山西省太原市同心外國語學校高二數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.以雙曲線的離心率為半徑、右焦點為圓心的圓與雙曲線的漸近線相切．則m=（

）A. B. C. D.參考答案：B【詳解】注意到．漸近線方程為，即．右焦點到漸近線距離為．從而．故答案為：B2.有下列四個命題：①“若xy＝1，則x、y互為倒數”的逆命題；②“相似三角形的周長相等”的否命題；③若“A∪B＝B，則A?B”的逆否命題．其中的真命題有()個。A．0B．1

C．2

D．3參考答案：C略3.y=ex.cosx的導數是(

)A.ex.sinx B.ex(sinx-cosx) C.-ex．sinx D.ex(cosx-sinx)參考答案：D略4.函數在內(－1,0)有極小值，則實數a的取值范圍為（

）A．

B．(0,3)

C.(－∞,3)

D．(0,+∞)參考答案：A由函數的解析式可得y′=?3x2+2a，∵函數y=?x3+2ax+a在(?1,0)內有極小值，∴令y′=?3x2+2a=0，則有一根在(?1,0)內，分類討論：a>0時，兩根為，滿足題意時，小根在(?1,0)內，則，即0<a<.a=0時，兩根相等，均為0，f(x)在(?1,0)內無極小值.a<0時，無實根，f(x)在(?1,0)內無極小值，綜合可得，實數的取值范圍為.本題選擇A選項.

5.在“南安一中校園歌手大賽”比賽現場上七位評委為某選手打出的分數的莖葉統計圖如圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均數和方差分別為（

）

A．85和6.8

B．85和1.6

C．86和6.8

D．86和1.6參考答案：A6.如果直線與直線平行，則a等于

（

）

A．0

B．

C．0或1

D．0或參考答案：D略7.定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函數f（x），如果對于任意給定的等比數列{an}，{f（an）}仍是等比數列，則稱f（x）為“保等比數列函數”．現有定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．則其中是“保等比數列函數”的f（x）的序號為（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④參考答案：C【考點】等比關系的確定．【分析】根據新定義，結合等比數列性質，一一加以判斷，即可得到結論．【解答】解：由等比數列性質知，①=f2（an+1），故正確；②≠=f2（an+1），故不正確；③==f2（an+1），故正確；④f（an）f（an+2）=ln|an|ln|an+2|≠=f2（an+1），故不正確；故選C8.在等差數列中，有，則此數列的前13項和為（

）A．24

B．39

C．52

D．104參考答案：C9.等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，若，則的實軸長為（

） A.

B.

C.

D.參考答案：C10.已知是橢圓長軸的兩個端點，是橢圓上關于軸對稱的兩點，直線的斜率分別為，若橢圓的離心率為,則的最小值為（

） A． B． C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知冪函數的圖像過點(2，)，則這個函數的解析式為

▲

．

參考答案：12.下列圖中的多邊形均為正多邊形，M、N是所在邊上的中點，雙曲線均以圖中的F1、F2為焦點，設圖(1)，(2)，(3)中的雙曲線的離心率分別為e1、e2、e3.則e1、e2、e3的大小關系為________．

參考答案：略13.如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，OA=2，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC．當四邊形OACB面積最大時，∠AOB=

．

參考答案：150°【考點】任意角的三角函數的定義．【分析】設∠AOB=θ，并根據余弦定理，表示出△ABC的面積及△OAB的面積，進而表示出四邊形OACB的面積，并化簡函數的解析式為正弦型函數的形式，再結合正弦型函數最值的求法進行求解．【解答】解：四邊形OACB的面積=△OAB的面積+△ABC的面積，設∠AOB=θ，則△ABC的面積=?AB?AC?sin60°=?AB2=（OA2+OB2﹣2OA?OB?sinθ）=（5﹣4cosθ），△OAB的面積=?OA?OB?sinθ==sinθ，四邊形OACB的面積=（5﹣4cosθ）+sinθ=﹣cosθ+sinθ=+2sin（θ﹣60°），故當θ﹣60°=90°，即θ=150°時，四邊形OACB的面積最大值為+2，故答案為：150°．【點評】函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，即要求三角函數的周期與最值一般是要將其函數的解析式化為正弦型函數，再根據最大值為|A|、最小值為﹣|A|求解，屬于中檔題．14.對于實數，用表示不超過的最大整數，如若，,為數列的前項和，則：（1）= ；

（2）=

．參考答案：6;.15.若數列{an}為等差數列，定義，則數列{bn}也為等差數列.類比上述性質，若數列{an}為等比數列，定義數列{bn},bn=______，則數列{bn}也為等比數列.參考答案：【分析】可證明當為等差數列時，也為等差數列，從這個證明過程就可以得到等比數列中類似的結論.【詳解】因為為等差數列，從而，所以，，所以為等差數列，而當為等比數列時，，故，若，則，此時（為的公比），所以為等比數列，填.【點睛】等差數列與等比數列性質的類比，往往需要把一類數列中性質的原因找到，那么就可以把這個證明的過程類比推廣到另一類數列中，從而得到兩類數列的性質的類比.需要提醒的是等差數列與等比數列性質的類比不是簡單地“和”與“積”或“差”與“商”的類比.16.已知流程圖如右圖所示，該程序運行后，為使輸出的值為，則循環體的判斷框內①處應填

。參考答案：317.根據《環境空氣質量指數AQI技術規定》，AQI共分為六級：（0，50]為優，（50，100]為良，（100，150]為輕度污染，（150，200]為中度污染，（200，300]為重度污染，300以上為嚴重污染．右圖是根據鹽城市2013年12月份中20天的AQI統計數據繪制的頻率分布直方圖．由圖中的信息可以得出這20天中鹽城市環境空氣質量優或良的總天數為

.參考答案：5略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標系中，已知曲線上的任意一點到點的距離之和為．（1）求曲線的方程；（2）設橢圓：，若斜率為的直線交橢圓于點，垂直于的直線交曲線于點．（i）求線段的長度的最小值；（ii）問：是否存在以原點為圓心且與直線相切的圓？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．參考答案：（1）由橢圓定義可知曲線的軌跡是橢圓，設的方程為，所以，，則，故的方程．（2）(ⅰ)證明：證明：當，為長軸端點，則為短軸的端點，.當時，設直線：，代入，整理得，即，，所以．又由已知，可設：，同理解得，所以，即故的最小值為．（ⅱ）存在以原點為圓心且與直線相切的圓．設斜邊上的高為，由（Ⅱ）(ⅰ)得當時，；當時，，又，由，得，當時，，又，由，得，故存在以原點為圓心，半徑為且與直線相切的圓，圓方程為．19.已知函數f（x）=x3﹣2ax2﹣3x．（1）當a=0時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））的切線方程；（2）對一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a2x≥lnx﹣3a﹣1恒成立，求實數a的取值范圍；（3）當a＞0時，試討論f（x）在（﹣1，1）內的極值點的個數．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；函數恒成立問題；利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（Ⅰ）求導數，利用導數的幾何意義，求出切線的斜率，即可求曲線y=f（x）在點（3，f（3））的切線方程；（Ⅱ）由題意：2ax2+1≥lnx，即，求出右邊的最大值，即可求實數a的取值范圍；（Ⅲ）分類討論，利用極值的定義，即可討論f（x）在（﹣1，1）內的極值點的個數．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，所以f′（x）=2x2﹣3又f（3）=9，f′（3）=15所以曲線y=f（x）在點（3，f（3））的切線方程為15x﹣y﹣36=0…（Ⅱ）由題意：2ax2+1≥lnx，即設，則當時，g'（x）＞0；當時，g′（x）＜0所以當時，g（x）取得最大值故實數a的取值范圍為．…（Ⅲ）f′（x）=2x2﹣4ax﹣3，，①當時，∵∴存在x0∈（﹣1，1），使得f′（x0）=0因為f′（x）=2x2﹣4ax﹣3開口向上，所以在（﹣1，x0）內f′（x）＞0，在（x0，1）內f′（x）＜0即f（x）在（﹣1，x0）內是增函數，f（x）在（x0，1）內是減函數故時，f（x）在（﹣1，1）內有且只有一個極值點，且是極大值點．…②當時，因又因為f′（x）=2x2﹣4ax﹣3開口向上所以在（﹣1，1）內f′（x）＜0，則f（x）在（﹣1，1）內為減函數，故沒有極值點…綜上可知：當，f（x）在（﹣1，1）內的極值點的個數為1；當時，f（x）在（﹣1，1）內的極值點的個數為0．…20.已知為偶函數,曲線過點，.(1)若曲線有斜率為0的切線,求實數a的取值范圍;(2)若當時函數取得極值,試確定的單調區間.參考答案：(1)因為f(x)=x2+bx+c為偶函數,所以f(-x)=f(x),即(-x)2+b(-x)+c=x2+bx+c,從而b=-b,解得b=0.

又曲線y=f(x)過點(2,5),得22+c=5,故c=1.所以f(x)=x2+1.

2分又函數g(x)=(x+a)f(x)=(x+a)(x2+1)=x3+ax2+x+a,從而g'(x)=3x2+2ax+1.因為曲線y=g(x)有斜率為0的切線,故g'(x)=0有實數解,即3x2+2ax+1=0有實數解,此時有Δ=(2a)2-12≥0,解得a∈(-∞,-]∪[,+∞). 5分(2)因為函數y=g(x)在x=-1處取得極值,故g'(-1)=0,即3-2a+1=0,解得a=2.

7分所以g'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1).令g'(x)=0,得x1=-1,x2=-.當x∈(-∞,-1)時,g'(x)>0,故g(x)在(-∞,-1)上是遞增的;當x∈時,g'(x)<0,故g(x)在上是遞減的;當x∈時,g'(x)>0,故g(x)在上是遞增的.

11分所以函數y=g(x)的遞增區間是，，遞減區間是

12分21.在平面直角坐標系中，直線l的參數方程為(其中t為參數）.現以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（2）若點P坐標為(－1,0)，直線l交