山西省太原市第六十中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，則的值為（

）A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.不確定參考答案：A【分析】根據(jù)微積分基本定理，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查求定積分的值，熟記微積分基本定理即可，屬于常考題型.2.若，則下列不等式：①|(zhì)a|＞|b|；②a+b＞ab；③；④中．正確的不等式有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)參考答案：B【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式．【分析】由已知：，可得b＜a＜0．進(jìn)而得到|b|＞|a|，a+b＜0＜ab，=2，（a﹣b）2＞0，化為．即可判斷出．【解答】解：∵，∴b＜a＜0．∴|b|＞|a|，a+b＜0＜ab，=2，（a﹣b）2＞0，化為．故正確的不等式為③④兩個(gè)．故選B．3.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a(chǎn)＜﹣3或a＞6 D．a(chǎn)＜﹣1或a＞2參考答案：C【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】題目中條件：“函數(shù)f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有極大值和極小值”告訴我們其導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)不等的實(shí)根，利用二次方程根的判別式可解決．【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有極大值和極小值，則△=4a2﹣12（a+6）＞0，從而有a＞6或a＜﹣3，故選C．4.若曲線在處的切線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)a等于（

）A.-2 B.-1 C.1 D.2參考答案：D【分析】求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，這個(gè)導(dǎo)數(shù)值即函數(shù)圖像在該點(diǎn)處切線的斜率，然后根據(jù)兩直線垂直的條件列出方程即可求解實(shí)數(shù)。【詳解】由題可得：，，曲線在處的切線的斜率為1，

曲線在處的切線與直線互相垂直，且直線的斜率為，，解得：；故答案選D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩直線垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題。5.設(shè)向量若是實(shí)數(shù)，則的最小值為（）

參考答案：B6.在二面角α–l–β的兩個(gè)面α、β內(nèi)，分別有直線a，b，它們與棱l都不垂直，則（

）（A）當(dāng)該二面角是直二面角時(shí)，可能有a∥b，也可能a⊥b（B）當(dāng)該二面角是直二面角時(shí)，可能有a∥b，但不可能a⊥b（C）當(dāng)該二面角不是直二面角時(shí)，可能有a∥b，但不可能a⊥b（D）當(dāng)該二面角不是直二面角時(shí)，不可能有a∥b，但可能a⊥b參考答案：B7.若實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=2，則3a+3b的最小值是（）A．18 B．6 C．2 D．2參考答案：B【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】先判斷3a與3b的符號(hào)，利用基本不等式建立關(guān)系，結(jié)合a+b=2，可求出3a+3b的最小值【解答】解：由于3a＞0，3b＞0，所以3a+3b===6．當(dāng)且僅當(dāng)3a=3b，a=b，即a=1，b=1時(shí)取得最小值．故選B8.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若a2?a3=2a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5=（）A．35 B．33 C．31 D．29參考答案：C【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】用a1和q表示出a2和a3代入a2?a3=2a1求得a4，再根據(jù)a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，進(jìn)而求得a1，代入S5即可．【解答】解：a2?a3=a1q?a1q2=2a1∴a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2×∴q=，a1==16故S5==31故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．9.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.如果不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．

B．C．

D．或參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.半徑為r的圓的面積，周長(zhǎng)，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則①，①式用語(yǔ)言可以敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)．對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請(qǐng)寫(xiě)出類比①的等式：____________________。上式用語(yǔ)言可以敘述為_(kāi)________________________。參考答案：；球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)略12.(幾何證明選講)如圖,圓的半徑為1,、、是圓周上的三點(diǎn),滿足,過(guò)點(diǎn)作圓的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),則__________.參考答案：13.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為_(kāi)_____．參考答案：作出可行域如圖內(nèi)部（含邊界），表示與點(diǎn)連線的斜率，，，所以由圖知的最小值為．點(diǎn)睛：在線性規(guī)劃的非線性應(yīng)用中，經(jīng)常考慮待求式的幾何意義，如本題的斜率，或者是兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線的距離，這就要根據(jù)表達(dá)式的形式來(lái)確定．14.已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)y=f（f（x）﹣2a）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：?【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】畫(huà)出函數(shù)圖象，令f（f（x）﹣2a）=0?f（x）﹣2a=﹣2或f（x）﹣2a=1，?f（x）=2a﹣2或f（x）=2a+1，由函數(shù)函數(shù)f（x）=的值域?yàn)镽，可得f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1都至少有一個(gè)零點(diǎn)，要使函數(shù)y=f（f（x）﹣2a）有兩個(gè)零點(diǎn)，必滿足f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1各有一個(gè)零點(diǎn)．【解答】解：函數(shù)y=的定義域是（0，+∞），令y′＞0，解得：0＜x＜e，令y′＜0，解得：x＞e，故函數(shù)y=在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，故x=e時(shí)，函數(shù)y=取得最大值，最大值是，函數(shù)y=x2﹣4（x≤0）是拋物線的一部分．∴函數(shù)f（x）=的圖象如下：令y=f（f（x）﹣2a）=0?f（x）﹣2a=﹣2或f（x）﹣2a=1，?f（x）=2a﹣2或f（x）=2a+1，∵函數(shù)函數(shù)f（x）=的值域?yàn)镽，∴f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1都至少有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)y=f（f（x）﹣2a）有兩個(gè)零點(diǎn)，則必滿足f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1各有一個(gè)零點(diǎn)．∵2a+1＞2a﹣3，∴2a﹣2＜﹣4且2a+1＞?a∈?，故答案為?【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合的思想求解函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)也考查了函數(shù)的單調(diào)性及分類討論思想，屬于難題．15.已知不等式|x-a|﹥b的解集是{x|x﹥9或x﹤-3}，則a=＿＿＿

b=＿＿＿參考答案：略16.在等差數(shù)列中，已知，那么它的前8項(xiàng)和等于_________參考答案：4817.從雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交雙曲線右支于點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則=

參考答案：1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，證明：.參考答案：（1）減區(qū)間為

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)即令，則，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)綜上可知，當(dāng)時(shí)，有。19.已知函數(shù)f（x）=asinx﹣x+b（a，b均為正常數(shù)），設(shè)函數(shù)f（x）在x=處有極值． （1）若對(duì)任意的，不等式f（x）＞sinx+cosx總成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍； （2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 【分析】（1）由f′（x）在x=時(shí)，f′（x）=0，解得a的值，構(gòu)造函數(shù)g（x），b＞g（x），即b大于g（x）的最大值； （2）f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以區(qū)間是g（x）單調(diào)遞增區(qū)間的了集，列出不等式，求出m取值范圍． 【解答】解：（1）f′（x）=acosx﹣1，∵函數(shù)f（x）在x=處有極值，∴，得a=2， 由f（x）＞sinx+cosx得：2sinx﹣x+b＞sinx+cosx，即b＞cosx﹣sinx+x，令g（x）=cosx﹣sinx+x，， g′（x）=﹣sinx﹣cosx+1=+1，∵，g′（x）≤0，∴g（x）在[0，]上單調(diào)遞減，∴g（x）的最大值為g（0）=1，∴b＞1； （2）f′（x）=2cosx﹣1，令f′（x）≥0得，，解得， ∵函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴解得：，12k≤2m≤6k+2，又得m＞0， ∴m的取值范圍為（0，2]． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了極值，單調(diào)性，運(yùn)用了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題． 20.某校要建一個(gè)面積為450平方米的矩形球場(chǎng)，要求球場(chǎng)的一面利用舊墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成，且在矩形一邊的鋼筋網(wǎng)的正中間要留一個(gè)3米的進(jìn)出口（如圖）．設(shè)矩形的長(zhǎng)為米，鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度為米．（Ⅰ）列出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出其定義域；（Ⅱ）問(wèn)矩形的長(zhǎng)與寬各為多少米時(shí)，所用的鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度最小？（Ⅲ）若由于地形限制，該球場(chǎng)的長(zhǎng)和寬都不能超過(guò)25米，問(wèn)矩形的長(zhǎng)與寬各為多少米時(shí)，所用的鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度最小？參考答案：解：（Ⅰ）矩形的寬為：米

………1分

………………3分定義域?yàn)?/p>

…4分注：定義域?yàn)椴豢鄯郑á颍?/p>

……6分

當(dāng)且僅當(dāng)

即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)寬為：米所以，長(zhǎng)為30米，寬為15米，所用的鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度最小．

……8分（Ⅲ）法一：，

………10分當(dāng)時(shí)，

在上是單調(diào)遞減函數(shù)

…11分當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，長(zhǎng)為25米，寬為米所以，長(zhǎng)為25米，寬為18米時(shí)，所用的鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度最小．

………12分法二：設(shè)，，則

…10分，，

在上是單調(diào)遞減函數(shù)

…………11分當(dāng)時(shí)，此時(shí)，長(zhǎng)為25米，寬為米所以，長(zhǎng)為25米，寬為18米時(shí)，所用的鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度最小．

……12分

略21.學(xué)校或班級(jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳。現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計(jì)海報(bào)的