山西省忻州市石咀中學2021-2022學年高一數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列說法中，正確的是

（

）A.任何一個集合必有兩個子集B.若C.任何集合必有一個真子集

D.若為全集，參考答案：D2.函數f（x）滿足對定義域內的任意x，都有f（x+2）+f（x）＜2f（x+1），則函數f（x）可以是(

)A．f（x）=lnx B．f（x）=x2﹣2x C．f（x）=ex D．f（x）=2x+1參考答案：A【考點】函數與方程的綜合運用．【專題】函數思想；分析法；函數的性質及應用．【分析】將所給的不等式化為：“f（x+2）﹣f（x+1）＜f（x+1）﹣f（x）”，得到不等式對應的函數含義，根據基本函數同為增函數時的增長情況，對答案項逐一進行判斷即可．【解答】解：由f（x+2）+f（x）＜2f（x+1）得，f（x+2）﹣f（x+1）＜f（x+1）﹣f（x）①，∵（x+2）﹣（x+1）=（x+1）﹣x，∴①說明自變量變化相等時，當自變量越大時，對應函數值的變化量越來越小，對于A、f（x）=lnx是增長越來越慢的對數函數，當自變量越大時，對應函數值的變化量越來越小，A正確．對于B、f（x）=x2﹣2x在定義域上不是單調函數，在（﹣∞，1）上遞減，在（1，+∞）遞增，B錯；對于C、f（x）=ex是增長速度最快﹣呈爆炸式增長的指數函數，當自變量越大時，對應函數值的變化量越來越大，C錯；對于D、f（x）=2x+1是一次函數，且在R上直線遞增，函數值的變化量是相等的，D錯．故選A．【點評】本題考查了基本函數同為增函數時的增長速度的應用，此題的關鍵是將不等式進行轉化，并能理解不等式所表達的函數意義，考查了分析問題、解決問題的能力．3.如圖，一個空間幾何體的正視圖，左視圖，俯視圖均為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長都為1，那么這個幾何體的體積為（

）

A．

B．

C．

D．1參考答案：A4.若，則等于（）A．

B．

C．

D．參考答案：B解析：5.已知的三邊，面積滿足,且，則的最大值為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D6.函數f（x）是奇函數，且在（0，+∞）內是單調遞增函數，若f（3）=0，則不等式xf（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣3，0）∪（0，3）參考答案：D【考點】奇偶性與單調性的綜合．

【專題】函數的性質及應用．【分析】易判斷f（x）在（﹣∞，0）上的單調性及f（x）圖象所過特殊點，作出f（x）的草圖，根據圖象可解不等式．【解答】解：∵f（x）在R上是奇函數，且f（x）在（0，+∞）上是增函數，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函數，由f（3）=0，得f（﹣3）=﹣f（3）=0，即f（﹣3）=0，作出f（x）的草圖，如圖所示：由圖象，得xf（x）＜0?或，解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0，∴xf（x）＜0的解集為：（﹣3，0）∪（0，3），故選：D．【點評】本題考查函數奇偶性、單調性的綜合應用，考查數形結合思想，靈活作出函數的草圖是解題關鍵．7.已知點P（sinα+cosα，tanα）在第四象限，則在[0，2π）內α的取值范圍是（）A.（，）∪（，） B.（0，）∪（，）C.（，）∪（，2π） D.（，）∪（π，）參考答案：C【分析】由點P的橫坐標大于0且縱坐標小于0解三角不等式求解α的范圍．【詳解】∵點P（sinα+cosα，tanα）在第四象限，∴，由sinα+cosαsin（α），得2kπ＜α2kπ+π，k∈Z，即2kπα＜2kππ，k∈Z．由tanα＜0，得kπα＜kπ+π，k∈Z．∴α∈（，）∪（，2π）．故選：C．【點睛】本題考查了三角函數的符號，考查了三角不等式的解法，是基礎題．8.設，那么的大小關系是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B9.已知內一點滿足，若的面積與的面積之比為1：3，的面積與的面積之比為1：4，則實數的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A10.下列函數中與函數表示同一函數的是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，則

▲

；與的夾角為

▲

.參考答案：，

，

12.函數的定義域是參考答案：略13.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與面ABCD平行的面是____________．參考答案：面A1B1C1D114.盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機地摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是______．參考答案：15.已知集合，集合,且，則

．參考答案：略16.方程9x﹣6?3x﹣7=0的解是

．參考答案：x=log37【考點】函數與方程的綜合運用；一元二次不等式的解法．【專題】計算題；整體思想．【分析】把3x看做一個整體，得到關于它的一元二次方程求出解，利用對數定義得到x的解．【解答】解：把3x看做一個整體，（3x）2﹣6?3x﹣7=0；可得3x=7或3x=﹣1（舍去），∴x=log37．故答案為x=log37【點評】考查學生整體代換的數學思想，以及對數函數定義的理解能力．函數與方程的綜合運用能力．17.在空間直角坐標系中，設點是點關于坐標平面的對稱點，則線段的長度等于__________.參考答案：10略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C；（2）若，求△ABC周長的最大值.參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由已知根據正弦定理，三角函數恒等變換的應用可得，結合，可求，由可求的值．（2）由已知利用余弦定理、基本不等式可求，即可解得三角形周長的最大值．【詳解】（1）由得．根據正弦定理，得，化為，整理得到，因為，故，又，所以．(2)由余弦定理有，故，整理得到，故，當且僅當時等號成立，所以周長的最大值為．【點睛】在解三角形中，如果題設條件是邊角的混合關系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關系式轉化為邊的關系式或角的關系式.解三角形中的最值問題，可以用基本不等式或利用正弦定理把最值問題轉化為某個角的三角函數式的最值問題．19.已知函數

(1)求證:在上為增函數;

(2)當,且時,求的值.

參考答案：解：（1）設

則…2分

…2分在上為增函數

…1分

（2）,且

由圖(略)可知…1分

…1分

…1分

20.（8分）已知=（6，1），=（x，8），=（﹣2，﹣3）（1）若，求x的值（2）若x=﹣5，求證：．參考答案：考點： 數量積判斷兩個平面向量的垂直關系；平行向量與共線向量．專題： 平面向量及應用．分析： （1）由可得﹣3x=﹣2×8，解方程可得；（2）當x=﹣5時，可得的坐標，可得=0，可判垂直．解答： 解：（1）∵=（x，8），=（﹣2，﹣3）又∵，∴﹣3x=﹣2×8，解得x=（2）當x=﹣5時，=++=（4+x，6）=（﹣1，6），∵=（6，1），∴=﹣1×6+6×1=0∴．點評： 本題考查數量積與向量的垂直關系和平行關系，屬基礎題．21.（8分）（1）求和：（2）在數列中，且，求通項.參考答案：（1）（2）變形為：

22.函數的定義域為(0，1（為實數）．⑴當時，