山西省太原市新華中學2021-2022學年高三數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量，若，則等于(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：C2.若則下列結論正確的是A.

B.

C.

D.參考答案：A3.已知i是虛數單位，復數z滿足(z－3i)(1+2i)=10，則為（

）A.2+i

B.

2－i

C.1+2i

D.1－2i參考答案：A由得，所以．4.已知雙曲線mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的離心率為2，則橢圓mx2+ny2=1的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】橢圓的簡單性質；雙曲線的簡單性質．【分析】雙曲線、橢圓方程分別化為標準方程，利用雙曲線mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的離心率為2，可得m=3n，從而可求橢圓mx2+ny2=1的離心率．【解答】解：雙曲線mx2﹣ny2=1化為標準方程為：∵雙曲線mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的離心率為2，∴∴m=3n橢圓mx2+ny2=1化為標準方程為：∴橢圓mx2+ny2=1的離心率的平方為=∴橢圓mx2+ny2=1的離心率為故選C．5.某校新生分班，現有A，B，C三個不同的班，兩名關系不錯的甲和乙同學會被分到這三個班，每個同學分到各班的可能性相同，則這兩名同學被分到同一個班的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率．【分析】利用列舉法求出甲乙兩同學分班的所有情況和符合條件的各種情況，由此能求出這兩名同學被分到同一個班的概率．【解答】解：甲乙兩同學分班共有以下情況：（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），其中符合條件的有三種，所以這兩名同學被分到同一個班的概率為p=．故選：A．【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．6.若定義在R上的偶函數滿足且時,則方程的零點個數是A.

2個

B.

3個

C.4個

D.多于4個參考答案：C略7.若復數z滿足，則等于（

）A． B．

C．

D．參考答案：A8.當時，下列大小關系正確的是

(

)A.B.

C.

D.參考答案：B9.若集合，，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.多面體MN-ABCD的底面ABCD為矩形，其正（主）視圖和側（左）視圖如圖，其中正（主）視圖為等腰梯形，側（左）視圖為等腰三角形，則AM的長為

（

）A. B. C. D.參考答案：C試題分析：如圖，分別是和的中點，由正視圖可知．由側視圖可知多面體的高為2，．所以，所以．考點：空間幾何體的三視圖.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知A（1，3），B（a，1），C（﹣b，0），（a＞0，b＞0），若A，B，C三點共線，則+的最小值是

．參考答案：11+6

【考點】基本不等式；三點共線．【分析】由A（1，3），B（a，1），C（﹣b，0），（a＞0，b＞0），A，B，C三點共線，可得kAB=kAC，化為3a+2b=1．再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．【解答】解：∵A（1，3），B（a，1），C（﹣b，0），（a＞0，b＞0），A，B，C三點共線，∴kAB=kAC，=，化為3a+2b=1．則+=（3a+2b）=11+≥11+3×2×=11+6，當且僅當a=b時取等號．故答案為：11+6．12.已知向量，滿足，|，，則|

．參考答案：2，故答案為2.

13.設函數的定義域為，若存在非零實數使得對于任意，有，且，則稱為上的高調函數．如果定義域為的函數是奇函數，當時，，且為上的8高調函數，那么實數的取值范圍是

．參考答案：略14.已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若與共線，則k=

．參考答案：1【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示．【分析】利用向量的坐標運算求出的坐標；利用向量共線的坐標形式的充要條件列出方程，求出k的值．【解答】解：∵與共線，∴解得k=1．故答案為1．15.《九章算術》中有一個“兩鼠穿墻”問題：“今有垣（墻，讀音）厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天減半）．問何日相逢，各穿幾何？”在兩鼠“相逢”時，大鼠與小鼠“穿墻”的“進度”之比是

：

．參考答案：59，26．【考點】等差數列的前n項和；等比數列的前n項和．【分析】第一天的時候，大鼠打了1尺，小鼠1尺；第二天的時候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺；第三天設大鼠打了X尺，小鼠則打了（0.5﹣X）尺，則X÷4=（0.5﹣x）÷，由此能求出大鼠與小鼠“穿墻”的“進度”之比．【解答】解：第一天的時候，大鼠打了1尺，小鼠1尺，一共2尺，還剩3尺；第二天的時候，大鼠打了2尺，小鼠打了尺，這一天一共打了2.5尺，兩天一共打了4.5尺，還剩0.5尺．第三天按道理來說大鼠打4尺，小鼠尺，可是現在只剩0.5尺沒有打通了，所以在第三天肯定可以打通．我們現在設大鼠打了X尺，小鼠則打了（0.5﹣X）尺則打洞時間相等：X÷4=（0.5﹣x）÷解方程得X=，所以大鼠在第三天打了8/17尺，小鼠打了0.5﹣=尺所以三天總的來說：大鼠打了3+=尺，小鼠打了5﹣尺，∴大鼠與小鼠“穿墻”的“進度”之比是59：26．故答案為：59，26．【點評】本題考查等差數列與等比數列在生產生活中的實際應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列和等比數列的性質的合理運用．16.已知函數f（x）=，若函數g（x）=f（x）+k有三個零點，則k的取值范圍是．參考答案：（，0）考點：函數零點的判定定理．專題：函數的性質及應用．分析：利用數形結合的思想，若函數g（x）=f（x）+k有三個零點，也就是f（x）=g（x）﹣k，即y=﹣k與f（x）有三個交點，只要求出f（x）的最小值即可．解答：解：如圖所示，∵f（x）=（x≥0）∴令f′（x）=0，則x=1，當0≤x＜1時，f′（x）＞0，函數f（x）為單調遞增函數，當x＞1時，f′（x）＜0，函數f（x）為單調遞減函數，∴當x=1時，函數f（x）有最大值，最大值為f（1）=，∴﹣k=即k=，∴k的取值范圍是（，0）點評：本題考查了函數零點的問題，利用數形結合的思想，轉化為求函數的最值問題，屬于中檔題．17.(極坐標與參數方程)直線（）被曲線所截的弦長為_______.參考答案：．略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知（1）求函數的最小正周期及在區間上的最大值和最小值；（2）若，，求的值.參考答案：【知識點】三角函數中的恒等變換應用；三角函數的周期性及其求法．菁優C3C7

【答案解析】（1）；2；1；（2）。解析：（1）∵，∴，∴函數的最小正周期為，∵，∴，∴，；（2）由（1）可知，則，，又∵，∴，∴，即.【思路點撥】（1）化簡得，求出函數的最小正周期以及最大、最小值；（2）由（1）知，，求出的值，考慮x0的取值范圍，求出的值．19.已知曲線C1的極坐標方程為ρ（cosθ﹣sinθ）=a，曲線C2的參數方程為（θ為參數），且C1與C2有兩個不同的交點．（1）寫出曲線C1的直角坐標方程和曲線C2的普通方程；（2）求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】QH：參數方程化成普通方程；Q4：簡單曲線的極坐標方程．【分析】（1）根據三種方程的轉化方法，寫出曲線C1的直角坐標方程和曲線C2的普通方程；（2）聯立兩個曲線方程，可得，即可求實數a的取值范圍．【解答】解：（1）曲線C1的極坐標方程為ρ（cosθ﹣sinθ）=a，直角坐標方程為x﹣y﹣a=0；曲線C2的參數方程為（θ為參數），消去參數，普通方程為y=x2，x∈[-,]；（2）聯立兩個曲線方程，可得，∵x∈，C1與C2有兩個不同的交點，∴a=x2﹣∈[-1/2,4]．20.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓，如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點的直線l交橢圓C于兩點A，B，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x＝﹣3于點D（﹣3，m）．（1）求m2+k2的最小值；（2）若|OG|2＝|OD|?|OE|，求證：直線l過定點．參考答案：（1）2；（2）見解析【分析】（1）設出直線方程為，聯立直線的方程和橢圓的方程，化簡為一元二次方程的形式.根據直線和橢圓有兩個交點得出判別式大于零，寫出韋達定理，根據中點坐標公式求得點的坐標，由此求得直線的斜率和方程，根據點坐標求得的關系式，結合基本不等式求得的最小值.（2）將直線的方程代入橢圓方程，求得點坐標，結合兩點坐標以及兩點間的距離公式，求得，代入列方程，解方程求得的關系，由此判斷出直線過定點.【詳解】（1）設直線l的方程為y＝kx+t（k＞0），由題意，t＞0，由方程組，得（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3＝0，由題意△＞0，所以3k2+1＞t2，設A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數的關系得，所以，由于E為線段AB的中點，因此，此時，所以OE所在直線的方程為，又由題意知D（﹣3，m），令x＝﹣3，得，即mk＝1，所以m2+k2≥2mk＝2，當且僅當m＝k＝1時上式等號成立，此時由△＞0得0＜t＜2，因此當m＝k＝1且0＜t＜2時，m2+k2取最小值2．（2）證明：由（1）知D所在直線的方程為，將其代入橢圓C的方程，并由k＞0，解得，又，由距離公式及t＞0得，，，由|OG|2＝|OD|?|OE|，得t＝k，因此直線l的方程為y＝k（x+1），所以直線l恒過定點（﹣1，0）．【點睛】本小題主要考查直線和橢圓的位置關系，考查根于系數關系，考查直線和直線交點坐標、直線和橢圓交點坐標的求法，考查兩點間的距離公式，考查直線過定點的問題，綜合性較強，屬于中檔題.21.已知函數（）.（Ⅰ）當時，求的圖象在處的切線方程；（Ⅱ）若函數在上有兩個零點，求實數的取值范圍；（Ⅲ）若函數的圖象與軸有兩個不同的交點，且，求證：（其中是的導函數）．參考答案：（Ⅰ）當時，，，切點坐標為，切線的斜率，則切線方程為，即. 2分（Ⅱ），則，∵，故時，.當時，；當時，.故在處取得極大值. 4分又，，，則，∴在上的最小值是. 6分在上有兩個零點的條件是解得，∴實數的取值范圍是. 8分

（Ⅲ）∵的圖象與軸交于兩個不同的點，∴方程的兩個根為，則兩式相減得.又，，則.下證（*），即證明，，∵，∴，即證明在上恒