2．函數的單調性1．理解單調函數的定義，理解增函數、減函數的定義．(重點)2．掌握定義法判斷函數單調性的步驟．(重點)3．掌握求函數單調區間的方法(定義法、圖象法)．(難點)[基礎·初探]教材整理增函數與減函數的定義閱讀教材P44～P45“例1”以上部分，完成下列問題．1．增函數與減函數的定義設函數y＝f(x)的定義域為A，區間M?A，如果取區間M中的任意兩個值x1，x2，改變量Δx＝x2－x1>0，則當Δy＝f(x2)－f(x1)>0時，就稱函數y＝f(x)在區間M上是增函數，如圖2-1-6(1)；當Δy＝f(x2)－f(x1)<0時，就稱函數y＝f(x)在區間M上是減函數，如圖2-1-6(2)．(1)(2)圖2-1-62．函數的單調性與單調區間如果一個函數在某個區間M上是增函數或是減函數，就說這個函數在這個區間M上具有單調性(區間M稱為單調區間)．1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)已知f(x)＝eq\f(1,x)，因為f(－1)<f(2)，所以函數f(x)是增函數．()(2)增、減函數定義中的“任意兩個自變量的值x1、x2”可以改為“存在兩個自變量的值x1、x2”．()(3)若函數f(x)在區間(1,2]和(2,3)上均為增函數，則函數f(x)在區間(1,3)上為增函數．()【解析】(1)×.由函數單調性的定義可知，要證明一個函數是增函數，需對定義域內的任意的自變量都滿足自變量越大，函數值也越大，而不是個別的自變量．(2)×.不能改為“存在兩個自變量的值x1、x2”．(3)×.反例：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，x∈1，2]，,－2，x∈2，3.))【答案】(1)×(2)×(3)×2．函數f(x)＝x2－2x＋3的單調減區間是________．【解析】因為f(x)＝x2－2x＋3是圖象開口向上的二次函數，其對稱軸為x＝1，所以函數f(x)的單調減區間是(－∞，1)．【答案】(－∞，1)[小組合作型]求函數的單調區間求下列函數的單調區間，并指出該函數在其單調區間上是增函數還是減函數．(1)f(x)＝－eq\f(1,x)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥1，,5－x，x<1；))(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.【精彩點撥】(1)根據反比例函數的單調性求解；(2)根據自變量的范圍分段求出相應的函數的單調區間；(3)做出函數的圖象求其單調區間．【自主解答】(1)函數f(x)＝－eq\f(1,x)的單調區間為(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函數．(2)當x≥1時，f(x)是增函數，當x<1時，f(x)是減函數，所以f(x)的單調區間為(－∞，1)，(1，＋∞)，并且函數f(x)在(－∞，1)上是減函數，在(1，＋∞)上是增函數．(3)因為f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3，x≥0，,－x2－2x＋3，x<0.))根據解析式可作出函數的圖象如圖所示，由圖象可知，函數f(x)的單調區間為(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)．f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函數，在(－1,0)，[1，＋∞)上是減函數．1．求函數單調區間的方法(1)利用基本初等函數的單調性，如本例(1)和(2)，其中分段函數的單調區間要根據函數的自變量的取值范圍分段求解；(2)利用函數的圖象，如本例(3)．2．若所求出函數的單調增區間或單調減區間不唯一，函數的單調區間之間要用“，”隔開，如本例(3)．[再練一題]1．函數f(x)＝－x2＋2ax＋3(a∈R)的單調減區間為________.【導學號：60210039】【解析】因為函數f(x)是開口向下的二次函數，其對稱軸為x＝a，所以f(x)的單調減區間為(a，＋∞)．【答案】(a，＋∞)函數單調性的判定與證明(1)下列四個函數中在(0，＋∞)上為增函數的是()A．f(x)＝3－x B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝eq\f(1,x) D．f(x)＝x2＋2x(2)用定義法證明函數f(x)＝eq\f(x2,x2－1)在區間(0,1)上是減函數．【精彩點撥】(1)根據一次函數、反比例函數或二次函數的單調性判斷．(2)利用函數單調性的定義，取值，作差，變形，定號，下結論，即可證得．【自主解答】(1)(x)＝3－x在(0，＋∞)上為減函數．(x)＝(x－1)2是開口向上的二次函數，其對稱軸為x＝1，它的單調增區間為(1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上不為單調函數．(x)＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上為減函數．(x)＝x2＋2x是開口向上的二次函數，其對稱軸為x＝－1，則它的單調遞增區間是(－1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上為增函數．【答案】D(2)設x1，x2∈(0,1)且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(x\o\al(2,1),x\o\al(2,1)－1)－eq\f(x\o\al(2,2),x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(x2－x1x2＋x1,x1－1x1＋1x2－1x2＋1)，∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∵x1，x2∈(0,1)，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以，函數f(x)＝eq\f(x2,x2－1)在區間(0,1)上是減函數．判斷函數的單調性除用定義判斷外，還可用圖象法、直接法等．1．圖象法：先作出函數圖象，利用圖象直觀判斷函數的單調性．2．直接法：就是對于我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接判斷它們的單調性．[再練一題]2．已知函數f(x)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,x)，用單調性定義證明f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數．【證明】設任意x2＞x1＞0，則x2－x1＞0，x1x2＞0，∵f(x2)－f(x1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,x2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,x1)))＝eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2)＝eq\f(x2－x1,x1x2)>0，∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數．[探究共研型]函數單調性的應用探究1根據函數單調性的定義，若函數f(x)是其定義域上的增函數，那么當自變量x越大，函數值是越大還是越??？如果函數f(x)是減函數呢？【提示】若函數f(x)是其定義域上的增函數，那么當自變量x越大，函數值就越大；若函數f(x)是其定義域上的減函數，那么當自變量x越大，函數值就越小．探究2若函數f(x)＝ax2－4ax＋3，顯然其圖象的對稱軸為x＝2，那么f(4)>f(3)一定成立嗎？【提示】不一定．如果函數f(x)是圖象開口向上的二次函數，則f(x)在(－∞，2)上單調遞減，在(2，＋∞)上單調遞增，則f(4)>f(3)；如果函數f(x)是圖象開口向下的二次函數，則f(x)在(－∞，2)上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞減，則f(4)<f(3)．探究3若函數f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增函數，則實數a的取值范圍是什么？【提示】因為函數f(x)＝x2－2ax＋3是圖象開口向上的二次函數，其對稱軸為x＝a，所以其單調增區間為(a，＋∞)，由題意可得(2，＋∞)?(a，＋∞)，所以a≤2.(1)f(x)為(－∞，＋∞)上的減函數，a∈R，則()A．f(a)＜f(2a) B．f(a2)＜f(a)C．f(a2＋1)＜f(a) D．f(a2＋a)＜f(a)(2)如果函數f(x)＝x2－2bx＋2在區間[3，＋∞)上是增函數，則b的取值范圍為()A．b＝3 B．b≥3C．b≤3 D．b≠3【精彩點撥】(1)先比較題中變量的大小關系，再利用減函數中大自變量對應小函數值，小自變量對應大函數值來找答案即可．(2)分析函數f(x)＝x2－2bx＋2的圖象和性質，利用二次函數的單調性即可得出b的取值范圍．【自主解答】(1)因為a∈R，所以a－2a＝－a與0的大小關系不定，沒法比較f(a)與f(2a)的大小，故A錯；而a2－a＝a(a－1)與0的大小關系也不定，也無法比較f(a2)與f(a)的大小，故B錯；又因為a2＋1－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，所以a2＋1＞a.又f(x)為(－∞，＋∞)上的減函數，故有f(a2＋1)＜f(a)，故C對；易知D錯．故選C.(2)函數f(x)＝x2－2bx＋2的圖象是開口朝上，且以直線x＝b為對稱軸的拋物線，若函數f(x)＝x2－2bx＋2在區間[3，＋∞)上是增函數，則b≤3，故選C.【答案】(1)C(2)C1．已知函數的單調性比較函數值的大小，首先要確定自變量的大小，并且確定兩個自變量在已知函數的單調增區間還是單調減區間內，然后利用函數的單調性確定函數值的大小．2．已知函數的單調性求參數的取值范圍的方法(1)視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性的定義，確定函數的單調區間，與已知單調區間比較求參數．(2)依據常見函數的單調性，如一次函數、反比例函數、二次函數的單調性求解．(3)要注意：“函數f(x)的增區間是(a，b)”與“函數f(x)在區間(a，b)上單調遞增”是不同的，后者意味著區間(a，b)是函數f(x)的增區間的一個子集．[再練一題]3．已知函數f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)在(－2，＋∞)內單調遞減，則實數a的取值范圍________．【解析】設x2>x1>－2，f(x2)－f(x1)＝eq\f(ax2＋1,x2＋2)－eq\f(ax1＋1,x1＋2)＝eq\f(2a－1x2－x1,x2＋2x1＋2)，因為f(x)在(－2，＋∞)內單調遞減，所以eq\f(2a－1x2－x1,x2＋2x1＋2)<0，因為(x2＋2)(x1＋2)>0，x2－x1>0，所以2a－1<0，所以a<eq\f(1,2).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))1．如果函數f(x)在[a，b]上是增函數，那么對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列結論中不正確的是()\f(fx1－fx2,x1－x2)>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．若x1<x2，則f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)\f(x1－x2,fx1－fx2)>0【解析】因為f(x)在[a，b]上是增函數，對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2與f(x1)－f(x2)的符號相同，故A，B，D都正確，而C中應為若x1<x2，則f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)．【答案】C2．函數f(x)＝－x2＋2x＋3的單調減區間是()A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，2) D．(2，＋∞)【解析】易知函數f(x)＝－x2＋2x＋3是圖象開口向下的二次函數，其對稱軸為x＝1，所以其單調減區間是(1，＋∞)．【答案】B3．若x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，函數f(x)＝－eq\f(1,x)，則f(x1)與f(x2)的大小關系是()A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)<f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．以上都有可能【解析】∵函數f(x)＝－eq\f(1,x)在(－∞，0)上是增函數，又∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，∴f(x1)<f(x2)．【答案】B4．已知f(x)是定義在R上的增函數，且f(x－2)<f(1－x)，則x的取值范圍為________.【導學號：97512023】【解析】∵f(x)是定義在R上的增函數，又∵f(x－2)<f(1－x)，∴x－2<1－x，∴x<eq\f(3,2)，即x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))5．證明函數f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(－1,0)上是減函數．【證明】設－1＜x1＜x2＜