山西省忻州市趙家營學校2023年高三數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.用“輾轉相除法”求得360和504的最大公約數是（）A．72 B．36 C．24 D．2520參考答案：A【考點】用輾轉相除計算最大公約數．【分析】用較大的數字除以較小的數字，得到商和余數，然后再用上一式中的除數和得到的余數中較大的除以較小的，以此類推，當整除時，就得到要求的最大公約數．【解答】解：∵504÷360=1…144360÷144=2…72144÷72=2∴360和504的最大公約數是72故選A．2.對于函數，下列說法正確的是（

）

A．該函數的值域是

B．當且僅當時，

C．當且僅當時，該函數取最大值1

D．該函數是以為最小正周期的周期函數參考答案：B由圖象知，函數值域為，A錯；當且僅當時，該函數取得最大值，C錯；最小正周期為，D錯.3.設，直線x=﹣1，x=1，y=0，y=e圍成的區域為M，曲線y=f（x）與直線x=1，y=0圍成的區域為N，在區域M內任取一點P，則P點在區域N的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】幾何概型．【分析】根據題意，畫出曲線y=f（x）與直線x=1，y=0圍成的區域為N（陰影部分），以及直線x=﹣1，x=1，y=0，y=e圍成的區域為M，計算陰影面積與正方形面積比即可．【解答】解：如圖，SN=×1×1+exdx=+ex|=+e﹣1=e﹣，SM=2e，∴P點在區域N的概率為==﹣，故選：A4.已知的圖象與的圖象的相鄰兩交點間的距離為，要得到的圖象，只需把的圖象A．向右平移個單位B．向左平移個單位C．向左平移個單位D．向右平移個單位參考答案：A5.下圖給出4個冪函數的圖象，則圖象與函數的大致對應是（）A．①，②y=x2，③，④y=x﹣1B．①y=x3，②y=x2，③，④y=x﹣1C．①y=x2，②y=x3，③，④y=x﹣1D．①，②，③y=x2，④y=x﹣1參考答案：B略6.在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，若a=，A=，則b+c的最大值為（）A．4 B．3 C．2 D．2參考答案：C【考點】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理可得：===2，于是b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin=2sin，再利用三角函數的單調性與值域即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：===2，∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin=2sinB+2cosB+=3sinB+cosB=2sin≤2，當且僅當B=時取等號．∴b+c的最大值為2．故選：C．【點評】本題考查了正弦定理、和差公式、三角函數的單調性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．7.定義域為R的四個函數，，，中，偶函數的個數是(

)A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：8.過橢圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：B由題意知點P的坐標為（-c,）,或（-c,-），因為，那么，這樣根據a,b,c的關系式化簡得到結論為，選B

9.執行如圖所示的程序框圖，輸出的S是（）A．10 B．15 C．20 D．35參考答案：D【考點】程序框圖．【分析】執行程序框圖，依次寫出每次循環得到的p，s，i的值，當i=6時，不滿足條件i≤5，退出循環，輸出s的值為35．【解答】解：執行程序框圖，有i=1，p=0，s=0滿足條件i≤5，p=1，s=1，i=2滿足條件i≤5，p=3，s=4，i=3滿足條件i≤5，p=6，s=10，i=4滿足條件i≤5，p=10，s=20，i=5滿足條件i≤5，p=15，s=35，i=6不滿足條件i≤5，退出循環，輸出s的值為35．故選：D．10.已知函數,是函數的導函數，且有兩個零點和(),則的最小值為A．

B．

C．

D．以上都不對參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若偶函數對定義域內任意都有，且當時，，則

.參考答案：-1

略12.下列命題的說法錯誤的是（）A．對于命題p：?x∈R，x2+x+1＞0，則?p：?x0∈R，x02+x0+1≤0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件C．若命題p∧q為假命題，則p，q都是假命題D．命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2﹣3x+2≠0”參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】利用命題的否定判斷A的正誤；充要條件判斷B的正誤；復合命題的真假判斷C的正誤；四種命題的逆否關系判斷D的正誤；【解答】解：對于A，命題p：?x∈R，x2+x+1＞0，則?p：?x0∈R，x02+x0+1≤0，滿足命題的否定關系，正確；對于B，“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件，滿足“x=1”?“x2﹣3x+2=0”，反之，不成立，所以B正確；對于C，若命題p∧q為假命題，則p，q至少一個是假命題，所以C不正確；對于D，命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2﹣3x+2≠0”，滿足逆否命題的形式，正確．故選：C．13.投擲兩顆相同的正方體骰子（骰子質地均勻，且各個面上依次標有點數1、2、3、4、5、6）一次，則兩顆骰子向上點數之積等于12的概率為____________.參考答案：略14.已知點，當兩點間距離取得最小值時，x的值為_________.

參考答案：略15.如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若，，則m+n的取值范圍為．參考答案：[2，+∞）【考點】平面向量的基本定理及其意義．【分析】由三點共線時，以任意點為起點，這三點為終點的三向量，其中一向量可用另外兩向量線性表示，其系數和為1得到+=1，然后利用基本不等式求最值【解答】解：∵△ABC中，點O是BC的中點，∴=（+），∵，，∴=+，又∵O，M，N三點共線，∴+=1，∴m+n=（m+n）（+）=（2++）≥（2+2）=2，當且僅當m=n=1時取等號，故m+n的取值范圍為[2，+∞），故答案為：[2，+∞）16.已知為等差數列，，為其前n項和，則使達到最大值的n等于___________.參考答案：617.已知F1，F2是橢圓=1的兩個焦點，A，B分別是該橢圓的左頂點和上頂點，點P在線段AB上，則的最小值為．參考答案：﹣【分析】求得橢圓的焦點和A，B的坐標，以及直線AB的方程，設出P（m，n），求得的坐標表示，由m2+n2的幾何意義：表示原點與AB上的點的距離的平方，運用點到直線的距離公式即可得到所求最小值．【解答】解∵橢圓=1，∴A（﹣2，0），B（0，1），F1（﹣，0），F2（，0），可得AB的方程為x﹣2y+2=0，設P（m，n），則=（﹣﹣m，﹣n）（﹣m，﹣n）=m2+n2﹣3，由m2+n2的幾何意義：表示原點與AB上的點的距離的平方．可得原點到直線AB的距離取得最小，且為=，即有m2+n2﹣3的最小值為﹣3=﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查橢圓方程和性質，考查向量的坐標表示及最值的求法，解題時要認真審題，注意m2+n2的幾何意義的合理運用，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，，，是常數．⑴求曲線在點處的切線．⑵是否存在常數，使也是曲線的一條切線．若存在，求的值；若不存在，簡要說明理由．⑶設，討論函數的單調性．參考答案：⑴，，……1分，所以直線的方程為。⑵設在處的切線為，則有……4分，解得，即，當時，是曲線在點的切線．⑶．當，時，……7分，在單調遞增；當時，……9分，在單調遞增，在單調減少；當時，解得，，在和單調遞增，在單調減少；當時，解得，（舍去）……13分，在單調遞增，在單調減少．19.中學高三文科班學生參加了數學與地理水平測試，學校從測試合格的學生中隨機抽取100人的成績進行統計分析.抽取的100人的數學與地理的水平測試成績如下表：成績分為優秀、良好、及格三個等級，橫向、縱向分別表示地理成績與數學成績，例如：表中數學成績為良好的共有20+18+4=42人.（1）若在該樣本中，數學成績優秀率為30%，求a，b的值；（2）若樣本中，求在地理成績及格的學生中，數學成績優秀的人數比及格的人數少的概率.

參考答案：（1），；（2）.

（1）由，得，

3分∵∴，∴，；

6分（2）由題意知，且，∴滿足條件的有,共14組.且每組出現的可能性相同.

9分其中數學成績優秀的人數比及格的人數少的有：共6組.

11分∴數學成績為優秀的人數比及格的人數少的概率為.

12分20.（14分）已知函數f（x）=e﹣x（x2+ax）在點（0，f（0））處的切線斜率為2．（Ⅰ）求實數a的值；（Ⅱ）設g（x）=﹣x（x﹣t﹣）（t∈R），若g（x）≥f（x）對x∈[0，1]恒成立，求t的取值范圍；（Ⅲ）已知數列{an}滿足a1=1，an+1=（1+）an，求證：當n≥2，n∈N時f（）+f（）+L+f（）＜n?（）（e為自然對數的底數，e≈2.71828）．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】計算題；壓軸題；函數的性質及應用；導數的綜合應用．【分析】（Ⅰ）求導f′（x）=﹣e﹣x（x2+ax）+e﹣x（2x+a）=﹣e﹣x（x2+ax﹣2x﹣a）；從而可得f′（0）=﹣（﹣a）=2，從而解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e﹣x（x2+2x），從而化簡g（x）≥f（x）得﹣x（x﹣t﹣）≥e﹣x（x2+2x），x∈[0，1]；從而分x=0與x∈（0，1]討論，再化恒成立問題為最值問題求解即可．（Ⅲ）由an+1=（1+）an，及a1=1可得an=n；再由當x∈（0，1]時，f′（x）=﹣e﹣x（x2﹣2）＞0知f（x）在[0，1]上單調遞增，且f（x）≥f（0）=0；故f（）＜f（x）dx，（1≤i≤n﹣1，i∈N），從而化簡[f（）+f（）+…+f（）]=[f（）+f（）+…+f（）]＜f（x）dx；再由f（x）≤g（x）=﹣x2+（1+）x得f（x）dx≤g（x）dx=+，從而證明．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e﹣x（x2+ax），∴f′（x）=﹣e﹣x（x2+ax）+e﹣x（2x+a）=﹣e﹣x（x2+ax﹣2x﹣a）；則由題意得f′（0）=﹣（﹣a）=2，故a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e﹣x（x2+2x），由g（x）≥f（x）得，﹣x（x﹣t﹣）≥e﹣x（x2+2x），x∈[0，1]；當x=0時，該不等式成立；當x∈（0，1]時，不等式﹣x+t+≥e﹣x（x+2）在（0，1]上恒成立，即t≥[e﹣x（x+2）+x﹣]max．設h（x）=e﹣x（x+2）+x﹣，x∈（0，1]，h′（x）=﹣e﹣x（x+1）+1，h″（x）=x?e﹣x＞0，∴h′（x）在（0，1]單調遞增，∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）在（0，1]單調遞增，∴h（x）max=h（1）=1，∴t≥1．（Ⅲ）證明：∵an+1=（1+）an，∴=，又a1=1，∴n≥2時，an=a1??…?=1??…?=n；對n=1也成立，∴an=n．∵當x∈（0，1]時，f′（x）=﹣e﹣x（x2﹣2）＞0，∴f（x）在[0，1]上單調遞增，且f（x）≥f（0）=0．又∵f（）（1≤i≤n﹣1，i∈N）表示長為f（），寬為的小矩形的面積，∴f（）＜f（x）dx，（1≤i≤n﹣1，i∈N），∴[f（）+f（）+…+f（）]=[f（）+f（）+…+f（）]＜f（x）dx．又由（Ⅱ），取t=1得f（x）≤g（x）=﹣x2+（1+）x，∴f（x）dx≤g（x）dx=+，∴[f（）+f（）+…+f（）]＜+，∴f（）+f（）+…+f（）＜n（+）．【點評】本題考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力和運算求解能力，考查函數與方程的思想、化歸與轉化的思想、數形結合的思想，考查運用數學知識分析和解決問題的能力．21.數列的各項都是正數，前項和為,且對任意，都有.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求數列的通項公式.參考答案：證明：（I）在已知式中，當時，

因為，所以,

所以，解得

(Ⅱ)當時，

①

②

當時，

①

②

①－②得，

因為

所以，

即

因為適合上式

所以(n∈N+)

（Ⅲ）由（I）知③

當時，

④

③－④得－

因為

,所以所以數列是等差數列，首項為1，公差為1，可得略22.（Ⅰ）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范圍；（Ⅱ）已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，求證：．參考答案：【考點】不等式的證明．【專題】選作題；轉化思想；演繹法；不等式．【分析】（Ⅰ）已知x2+y2=1，由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2