山西省忻州市智源中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在等差數(shù)列中，已知，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A2.若，則（）．A．2 B．1 C．0 D．－1參考答案：A由得，所以．故選．3.的三內(nèi)角所對邊的長分別為，若直線與直線垂直，則角的大小為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略4.右圖是2010年在惠州市舉行的全省運(yùn)動(dòng)會上，七位評委為某跳水比賽項(xiàng)目打出的分?jǐn)?shù)的

莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（

）A．84，4.84

B．84，1.6C．85，1.6

D．85，4參考答案：C略5.某人忘記了自己的文檔密碼，但記得該密碼是由一個(gè)2，一個(gè)9，兩個(gè)6組成的四位數(shù)，于是用這四個(gè)數(shù)隨意排成一個(gè)四位數(shù)，輸入電腦嘗試，那么他找到自己的文檔密碼最多嘗試次數(shù)為

A．36

B．24

C．18

D．12參考答案：D略6.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，則D1O與平面ABCD所成的角的余弦值為（）A．

B． C．D．參考答案：B【考點(diǎn)】直線與平面所成的角．【分析】由D1D⊥平面ABCD，得∠DOD1是D1O與平面ABCD所成的角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出D1O與平面ABCD所成的角的余弦值．【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，∵D1D⊥平面ABCD，∴∠DOD1是D1O與平面ABCD所成的角（或所成角的補(bǔ)角），設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為1，則DO==，D1O==，∴cos∠DOD1===．∴D1O與平面ABCD所成的角的余弦值為．故選：B．7.“因?yàn)閑=2.71828…是無限不循環(huán)小數(shù)，所以e是無理數(shù)”，以上推理的大前提是（

）A．實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)

B．e不是有理數(shù)

C．無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù)

D．無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)參考答案：C由題意得:大前提是無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù),選C.

8.已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，則A∩B=（）A．? B．{2} C．{0} D．{﹣2}參考答案：B【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．

【專題】集合．【分析】先解出集合B，再求兩集合的交集即可得出正確選項(xiàng)．【解答】解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故選B【點(diǎn)評】本題考查交的運(yùn)算，理解好交的定義是解答的關(guān)鍵．9.若，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：B10.將函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）的圖象向左平移個(gè)單位，所得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，則φ的一個(gè)可能取值為（）A． B． C．0 D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得φ的一個(gè)可能取值．【解答】解：將函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）的圖象向左平移個(gè)單位，可得到的函數(shù)y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的圖象，再根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對稱，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，則φ的一個(gè)可能取值為，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知A(1,1),B(0,2),C(3,－5),則△ABC的面積為_____________.參考答案：212.“若或，則”的逆否命題是

..

參考答案：若，則且.13.已知拋物線關(guān)于軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，若點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則

▲

．參考答案：略14.已知函數(shù)，0＜a＜b＜c，f（a）f（b）f（c）＜0，實(shí)數(shù)d是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)．給出下列四個(gè)判斷：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c．其中可能成立的序號是

．（把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上）．參考答案：①②③【考點(diǎn)】53：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【分析】由題意可知f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，且0＜a＜b＜c可得f（a）＞f（b）＞f（c），結(jié)合f（a）f（b）f（c）＜0可得f（c）＜f（b）＜f（a）＜0或f（c）＜0＜f（b）＜f（a），又f（d）=0課判斷a，b，c，d之間的大小【解答】解：∵在（0，+∞）單調(diào)遞減∵0＜a＜b＜c∴f（a）＞f（b）＞f（c）∵f（a）f（b）f（c）＜0∴f（c）＜f（b）＜f（a）＜0或f（c）＜0＜f（b）＜f（a）∵d是函數(shù)f（x）的一個(gè)即f（d）=0若f（c）＜f（b）＜f（a）＜0，f（d）=0則可得，c＞b＞a＞d若f（c）＜0＜f（b）＜f（a），f（d）=0則可得，a＜b＜d＜c綜上可得①d＜a可能成立；②d＞b可能成立；③d＜c可能成立；④d＞c不可能成立故答案為：①②③15.若一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字均小于個(gè)位和百位數(shù)字，我們稱這個(gè)數(shù)是“凹形”三位數(shù)．現(xiàn)用0，1，2,…，9這十個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中是“凹形”三位數(shù)有

個(gè)(用數(shù)值作答)．參考答案：24016.如圖所示，在平行四邊形中，且，沿折成直二面角，則三棱錐的外接球表面積為_______。參考答案：略17.一船向正北航行，看見正西方向有相距20海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上繼續(xù)航行l(wèi)小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西30°，則這只船的速度是每小時(shí)

▲

海里參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.潮州統(tǒng)計(jì)局就某地居民的月收入調(diào)查了人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示收入在）。（1）求居民月收入在的頻率；（2）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這人中用分層抽樣方法抽出人作進(jìn)一步分析，則月收入在的這段應(yīng)抽多少人？參考答案：解:（1）月收入在的頻率為。（2）居民月收入在的頻率為，所以人中月收入在的人數(shù)為（人），再從人用分層抽樣方法抽出人，則月收入在的這段應(yīng)抽取人。

略19.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們通常運(yùn)用類比猜想的方法研究問題.

（1）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P為圓O：外一點(diǎn)，過P引圓O的兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，若，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)Q為橢圓M：外一點(diǎn)，過Q引橢圓M的兩條切線QC、QD，C、D為切點(diǎn)，若，求出動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；

（3）在（2）問中若橢圓方程為，其余條件都不變，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是什么（直接寫出答案即可，無需過程）.

參考答案：解：（1）由切線的性質(zhì)及可知，四邊形OAPB為正方形，所以點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，長為半徑的圓上，且，進(jìn)而動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為………………3分（2）設(shè)兩切線為，①當(dāng)與軸不垂直且不平行時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為則，設(shè)的斜率為，則，的斜率為，的方程為，聯(lián)立，得，………………5分因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，得化簡，進(jìn)而

所以……………7分所以是方程的一個(gè)根，同理是方程的另一個(gè)根，，得，其中，…………9分②當(dāng)軸或軸時(shí)，對應(yīng)軸或軸，可知；因?yàn)闈M足上式，綜上知：點(diǎn)P的軌跡方程為．……10分（3）動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是…………………12分

20.某化工廠擬建一個(gè)下部為圓柱，上部為半球的容器（如圖，圓柱高為h，半徑為r，不計(jì)厚度，單位：米），按計(jì)劃容積為72π立方米，且h≥2r，假設(shè)其建造費(fèi)用僅與表面積有關(guān)（圓柱底部不計(jì)），已知圓柱部分每平方米的費(fèi)用為2千元，半球部分每平方米4千元，設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元．（Ⅰ）求y關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系，并求其定義域；（Ⅱ）求建造費(fèi)用最小時(shí)的r．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）利用容積為72π立方米，列出，得到，然后求解建造費(fèi)用的函數(shù)解析式．（Ⅱ）利用導(dǎo)函數(shù)，判斷單調(diào)性求解最值即可．【解答】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）由容積為72π立方米，得．…，解得0＜r≤3，…又圓柱的側(cè)面積為，半球的表面積為2πr2，所以建造費(fèi)用，定義域?yàn)椋?，3]．…（Ⅱ），…又0＜r≤3，所以y'≤0，所以建造費(fèi)用，在定義域（0，3]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)r=3時(shí)建造費(fèi)用最小．…21.已知點(diǎn)A（0，﹣2），B（0，4），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足；（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)（1）中所求軌跡方程與直線y=x+2交于C、D兩點(diǎn)；求證OC⊥OD（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；軌跡方程．【分析】（1）由，，代入可求（2）聯(lián)立，設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），則根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x1+x2，x1x2，由y1y2=（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4，代入到=x1x2+y1y2可證OC⊥OD【解答】解：（1）∵A（0，﹣2），B（0，4），P（x，y）∴，∵∴﹣x（﹣x）+（4﹣y）（﹣2﹣y）=y2﹣8整理可得，x2=2y（2）聯(lián)立可得x2﹣2x﹣4=0設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），則x1+x2=2，x1x2=﹣4，∴y1y2=（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4=4∵=x1x2+y1y2=0∴OC⊥OD22.已知數(shù)列{an}，其中a2=6，=n．（1