山西省大同市西韓嶺中學2021-2022學年高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.閱讀如圖的程序框圖，若運行相應的程序,則輸出的是

參考答案：2.過點和的直線在軸上的截距為A.

B.

C.

D.參考答案：A3.定義運算為執行如圖所示的程序框圖輸出的S值，則的值為A．2

B．-2 C．-1

D．1參考答案：A4.已知函數的圖像分別交于M、N兩點，則的最大值是

A．1

B．

C．

D．參考答案：B5.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，下圖畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（

）A．27

B．36

C.48

D．54參考答案：D6.函數的圖象為C：①圖象C關于直線對稱；②函數在區間內是增函數；③由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C；以上三個論斷中，正確論斷的個數是（

）

2 3參考答案：C略7.已知函數是定義在R上的奇函數，當時，，則不等式的解集是A．

B．

C．

D．參考答案：A8.下列函數中，既是偶函數又在單調遞增的函數是（）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.已知（其中為正數），若，則的最小值是

A．2

B．

C．

D．8參考答案：C10.已知奇函數f(x)在R上是增函數.若，則a，b，c的大小關系為（A）a＜b＜c（B）b＜a＜c（C）c＜b＜a

（D）c＜a＜b參考答案：C由題意：，且：，據此：，結合函數的單調性有：，即.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知：通過觀察上述兩等式的規律，請你寫出一般性的命題

；參考答案：12.已知，過點作一直線與雙曲線相交且僅有一個公共點，則該直線的傾斜角恰好等于此雙曲線漸近線的傾斜角或；類比此思想，已知，過點作一直線函數的圖象相交且僅有一個公共點，則該直線的傾斜角為

.參考答案：或13.設為空間直角坐標系內一點，點在平面上的射影的極坐標為（極坐標系以為極點，以軸為極軸），則我們稱三元數組為點的柱面坐標．已知點的柱面坐標為，則直線與平面所成的角為．參考答案：等略14.已知函數，則的解集為

．參考答案：略15.（5分）（2015?陜西一模）已知向量是兩個不共線的向量，若與共線，則λ=．參考答案：﹣【考點】：平行向量與共線向量．【專題】：平面向量及應用．【分析】：由向量是兩個不共線的向量，以、為基底，把、用坐標表示，利用共線的定義，求出λ的值．解：∵向量是兩個不共線的向量，不妨以、為基底，則=（2，﹣1），=（1，λ）；又∵、共線，∴2λ﹣（﹣1）×1=0；解得λ=﹣．故答案為：．【點評】：本題考查了平面向量的應用問題，解題時應利用平面向量的坐標表示進行解答，是基礎題．16.經過點(2,0)且圓心是直線與直線的交點的圓的標準方程為

．參考答案：17.給出下列四個結論：①“若則”的逆否命題為真；②若為的極值，則； ③函數（x）有3個零點； ④對于任意實數x，有且x>0時,，則x<0時.其中正確結論的序號是

.（填上所有正確結論的序號）參考答案：①④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數是的一個極值點.（1）求函數的單調區間；（2）若當時，恒成立，求的取值范圍.參考答案：解：（1）∵且是的一個極值點∴，-------2分∴------4分由得或，∴函數的單調增區間為，；--6分由得，∴函數的單調減區間為，----8分（2）由（1）知，函數在上單調遞減，在上單調遞增∴當時，函數取得最小值，=，----10分時，恒成立等價于-----12分即。-------14分19.在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知點A的極坐標為，直線l的極坐標方程為，且點A在直線l上（Ⅰ）求a的值和直線l的直角坐標方程及l的參數方程；（Ⅱ）已知曲線C的參數方程為，（為參數），直線l與C交于M，N兩點，求的值參考答案：（Ⅰ），的直角坐標方程為，的參數方程為：（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）將點的極坐標方程代入直線的極坐標方程可求出的值，然后將直線方程化為普通方程，確定直線的傾斜角，即可將直線的方程表示為參數方程的形式；（Ⅱ）將曲線的參數方程表示普通方程，然后將（Ⅰ）中直線的參數方程與曲線的普通方程聯立，得到關于的一元二次方程，并列出韋達定理，根據的幾何意義計算出和，于是可得出的值。【詳解】解：（Ⅰ）因為點，所以；由得于是的直角坐標方程為；的參數方程為：

（t為參數）

（Ⅱ）由：，將的參數方程代入得，設該方程的兩根為，由直線的參數的幾何意義及曲線知，，

所以。【點睛】本題考查曲線的極坐標、參數方程與普通方程之間的轉化，考查直線參數方程的幾何意義，對于這類問題的處理，一般就是將直線的參數方程與普通方程聯立，借助韋達定理求解，考查計算能力，屬于中等題。20.在一個特定時段內，以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域.點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距海里的位置B，經過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東45°+θ(其中sinθ=,0°＜θ＜90°)且與點A相距海里的位置C.(1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；(2）若該船不改變航行方向繼續行駛，判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由.參考答案：（1）如圖，AB=，AC=，∠BAC=θ,sinθ=.由于0°＜θ＜90°，所以由余弦定理得所以船的行駛速度為（海里/小時）.(2）如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，設點B、C的坐標分別是B（x1，y1），C（x2，y2），BC與x軸的交點為D.由題設有，x1=y1=AB=40，x2=ACcos∠CAD=cos(45°-θ)=30,y2=ACsin∠CAD=sin(45°-θ)=20.所以過點B、C的直線l的斜率k==2，直線l的方程為y=2x-40.又點E（0，-55）到直線l的距離所以船會進入警戒水域.21.在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，經過點A（1，2）其焦點F在x軸上．（Ⅰ）求拋物線C的標準方程；（Ⅱ）求過點F和OA的中點的直線的方程；（Ⅲ）設點P（﹣1，m），過點F的直線交拋物線C于B、D兩點，記PB，PF，PD的斜率分別為k1，k2，k3，求證：k1+k3=2k2．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（Ⅰ）由題意可設拋物線的方程為：y2=2px，（p＞0），由已知得4=2p，由此能求出拋物線C的標準方程．（Ⅱ）由（1）知：F（1，0），OA的中點M的坐標為（），由此能求出直線FM的方程．（Ⅲ）當直線的斜率不存在時，F（1，0），B（1，2），D（1，﹣2），k1+k3=2k2；當直線的斜率存在時，設直線的方程為y=k（x﹣1），設B（x1，y1），D（x2，y2），由已知條件推導出=2k﹣（2k+m）﹣，由此能證明k1+k3=2k2．解答：（Ⅰ）解：由題意可設拋物線的方程為：y2=2px，（p＞0），因為拋物線經過點A（1，2），所以4=2p，解得：p=2，則拋物線C的標準方程是：y2=4x．…（3分）（Ⅱ）解：由（1）知：F（1，0），OA的中點M的坐標為（），則kFM==﹣2，所以直線FM的方程是：2x+y﹣2=0．…（6分）（Ⅲ）證明：當直線的斜率不存在時，則F（1，0），B（1，2），D（1，﹣2），所以，，，則k1+k3=2k2，…（8分）當直線的斜率存在時，設為k，則直線的方程為y=k（x﹣1），設B（x1，y1），D（x2，y2），則=，同理可得：，所以=2k﹣（2k+m）﹣，…（12分）由方程組，消去y，并整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，所以x1x2=1，…（14分）則k1+k3=2k﹣（2k+m）×1=﹣m，又，所以k1+k3=2k2，綜上所述：k1+k3=2k2．…（16分）點評：本題考查拋物線C的標準方程的求法，考查直線的方程的求法，考查k1+k3=2k2的證明，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．22.（12分）京劇是我國的國粹，是“國家級非物質文化遺產”，為紀念著名京劇表演藝術家、京劇藝術大師梅蘭芳先生，某市電視臺舉辦《我愛京劇》的比賽，并隨機抽取100位參與《我愛京劇》比賽節目的票友的年齡作為樣本進行分析研究（全部票友的年齡都在[30，80]內），樣本數據分組區間為[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]，由此得到如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）若抽取的這100位參與節目的票友的平均年齡為53，據此估計表中a，b的值（同一組中的數據用該組區間的終點值作代表）；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若按分層抽樣的方式從中再抽取20人，參與有關京劇知識的問答，分別求抽取的年齡在[60，70）和[70，80]的票友中人數；（Ⅲ）根據（Ⅱ）中抽取的人數，從年齡在[60，80）的票友中任選2人，求這兩人年齡都在[60，70）內的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率；頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）根據頻率分布直方圖的性質列出方程組，能求出a，b．（Ⅱ）根據頻率分布直方圖的性質年齡能求出在[60，70）的票友和年齡在[70，80]的票友需抽取的人數．（Ⅲ）設年齡在[70，80]歲的票友這A，在[60，70）歲的票友為a，b，c，d，則從中抽取從中抽取2人的基本事件總數有n==10，利用列舉法能求求出這兩人年齡都在[60，70）內的概率．【解答】解：（Ⅰ）根據頻率分布直方圖得：，解得a=0.005，b=0.035．（Ⅱ）由（Ⅰ）知樣本年齡在[70，80）歲的票友共有0.05×100=5人，樣本年齡在[60，70）歲的票友共有0.2×100=20人，樣本年齡在[50，60）歲的票友共有0.35×100=35人，樣本年齡在[40，50）歲的票友共有0.3×100=30人，樣本年齡在[30，40）歲的票友共有0.1×100=10人，∴年齡在[