山西省太原市新興中學2023年高二數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設三次函數的導函數為，函數的圖象的一部分如下圖所示，則(

)

A．極大值為，極小值為B．極大值為，極小值為C．極大值為，極小值為

D．極大值為，極小值為參考答案：D略2.若直線l∥平面α，直線m?α，則l與m的位置關系是（）A．l∥mB．l與m異面C．l與m相交D．l與m沒有公共點參考答案：D考點：空間中直線與直線之間的位置關系．專題：計算題．分析：由線面平行的定義可判斷l與α無公共點，直線m在平面α內，故l∥m，或l與m異面．解答：解：∵直線l∥平面α，由線面平行的定義知l與α無公共點，又直線m在平面α內，∴l∥m，或l與m異面，故選D．點評：本題考查平面的基本性質及其推論，解題時要認真審題，仔細解答．3.已知平面向量，且∥，則=（

）A．（-2，-4）

B.（-3，-6）

C.（-4，-8）

D.（-5，-10）參考答案：C4.已知等比數列中，公比q>0，若，則的最值情況為

A．有最小值3

B．有最大值12

C．有最大值9

D．有最小值9參考答案：D5.己知雙曲線E的中心在原點，F（5，0）是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB中點為（9，），則E的方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】利用點差法求出直線AB的斜率，再根據F（5，0）是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為（9，），可建立方程組，從而可求雙曲線的方程．【解答】解：由題意，不妨設雙曲線的方程為E：﹣=1（a＞0，b＞0），∵F（5，0）是E的焦點，∴c=5，∴a2+b2=25．設A（x1，y1），B（x2，y2）則有：x1+x2=18，y1+y2=9，A，B代入相減可得AB的斜率，∵AB的斜率是=∴=，即16b2=9a2將16b2=9a2代入a2+b2=25，可得a2=16，b2=9，∴雙曲線標準方程是=1．故選D．【點評】本題考查雙曲線的標準方程，考查點差法解決弦的中點問題，考查學生的計算能力，解題的關鍵是利用點差法求出直線AB的斜率．6.觀察下列各等式：55=3125，56=15625，57=78125，…，則52013的末四位數字是（）A．3125 B．5625 C．8125 D．0625參考答案：A【考點】進行簡單的合情推理．【分析】由上述的幾個例子可以看出末四位數字的變化，3125，5625，8125，0625即末四位的數字是以4為周期的變化的，故2013除以4余1，即末四位數為3125．【解答】解：55=3125的末四位數字為3125，56=15625的末四位數字為5625，57=78125的末四位數字為8125，58=390625的末四位數字為0625，59=1953125的末四位數字為3125…，根據末四位數字的變化，3125，5625，8125，0625即末四位的數字是以4為周期的變化的，故2013除以4余1，即末四位數為3125．則52013的末四位數字為3125．故選A．7.函數f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定義域內任取一點x0，使f（x0）≤0的概率是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】幾何概型；一元二次不等式的解法．【專題】計算題．【分析】先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0發生的x0的取值長度為3，再由x0總的可能取值，長度為定義域長度10，得事件f（x0）≤0發生的概率是0.3【解答】解：∵f（x）≤0?x2﹣x﹣2≤0?﹣1≤x≤2，∴f（x0）≤0?﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，∵在定義域內任取一點x0，∴x0∈[﹣5，5]，∴使f（x0）≤0的概率P==故選C【點評】本題考查了幾何概型的意義和求法，將此類概率轉化為長度、面積、體積等之比，是解決問題的關鍵8.已知復數（i為虛數單位）為純虛數，則實數a的值為（

）A．－3

B．3

C.2

D．－2參考答案：B9.已知定點A(1,2)和直線l：x＋2y－5＝0，那么到定點A的距離和到定直線l距離相等的點的軌跡為()A．橢圓

B．雙曲線

C．拋物線

D．直線參考答案：C略10.數列－1，3，－5，7，－9，，的一個通項公式為（

）A． B．C． D．參考答案：C首先是符號規律：，再是奇數規律：，因此，故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過雙曲線的右焦點F作實軸所在直線的垂線，交雙曲線于A，B兩點，設雙曲線的左頂點M，若△MAB是直角三角形，則此雙曲線的離心率e的值為

． 參考答案：2【考點】雙曲線的簡單性質． 【專題】計算題；轉化思想；數形結合法；圓錐曲線的定義、性質與方程． 【分析】由題意，△AMF為等腰直角三角形，|AF|為|AB|的一半，|AF|=．而|MF|=a+c，由題意可得，a+c=，即可得出結論． 【解答】解：由題意，△AMF為等腰直角三角形， |AF|為|AB|的一半，|AF|=． 而|MF|=a+c， 由題意可得，a+c=， 即a2+ac=b2=c2﹣a2，即c2﹣ac﹣2a2=0． 兩邊同時除以a2可得，e2﹣e﹣2=0，解之得，e=2． 故答案為：2． 【點評】本題主要考查雙曲線的基本性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題． 12.若方程所表示的曲線為C,則下面四個命題（

）。

①若C為橢圓,則,

②若C為雙曲線,則或;

③曲線C不可能是圓;

④若C為橢圓,且長軸在x軸上,則其中真命題的序號是__________.參考答案：

②13.已知函數，若，則實數a的取值范圍是_____．參考答案：由題意知，解得，故實數的取值范圍是，故答案為.14.過點且與直線平行的直線方程是

▲

．參考答案：15.用0、1、2、3、4這5個數字可組成沒有重復數字的三位偶數_

__個．參考答案：3016.已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為

．參考答案：略17.盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6,7的七個球，從中任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數的概率是

（結果用最簡分數表示）．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在中，角的對邊分別為，且滿足.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）求的面積.參考答案：解：（Ⅰ）

……………2分即

……………4分

.……………6分（Ⅱ）由余弦定理，得：即

…………8分即，解得或

……………10分∴由或……………12分略19.

參考答案：略20.數列{an}的前n項和記為Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）（1）求{an}的通項公式；（2）等差數列{bn}的各項為正，其前n項和為Tn，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比數列，求Tn．參考答案：解：（1）因為an+1=2Sn+1，…①所以an=2Sn﹣1+1（n≥2），…②所以①②兩式相減得an+1﹣an=2an，即an+1=3an（n≥2）又因為a2=2S1+1=3，所以a2=3a1，故{an}是首項為1，公比為3的等比數列∴an=3n﹣1．（2）設{bn}的公差為d，由T3=15得，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，故可設b1=5﹣d，b3=5+d，又因為a1=1，a2=3，a3=9，并且a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比數列，所以可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2，解得d1=2，d2=﹣10∵等差數列{bn}的各項為正，∴d＞0，∴d=2，∴略21.已知橢圓C：+=1過點A（2，0），B（0，1）兩點．（1）求橢圓C的方程及離心率；（2）設P為第三象限內一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．參考答案：【考點】橢圓的標準方程；直線與橢圓的位置關系．【分析】（1）由題意可得a=2，b=1，則，則橢圓C的方程可求，離心率為e=；（2）設P（x0，y0），求出PA、PB所在直線方程，得到M，N的坐標，求得|AN|，|BM|．由，結合P在橢圓上求得四邊形ABNM的面積為定值2．【解答】（1）解：∵橢圓C：+=1過點A（2，