，即一般不滿足絕對條件，因此隨機過程不能直接進行付氏變換。此外，很多隨機過程的樣本函數不規則，無法用方程描述。這樣，若想直接對隨機過程進行譜分解，顯然也不行。但是，對隨機過程進行某種處理后，同樣可對隨機過程施行傅里葉變換。§5.1功率譜密度

為了研究隨機信號的傅氏變換，我們首先簡單復習一下確定信號的頻譜、能譜密度及能量概念，然后再引入隨機過程的功率譜密度概念。定理5.1設S(t)是一個確定信號，且在上，則S(t)的傅氏變換存在，或者說具有頻譜記為一般頻譜是一個復數，且有，*表示共軛。我們知道，對于復數有∴對于定理的物理解釋是，或代表電流或電壓，則定理條件要求，即是要求的總能量必須有限。

由積分變換的巴塞伐能量公式有下面我們來解釋一下公式的物理含義等式左邊表示在上的總能量，而右邊積分中被積函數相應地稱為能譜密度。巴塞伐公式理解為時間域上的總能量可用頻率域上的頻譜能量表示。然而，工程技術上有許多重要的時間函數總能量是無限的，不能滿足傅氏變換絕對可積條件，如正弦就是。我們要研究的隨機過程，由于持續時間是無限的，所以其總能量也是無限的，即所以隨機過程的頻譜不存在。那么該如何應用傅氏變換工具來對隨機過程進行化簡研究呢？我們是這樣考慮的，一個隨機過程，盡管它的樣本函數總能量是無限的，但它的平均功率是有限的，即這是隨機過程的樣本函數在時間域上的平均功率表示。這樣，對隨機過程的樣本函數而方，雖然研究它的頻譜沒有意義，但研究它的平均功率確有意義。圖5.1及其截取函數

怎樣具體表示隨機過程一個樣本函數的平均功率呢，我們是這樣操作的：首先定義的一個樣本函數，不妨設為，再次將樣本函數任意截取一段，長度為2T，并記為。稱為原樣本函數的截取函數，如圖5.1所示。用公式表示即為于是滿足絕對可積條件。∴存在付氏變換，即這里稱為的頻譜函數。又由于隨機過程在隨機試驗中取哪一個樣本函數具有不確定性。因此，不同的試驗結果，就意味著隨機過程可能取不同的樣本函數，亦即樣本函數與試驗結果有關，為此，可將樣本函數進一步表示為，當然該樣本函數的截取函數也可相應表示為，顯然它的傅氏變換也可表示為。又∵由于引入隨機過程樣本函數的截取函數定義，所以又可給出上式隨機過程的樣本函數平均功率在頻率域的表示形式。在上式中，令則稱（5.1）式為隨機過程X(t)的樣本函數的功率譜密度函數。定義樣本函數的功率譜密度式中，為截取函數的頻譜。又∵隨機過程是由一族樣本函數組成，即顯然對每一個樣本函數，按照上面類似的方法都呆以求出它的一個樣本函數的功率譜密度，于是對所有的樣本函數取統計平均就可給出隨機過程的功率譜密度定義。定義隨機過程的功率譜密度：隨機過程的一個樣本函數的平均功率的表示形式，有兩種類似的，可求出X(t)的所有樣本函數的平均功率表示形式，然后取統計平均，則可以給出隨機過程的平均功率定義，定義隨機過程的平均功率：由隨機過程平均功率定義可知，要求隨機過程的平均功率可用兩種方法，一種方法是求出，即過程的功率譜密度，然后再積分，另一種方法是先求出過程的均方值，再積分。特別地，當我們研究的隨機過程是平穩過程時，此時的平穩過程平均功率可表示為：∵X(t)平穩∴∴該式說明：平穩過程的平均功率等于該過程的均方值，也可由隨機過程的功率譜密度在全頻域上積分得到。若隨機過程再各態歷經，則各態歷經過程的功率譜密度可用一個樣本函數的功率譜密度來表示：例5.1隨機過程式中，是常數，上均勻分布隨機變量，求的平均功率。例5.1隨機過程式中，是常數，上均勻分布隨機變量，求的平均功率。解∵∴顯然該過程不平穩。∴§5.2功率譜密度與自相關函數的關系通過對隨機過程的分析，我們知道隨機過程的相關函數是從時間有度描述了過程的重要統計特性，而隨機過程的功率譜密度是從頻率角度描述了過程的統計特性，二者是異曲同工，研究的都是一個對象，于是人們自然提出一個問題，隨機過程的相關函數和它的功率譜密度之間是否存在一定關系，我們說當隨機過程平穩且滿足一定條件時，它們之間存在一定關系。定理5.2如果平穩過程X(t)的相關函數絕對可積，即則過程X(t)的相關函數和功率譜密度之間存在付氏變換，即例5.2設X(t)是平穩過程，共相關函數，其中、是正數，求X(t)的譜密度。例5.2設X(t)是平穩過程，自相關函數，其中、是正數，求X(t)的譜密度。解最后需要指出，在實際問題中常常碰到一些平穩過程，它的自相關函數或功率譜密度在通常意義可能付氏變換不存在。如果我們允許自相關函數或功率譜密度函數含有函數定義下自相關函數與功率譜密度存在付氏變換。定義函數：如果函數滿足則稱函數為函數。性質5.1若為無窮次可微函數，則或例5.3求的付氏變換。例5.4求的付氏逆變換。解∵又∵

∴例5.5若隨機過程X(t)的自相關函數為求譜密度。例5.5若隨機過程X(t)的自相關函數為解§5.3功率譜密度性質

由隨機過程的功率譜密度定義，即可得如下幾個常用的性質。性質5.2

∵

式中，必為非負。∴∴性質5.3是實函數。證∵是實函數∴是實函數∴是實函數性質5.4是偶函數。證∵∴

而∴∴∴是偶函數。性質5.5設X(t)為一個隨機過程，為隨機過程的導數，則證