山西省太原市馬峪鄉中學2021年高一數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在同一坐標系中，函數與的圖象之間的關系是（

）A．關于軸對稱 B．關于軸對稱 C．關于原點對稱 D．關于直線對稱參考答案：B2.已知集合，，則A.

B.

C.

D.參考答案：D略3.已知O、A、B三點不共線，P為該平面內一點，且，則（

）A．點P在線段AB上

B．點P在線段AB的延長線上C．點P在線段AB的反向延長線上

D．點P在射線AB上參考答案：D,推得：，所以點P在射線AB上，故選D.

4.設向量，滿足，，則（

）A.1 B.2 C.3 D.5參考答案：B【分析】將等式進行平方，相加即可得到結論．【詳解】∵||，||，∴分別平方得2?10，2?6，兩式相減得4?10﹣6＝4，即?1，故選：A．【點睛】本題主要考查向量的基本運算，利用平方進行相加是解決本題的關鍵，比較基礎．5.設向量，定義兩個向量之間的運算“”為．若向量，則向量等于（

）A.(－3，－2) B.(3，－2) C.(－2，－3) D.(－3，2)參考答案：A【分析】設向量，由，，，解方程求得，的值．【詳解】設向量，，，，，，故向量，，故選：．【點睛】本題考查兩個向量坐標形式的運算，得到，，，是解題的關鍵．6.在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若=2，=，則λ=（）A． B． C．﹣ D．﹣參考答案：A【考點】向量加減混合運算及其幾何意義．【分析】本題要求字母系數，辦法是把表示出來，表示時所用的基底要和題目中所給的一致，即用和表示，畫圖觀察，從要求向量的起點出發，沿著三角形的邊走到終點，把求出的結果和給的條件比較，寫出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB邊上一點∵=2，=，∴=，∴λ=，故選A．7.函數f（x）=+lg（3x+1）的定義域是（）A．（﹣∞，﹣） B．（﹣，） C．（﹣，1] D．（﹣，+∞）參考答案：C【考點】函數的定義域及其求法．【分析】由根式內部的代數式大于等于0，對數式的真數大于0聯立不等式組求解．【解答】解：由，解得﹣＜x≤1．∴函數f（x）=+lg（3x+1）的定義域是（，1]．故選：C．【點評】本題考查函數的定義域及其求法，是基礎的計算題．8.設集合，，則()A．B．(－∞,1)

C．(1,3)

D．(4，＋∞)參考答案：C9.設集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，則A∩B=（）A．（﹣3，﹣） B．（﹣3，） C．（1，） D．（，3）參考答案：D【考點】交集及其運算．【分析】解不等式求出集合A，B，結合交集的定義，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故選：D10.（5分）已知A=B={﹣1，0，1}，f：A→B是從集合A到B的有關映射，則滿足f（f（﹣1））＜f（1）的映射的個數有（） A． 10 B． 9 C． 8 D． 6參考答案：B考點： 映射．專題： 函數的性質及應用．分析： 根據映射的定義，結合分步相乘原理，得出滿足f（f（﹣1））＜f（1）的映射的個數是多少．解答： 根據題意，得；∵f（f（﹣1））＜f（1），∴當f（1）→1時，f（f（﹣1））→0或f（f（﹣1））→﹣1；當f（1）→0時，f（f（﹣1））→﹣1；又∵f（﹣1）有3種對應的映射，分別為：f（﹣1）→1，f（﹣1）→0，f（﹣1）→﹣1；∴滿足f（f（﹣1））＜f（1）的映射的個數為3×3=9．故選：B．點評： 本題考查了映射的定義與應用問題，是基礎題目．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.為了解某校教師使用多媒體進行教學的情況，采用簡單隨機抽樣的方法，從該校200名授課教師中抽取20名教師，調查了他們上學期使用多媒體進行教學的次數，結果用莖葉圖表示如圖，據此可估計該校上學期200名教師中，使用多媒體進行教學的次數在[15,25)內的人數為________．參考答案：60略12.已知函數是奇函數，則常數a的值為

參考答案：13.函數y＝－(x－2)x的遞增區間是_____________________________參考答案：14.已知集合Ｍ＝｛｜｝中只含有一個元素，則＝_____________．參考答案：略15.已知用斜二測畫法畫得得正方形得直觀圖的面積為，那么原正方形得面積為

參考答案：72略16.若，則=______參考答案：-7/9略17.已知關于x的不等式的解集是(－2,1)，則不等式的解集是______．參考答案：【分析】通過的解集可以確定與的關系以及，代入所求不等式，化簡為，求解不等式得到結果.【詳解】由的解集是可知：和是方程的兩根且

又

【點睛】本題考查一元二次不等式與一元二次方程之間的關系，關鍵在于通過解集確定方程的根，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數，且．（1）若，當時，解不等式；（2）若函數，討論在區間上的最小值．參考答案：解：（1）∵

是偶函數

…2分

當時，是增函數，

若時，

…9分①

當，則∴時，．

…11分②

當，則在時，為增函數∴時，．

…13分③

當，則，在時，為減函數．∴時，．

…15分∴．

…16分

19.已知橢圓C：(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F1，F2，離心率為，且過點(2,).（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）M，N，P，Q是橢圓C上的四個不同的點，兩條都不和x軸垂直的直線MN和PQ分別過點F1，F2，且這兩條直線互相垂直，求證：為定值.參考答案：（Ⅰ）解：由已知，所以.

所以.所以：，即.因為橢圓過點，得，.所以橢圓的方程為

.......4分（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知橢圓的焦點坐標為，.根據題意，可設直線的方程為，由于直線與直線互相垂直，則直線的方程為.....5分設，.由方程組消得

.則......................7分所以=........9分同理可得............................10分所以........12分

20.（16分）設a為實數，記函數的最大值為g（a）．（1）若，解關于求x的方程f（x）=1；（2）求g（a）．參考答案：考點： 二倍角的正弦；兩角和與差的正弦函數；三角函數的最值．專題： 三角函數的求值．分析： （1）當，由方程f（x）=1，可得sinxcosx+sinx+cosx=1．令t=sinx+cosx，則t2=1+2sinxcosx，方程可化為t2+2t﹣3=0，解得t=1，即sinx+cosx=1，即，由此求得x的值的集合．（2）由題意可得t的取值范圍是，g（a）即為函數m（t）=at2+t﹣a，的最大值．直線是拋物線m（t）的對稱軸，可分a＞0、a=0、a＜0三種情況，分別求得g（a）．解答： （1）由于當，方程f（x）=1，即，即，所以，sinxcosx+sinx+cosx=1（1）．…1分令t=sinx+cosx，則t2=1+2sinxcosx，所以．…3分所以方程（1）可化為t2+2t﹣3=0，解得t=1，t=﹣3（舍去）．…5分所以sinx+cosx=1，即，解得所求x的集合為．…7分（2）令，∴t的取值范圍是．由題意知g（a）即為函數m（t）=at2+t﹣a，的最大值，…9分∵直線是拋物線m（t）=at2+t﹣a的對稱軸，∴可分以下幾種情況進行討論：①當a＞0時，函數y=m（t），的圖象是開口向上的拋物線的一段，由知m（t）在上單調遞增，故g（a）==．…11分②當a=0時，m（t）=t，，有g（a）=；…12分③當a＜0時，函數y=m（t），的圖象是開口向下的拋物線的一段，若，即時，g（a）=，…13分若，即時，g（a）==．…15分綜上所述，有．…16分．點評： 本題主要考查兩角和差的三角公式、二倍角公式的應用，正弦函數的定義域和值域，二次函數的性質，體現了轉化以及分類討論的數學思想，屬于中檔題．21.如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側面BB1C1C是邊長為2的菱形，，且.(1)求證:；(2)若，當二面角為直二面角時，求三棱錐的體積.參考答案：（1）見解析（2）【分析】（1）利用直線與平面垂直的判定，結合三角形全等判定，得到，再次結合三角形全等，即可。（2）法一：建立坐標系，分別計算的法向量，結合兩向量夾角為直角，計算出的值，然后結合，即可。法二：設出OA=x,用x分別表示AB,BD,AD，結合，建立方程，計算x，結合，即可。【詳解】（1）連結，交于點，連結，因為側面是菱形，所以，又因為，，所以平面，而平面，所以，因為，所以，而，所以，.（2）因為，，所以，（法一）以為坐標原點，所以直線為軸，所以直線為軸，所以直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，，所以，，，設平面的法向量，所以令，則，，取，設平面的法向量，所以令，則，，取，依題意得，解得.所以.（法二）過作，連結，由（1）知，所以且，所以是二面角的平面角，依題意得，，所以，設，則，，又由，，所以由，解得，所以.【點睛】本道題考查了直線與平面垂直判定，考查了利用空間向量解決二面角問題，難度較難。22.△ABC的三個頂點分別為A（0，4）、B（﹣2，6）、C（﹣8，0）（1）求邊AC和AB所在直線的方程（2）求邊AC上的中線BD所在的直線的方程．參考答案：【考點】直線的截距式方程；直線的兩點式方程．【分析】（1）由于A、C兩點分別在y軸和x軸，由直線方程的截距式列式，化簡可得AC所在直線的方程；再由A、B的坐標，利用直線方程的兩點式列式，化簡即可得出AB所在直線的方程；（2）利用線段中點坐標公式，算出AC的中點D坐標為（﹣4，2），利用直線方程的兩點式列式，化簡即可得出AC上的中線BD所在直線的方程．【解