山西省忻州市寺坪聯合學校2023年高二數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.(

)。A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件。參考答案：A略2.一名小學生的年齡和身高（單位：cm）的數據如下表：年齡6789身高118126136144由散點圖可知，身高與年齡之間的線性回歸方程為，預測該學生10歲時的身高為（

）A.154 B.153 C.152 D.151參考答案：B3.函數在閉區間[–3，0]上的最大值、最小值分別是（

）A．1，?1

B．1，?17

C．3，?17

D．9，?197參考答案：C4.若直線經過一、三、四象限，則二次函數的零點（即與x軸的交點）個數為（

） A、0個

B、1個

C、2個

D、3個

參考答案：B略5.已知x與y之間的一組數據：x23456y2.23.85.56.57.0且y對x的回歸直線方程中，，則

A.9.92

B.0.08

C.1.56

D.0.58參考答案：B略6.要得到函數y=f′（x）的圖象，需將函數f（x）=sinx﹣cosx（x∈R）的圖象（） A．向左平移個單位 B． 向右平移個單位 C．向左平移π個單位 D． 向右平移π個單位參考答案：A略7.已知直線，點在圓外，則直線與圓的位置關系是

（

）(A)相交

(B)相切

(C)相離

(D)不能確定參考答案：

A略8.已知等比數列{an}的前3項和,，則公比q的值為()A.1

B.

C.1或

D.1或－2

參考答案：C9.已知為虛數單位，復數的虛部是（

）．A． B． C． D．參考答案：A，則其虛部為，故選．10.已知圓C的半徑為，圓心在軸的正半軸上，直線與圓C相切，則圓C的方程為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D

解析：設圓心為二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量=（2，），則向量的單位向量=．參考答案：【考點】單位向量．【分析】利用向量的單位向量=，即可得出．【解答】解：向量的單位向量===．故答案為：．12.點是拋物線上一動點，則點到點的距離與到直線的距離和的最小值是

.參考答案：略13.如圖，分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，是面積為的正三角形，則的值是

***

。參考答案：略14.已知某等差數列共10項，其中奇數項的和為15，偶數項的和是30，則該數列的公差是

參考答案：315.如圖是一個空間幾何體的三視圖,則該幾何體的外接球的體積為______▲_______.參考答案：略16.橢圓C：+=1的上、下頂點分別為A1、A2，點P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[﹣2，﹣1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是

．參考答案：[]【考點】K4：橢圓的簡單性質．【分析】由題意求A1、A2的坐標，設出點P的坐標，代入求斜率，進而求PA1斜率的取值范圍【解答】解：由橢圓的標準方程可知，上、下頂點分別為A1（0，）、A2（0，﹣），設點P（a，b）（a≠±2），則+=1．即=﹣直線PA2斜率k2=，直線PA1斜率k1=．k1k2=?==﹣；k1=﹣∵直線PA2斜率的取值范圍是[﹣2，﹣1]，即：﹣2≤k2≤﹣1∴直線PA1斜率的取值范圍是[]．故答案為：[]．【點評】本題考查了圓錐曲線的簡單性質應用，同時考查了直線的斜率公式及學生的化簡能力，屬于中檔題17.己知f（x）為定義域為R內的減函數，且，則實數a的取值范圍為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題14分)已知，函數（其中為自然對數的底數）．

（Ⅰ）求函數在區間上的最小值；

（Ⅱ）設數列的通項，是前項和，證明：．參考答案：解：(1)

若時,

函數在區間是減函數

;

時

函數在區間是減函數,是增函數;綜上所述

略(2)由（1）可知，時，函數在定義域的最小值為0，

在上成立

令得

令。19.四面體ABCD及其三視圖如下圖所示，過棱AB的中點E作平行于AD、BC的平面分別交四面體的棱BD、DC、CA于點F、G、H．（1）求證：四邊形EFGH是矩形；（2）求點A到面EFGH的距離．

參考答案：（1）證明：由,同理可得所以

——————2分由的面，同理可得

所以

所以四邊形是平行四邊形

——————3分由三視圖可知，所以

,又所以,所以四邊形是矩形

——————6分（2）易知點到面的距離即點到面的距離，由所以點到面的距離即點到線的距離

——————9分由（1）和是的中點可知、分別是、的中點，又由三視圖可知是等腰直角三角形，易得點到線的距離為，即點到面的距離

——————12分20.已知，，，求。參考答案：21.如圖，的角平分線的延長線交它的外接圓于點E（1）證明：∽（2）若的面積S=，求的大小參考答案：證明：（Ⅰ）由已知條件，可得因為是同弧上的圓周角，所以故△ABE∽△ADC.

（Ⅱ）因為△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC=AD·AE.又S=AB·ACsin，且S=AD·AE，故AB·ACsin=AD·AE.則sin=1，又為三角形內角，所以=900°.略22.某種產品特約經銷商根據以往當地的需求情況，得出如圖該種產品日需求量的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求圖中a的值，并估計日需求量的眾數；（Ⅱ）某日，經銷商購進130件該種產品，根據近期市場行情，當天每售出1件能獲利30元，未售出的部分，每件虧損20元．設當天的需求量為x件（100≤x≤150），純利潤為S元．

（ⅰ）將S表示為x的函數；

（ⅱ）根據直方圖估計當天純利潤S不少于3400元的概率．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式；函數解析式的求解及常用方法；頻率分布直方圖．【專題】計算題；概率與統計．【分析】（I）根據所有小矩形的面積之和為1，求得第四組的頻率，再根據小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函數寫出S關于x的函數；根據S≥3400得x的范圍，利用頻率分布直方圖求數據在范圍內的頻率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方圖可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估計日需求量的眾數為125件；（Ⅱ）（ⅰ）當100≤x＜130時，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，當130≤x≤150時，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120