山西省忻州市楊芳學校2023年高三數學文聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A【分析】求出不等式的等價形式，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】由2x<1得x<0，由“x3<1”得x＜1，x<0是x＜1的充分不必要條件則“2x<1”是“x3<1”的充分不必要條件，故選：A．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合不等式的關系是解決本題的關鍵．2.如圖所示，使電路接通，開關不同的開閉方式有(

) A．11種 B．20種 C．21種 D．12種參考答案：C考點：排列、組合及簡單計數問題．專題：概率與統計．分析：設5個開關依次為1、2、3、4、5，由電路知識分析可得電路接通，則開關1、2與3、4、5中至少有1個接通，依次分析開關1、2與3、4、5中至少有1個接通的情況數目，由分步計數原理，計算可得答案．解答： 解：根據題意，設5個開關依次為1、2、3、4、5，若電路接通，則開關1、2與3、4、5中至少有1個接通，對于開關1、2，共有2×2=4種情況，其中全部斷開的有1種情況，則其至少有1個接通的有4﹣1=3種情況，對于開關3、4、5，共有2×2×2=8種情況，其中全部斷開的有1種情況，則其至少有1個接通的8﹣1=7種情況，則電路接通的情況有3×7=21種；故選C．點評：本題考查分步計數原理的應用，可以用間接法分析開關至少有一個閉合的情況，關鍵是分析出電路解題的條件．3.已知，現給出如下結論：①；②；③；④.其中正確結論的序號為：（A）①③

（B）①④

（C）②④

（D）②③參考答案：4.

設函數，曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處切線的斜率為

(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：A5.已知函數是上的奇函數.當時，，則

的值是（

）。A.3

B.-3

C.-1

D.1參考答案：B6.設函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），對任意實數t都有f（2+t）=f（2﹣t）成立，則函數值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一個不可能是（）A．f（﹣1） B．f（1） C．f（2） D．f（5）參考答案：C【考點】二次函數的性質．【分析】由題設知，函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=2．a＞0時，函數值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一個是f（2）．a＜0時，函數值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一個是f（﹣1）和f（5）．【解答】解：∵對任意實數t都有f（2+t）=f（2﹣t）成立，∴函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=2，當a＞0時，函數值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一個是f（2）．當a＜0時，函數值f（﹣1），f（1），f（2），f（5）中，最小的一個是f（﹣1）和f（5）．故選B．7.下圖是一個算法的程序框圖，當輸入值為10時，則其輸出的結果是（

）A．

B．2

C．

D．4參考答案：D8.從8名女生4名男生中，選出6名學生組成課外小組，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數為

參考答案：C略9.設是兩個命題：，則是的（

）A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：答案：A解析：p：，q：，結合數軸知是的充分而不必要條件，選A10.由曲線y＝，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為()．A.

B．4

C.

D．6參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，點P為⊙O的弦AB上一點，且AP=16，BP=4，連接OP，作PC⊥OP交圓于C，則PC的長為

．參考答案：8考點：與圓有關的比例線段．專題：立體幾何．分析：由已知得PC2=AP?PB=16×4=64，由此能求出PC的長．解答： 解：∵點P為⊙O的弦AB上一點，且AP=16，BP=4，連接OP，作PC⊥OP交圓于C，∴PC2=AP?PB=16×4=64，∴PC=8．故答案為：8．點評：本題考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相交弦定理的合理運用．12.一投資者在甲、乙兩個投資方案中選擇一個，這兩個投資方案的利潤x（萬元）分別服從正態分布甲：N（8，32）和乙：N（6，22），投資者要求利潤超過5萬元的概率盡量地大，那么他應選擇的方案是

參考答案：答案：甲13.已知集合A={4}，B={1，2}，C={1，3，5}，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中的點的坐標，則確定的不同點的個數為▲

.（

）

▲

參考答案：33

14.函數的最小正周期為

.參考答案：15.已知，若函數的最小值為1，則_______．參考答案：略16.已知在等差數列中，滿足則該數列前項和的最小值是

.參考答案：-3617.已知三棱錐O－ABC，∠BOC＝90°，OA⊥平面BOC，其中AB＝，BC＝，AC＝，O，A，B，C四點均在球S的表面上，則球S的表面積為________．參考答案：14π三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知數列是首項為２，公比為的等比數列，為的前項和.

（1）求數列的通項及；

（2）設數列是首項為－２，第三項為２的等差數列，求數列的通項公式及其前項和.參考答案：∴

∴------9分

設數列的前ｎ項和為

則

∴.…………13分

19.（本小題滿分15分）

已知（1）若時，求函數在點處的切線方程；（2）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍；（3）令是否存在實數，當是自然對數的底）時，函數的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由。參考答案：（1）當時，

∴

…………1分∴……2分∴函數在點處的切線方程為…3分（2）∵函數在上是減函數∴在上恒成立

…………4分令，有得

…………6分∴

…………7分（3）假設存在實數，使在上的最小值是3

…………8分1

當時，，∴在上單調遞減，（舍去）

…………10分2

當時，即，在上恒成立，∴在上單調遞減∴，（舍去）

…………11分3

當時，即，令，，，∴在上單調遞減，在上單調遞增∴，滿足條件

……13分綜上所述，存在實數，使在上的最小值是3……14分20.已知函數f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函數，當x=1時f（x）取得極值﹣2（I）求函數f（x）的解析式并討論單調性（II）證明對任意x1，x2∈（﹣1，1），不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜4恒成立．參考答案：【考點】6D：利用導數研究函數的極值；6K：導數在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（I）由奇函數的定義利用待定系數法求得d，再由x=1時f（x）取得極值﹣2．解得a，c從而確定函數，再利用導數求單調區間和極大值．（II）由（I）知，f（x）=x3﹣3x（x∈[﹣1，1]）是減函數，從而確定|f（x1）﹣f（x2）|最小值，證明即可．【解答】解：（I）∵f（x）為奇函數，則f（﹣x）=﹣f（x）可得d=0，∴f（x）=ax3+cx…f'（x）=3ax2+c，當x=1時f（x）取得極值﹣2，則，解得，故所求解析式為f（x）=x3﹣3x．因此，f（x）=x3﹣3x，f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）f'（﹣1）=f'（1）=0當x∈（﹣∞，﹣1）時，f'（x）＞0，故f（x）在單調區間（﹣∞，﹣1）上是增函數，當x∈（﹣1，1）時，f'（x）＜0，故f（x）在單調區間（﹣1，1）上是減函數，當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，故f（x）在單調區間（1，+∞）上是增函數，∴f（x）單調遞增區間（﹣∞，﹣1），（1，+∞）單調遞減區間（﹣1，1）；（II）證明：由（1）知，f（x）=x3﹣3x（x∈[﹣1，1]）是減函數，且f（x）在[﹣1，1]上的最大值M=f（﹣1）=2，f（x）在[﹣1，1]上的最小值m=f（1）=﹣2所以，對任意的x1，x2∈（﹣1，1），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜M﹣m=2﹣（﹣2）=4，∴不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜4恒成立．21.

某網站用“10分制”調查一社區人們的治安滿意度．現從調查人群中隨機抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的治安滿意度分數（以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉）．

（I）若治安滿意度不低于分，則稱該人的治安滿意度為“極安全”，求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極安全”的概率；

（II）以這16人的樣本數據來估計整個社區的總體數據，若從該社區（人數很多）任選3人，記表示抽到“極安全”的人數，求的分布列及數學期望．參考答案：22.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分．為了配合今年上海迪斯尼游園工作，某單位設計了統計人數的數學模型：以表示第個時刻進入園區的人數；以表示第個時刻離開園區的人數．設定以分鐘為一個計算單位，上午點分作為第個計算人數單位，即；點分作為第個計算單位，即；依次類推，把一天內從上午點到晚上點分分成個計算單位（最后結果四舍五入，精確到整數）．（1）試計算當天點至點這一小時內，進入園區的游客人數、離開園區的游客人數各為多少？（2）從點分（即）開始，有游客離開園區，請你求出這之后的園區內游客總人數最多的時刻，并說明理由．參考答案：【測量目標】（1）分析問題與解決問題的能力/能通過建立數學模型，解決有關社會生活、生產實際或其他學科的問題，并能解釋其實際意義.（2）分析問題與解決問題的能力/能通過建立數學模型，解決有關社會生活、生產實際或其他學科的問題，并能解釋其實際意義.【知識內容】（1）函數與分析/指數函數與對數函數/函數的應用.（2）函數與分析/指數函數與對數函數/函數的應用.【參考答案】（1）當天14點至15點這一小時內進入園區人數為（人）…3分離開園區的人數（人）

………………6分（2）當時，園內游客人數遞增；當時，園內游客人數遞減．