山西省忻州市國利美術高級中學高二數學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.過平面區域內一點P作圓O：x2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，記∠APB=α，則當α最小時cosα的值為(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點】簡單線性規劃．【專題】不等式的解法及應用．【分析】作出不等式組對應的平面區域，根據數形結合求確定當α最小時，P的位置，利用余弦函數的倍角公式，即可得到結論．【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖，要使α最小，則P到圓心的距離最大即可，由圖象可知當P位于點D時，∠APB=α最小，由，解得，即D（﹣4，﹣2），此時|OD|=，|OA|=1，則，即sin=，此時cosα=1﹣2sin2=1﹣2（）2=1﹣=，故選：C【點評】本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決本題的關鍵，要求熟練掌握兩角和的倍角公式．2.已知某組合體的正視圖和側視圖如圖①所示，其俯視圖的直觀圖如圖②（粗線部分）所示，其中四邊形為平行四邊形，軸，為邊的中點，則平行四邊形的面積為（

）A.8 B.16 C. D.參考答案：C【分析】由幾何體的三視圖可得，，再由斜二測畫法求面積即可得解.【詳解】解：由正視圖與題意知，由側視圖與題意知，所以平行四邊形的面積為.故選C.3.已知經過橢圓的右焦點F2作直線AB交橢圓于A、B兩點，F1是橢圓的左焦點，則△AF1B的周長為（

）A.10

B.8

C.16

D.20

參考答案：D4.四名同學報名參加三項課外活動，每人限報其中一項，不同報名方法共有（）A．12 B．64 C．81 D．7參考答案：C【考點】排列、組合及簡單計數問題．【分析】根據題意，易得四名同學中每人有3種報名方法，由分步計數原理計算可得答案．【解答】解：四名同學報名參加三項課外活動，每人限報其中一項，每人有3種報名方法；根據分計數原理，可得共有3×3×3×3=81種不同的報名方法；故選：C．5.計算機執行下面的程序段后，輸出的結果是

（

）.1,2,3

.

2,3,1

.3,2,1

.2,3,2參考答案：D6.已知i為虛數單位，a為實數，復數z＝(a－2i)(1＋i)在復平面內對應的點為M，則“點M在第四象限”是“a＝1”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：B【分析】把復數的表示形式寫成標準形式，根據復數在第四象限，得到復數的坐標所滿足的條件，橫標大于零，縱標小于零，得到a的取值范圍，得到結果．【詳解】解：∵復數z＝（a﹣2i）（1+i）＝a+2+（a﹣2）i，∴在復平面內對應的點M的坐標是（a+2，a﹣2），若點在第四象限則a+2＞0，a﹣2＜0，∴﹣2＜a＜2，∴“點M在第四象限”是“a＝1”的必要而不充分條件，故選：B．【點睛】本題考查充要條件問題，考查復數的代數表示法及其幾何意義，考查各個象限的點的坐標特點，本題是一個基礎題．7.下列四個命題中，正確命題有（

）①直線方程的一般式為Ax+By+C=0②k1·k2=–1為兩直線垂直的充要條件③k1=k2為兩直線平行的必要非充分條件④l：A-1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0，（B1≠0，B2≠0，A1A2+B1B2≠0），則直線l1到l2的角的正切值為A．0個

B．1個

C．2個

D．3個參考答案：解析:B

①錯，條件AB≠0；②錯，兩直線垂直，它們中可能一條斜率不存在；③錯，兩直線傾斜角都為直角時，斜率不存在，但可能平行，④正確.8.當時，下列函數中最小值為2的是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C9.函數的定義域為A．(3，4)

B．(3，4]

C．(－∞，4]

D．[4，＋∞)參考答案：B?3<x≤4.選B.10.函數（）圖象的大致形狀是(

)A. B.C. D.參考答案：C是奇函數，故排除B，D；因為，所以令x=2，則，故排除A，故答案為C.點睛：點睛：本題考查函數的圖象的判斷與應用，是中檔題；已知函數解析式，選擇其正確圖象是高考中的高頻考點，主要采用的是排除法，最常見的排出方式有根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等性質，同時還有在特殊點處所對應的函數值或其符號，其中包括等.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某幾何體的三視圖如右圖，則它的體積是___________________；參考答案：12.半徑為r的圓的面積，周長，若將r看作（0，+）上的變量，則①①式可用語言敘述為：圓的面積函數的導數等于圓的周長函數；對于半徑為R的球，若將R看作（0，+）上的變量，請你寫出類似于①的式子：

▲

②.②式可用語言敘述為：

▲

參考答案：略13.已知三棱錐的三個側面兩兩垂直，三條側棱長分別為4,4,7，若此三棱錐的各個頂點都在同一個球面上，則此球的表面積是___________。

參考答案：略14.若為銳角三角形，的對邊分別為，且滿足，則的取值范圍是

▲

.參考答案：15.向平面區域{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}內隨機投入一點，則該點落在區域{（x，y）|x2+y2≤1}內的概率等于

．參考答案：【考點】幾何概型．【專題】轉化思想；數形結合法；概率與統計．【分析】作出不等式組對應的平面區域，求出對應的幾何面積，利用幾何概型的概率公式進行求解即可．【解答】解：平面區域{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}對應的區域為正方形ABCD，對應的面積S=2×2=4，區域{（x，y）|x2+y2≤1}對應的區域為單位圓，對應的面積S=π，則對應的概率P=，故答案為：【點評】本題主要考查幾何概型的概率的計算，求出對應區域的面積是解決本題的關鍵．16.已知命題p：?x＞1，x2﹣2x+1＞0，則￢p是

（真命題/假命題）．參考答案：假命題【考點】命題的真假判斷與應用；命題的否定．【分析】根據已知中的原命題，結合全稱命題否定的方法，寫出原命題的否定，進而可得答案．【解答】解：∵命題p：?x＞1，x2﹣2x+1＞0，∴￢p：?x＞1，x2﹣2x+1≤0，由x2﹣2x+1=（x﹣1）2＞0在x＞1時，恒成立，故￢p為假命題，故答案為：假命題【點評】本題考查的知識點是命題的否定，全稱命題，難度不大，屬于基礎題．17.內角的對邊分別是，若，,則

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E為PC的中點，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求證：BE∥平面PAD；（2）求證：平面PBC⊥平面PBD；（3）設Q為棱PC上一點，=λ，試確定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P為45°．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）設PD的中點為F，連接EF，證明四邊形FABE是平行四邊形．利用直線與平面平行的判定定理證明BE∥平面PAD．（2）過點B作BH⊥CD于H，證明BC⊥BD．PD⊥BC，通過直線與平面垂直的判定定理證明BC⊥平面PBD，（文科）求解；（理科）利用直線與平面垂直的性質定理證明平面PBC平面PBD．（3）以D為原點，DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，平面PBD的法向量．平面QBD的法向量，通過二面角結合數量積求解λ即可．【解答】解：（1）證明：設PD的中點為F，連接EF，∵點E，F分別是△PCD的中點，∴EF∥CD，且，∴EF∥AB，且EF=AB，∴四邊形FABE是平行四邊形．∴BE∥AF，又AF?平面PAD，EF?平面PAD，∴BE∥平面PAD．（2）在梯形ABCD中，過點B作BH⊥CD于H，在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°．又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°．∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°．∴BC⊥BD．∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PD?平面PCD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵BD∩PD=D，BD?平面PBD，PD?平面PBD，∴BC⊥平面PBD，又BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．（3）以D為原點，DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則P（0，0，1），C（0，2，0），A（1，0，0），B（1，1，0）．令Q（x0，y0，z0），∵，Q（0，2λ，1﹣λ），∵BC⊥平面PBD，∴即為平面PBD的法向量．設平面QBD的法向量為，則即．令y=1，得．若二面角Q﹣BD﹣P為45°，則，解得，∵Q在PC上，0＜λ＜1．∴．19.設命題P：函數在區間[-1，1]上單調遞減；命題q：函數的定義域為R.若命題p或q為假命題，求的取值范圍.參考答案：解：若P為真，則３，若為真，則，依題意得解得或

略20.如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB＝4，PA＝3，A點在PD上的射影為G點，E點在AB上，平面PEC⊥平面PDC.（1）求證：AG∥平面PEC；（2）求AE的長；（3）求直線AG與平面PCA所成角的正弦值.參考答案：解（1）證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA

∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥AG，又PD⊥AG

∴AG⊥平面PCD

作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD

∴EF⊥平面PCD

∴EF∥AG又AG面PEC，EF面PEC，∴AG∥平面PEC

（2）由（1）知A、E、F、G四點共面，又AE∥CD

∴AE∥平面PCD∴AE∥GF

∴四邊形AEFG為平行四邊形，∴AE＝GF

∵PA＝3，AB＝4

∴PD＝5，AG＝，又PA2＝PG?PD

∴PG

又

∴

∴

（3）∵EF∥AG,所以AG與平面PAC所成角等于EF與平面PAC所成的角，過E作EO⊥AC于O點，易知EO⊥平面PAC，又EF⊥PC，∴OF是EF在平面PAC內的射影∴∠EFO即為EF與平面PAC所成的角