§7-3

三向應力狀態szsxsytxytyxsytxytyxsxsz三向應力狀態特例的一般情形--至少有一個主應力及其主方向已知。研究方法：將已知主方向的作用面作為屏幕面，則立方單元體可以投影成平面矩形。平面矩形的上、下、左、右邊緣上的應力按照已經學過的平面應力狀態求主應力的方法求解。研究方法：按照平面應力狀態求出的兩個主應力在加另外一個已知主應力，按照代數值可以排列出三個主應力的順序:σ2σ3σ1σ2σ1σ1σ3σ2σ3在三個主方向的作用面中都產生各自面內最大切應力τmax,即：最大切應力一點處應力狀態中的最大切應力只是1-2、

2-3、1-3

中最大者，即:結論：(1)無論材料點（單元）處于何種應力狀態，求最大切應力時，一律按照三向應力狀態求解。即：按照最大主應力σ1與最小主應力σ3之差的一半確定。(2)最大切應力作用面的方位，按照最大主應力σ1與最小主應力σ3夾角450方向確定。σ1σ3例1：材料單元的應力狀態如圖求：最大切應力解：已知s=40MPa是一個主應力，水平方向的切應力對應于純剪切應力狀態。材料單元的三向應力狀態如下圖。402020maxt231ss-=240-（-

20）==30MPa問題的提出簡單應力狀態的應力應變關系純剪應力狀態的應力應變關系應力應變關系均可以由簡單實驗確定

廣義虎克定律復雜應力狀態的應力應變關系應力分量應變分量應力應變關系？理論基礎（彈性力學的結論）

各向同性的線彈性材料發生小變形時，線應變只和正應力有關，而與剪應力無關；剪應變只和剪應力有關，而與正應力無關。研究方法（疊加原理）先研究X方向的線應變=++2、三向主應力狀態的廣義虎克定律－疊加法σ1σ2σ3ε1=ε2=ε3=三向主應力狀態的廣義虎克定律復雜應力狀態下的廣義虎克定律

xyzszsytxysx注意：廣義虎克定律要求單元體任意三個垂直的方向上表示應力—應變關系：X，Y，Z為任意三個垂直的方向特例（主單元體）三向應力狀態三向應變狀態二向應力狀態三向應變狀態單向應力狀態三向應變狀態0°90°45°90°45°12345°應變花示意圖復雜應力狀態下，當主應力未知時，應當用應變花測試。60°0°120°60°120°12360°應變花示意圖復雜應力狀態下，當主應力未知時，應當用應變花測試。一、引子：1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現象是怎樣產生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮MP§7-4

材料的破壞形式低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。低碳鋼試件的扭轉失效鑄鐵試件的扭轉失效簡單拉壓應力狀態的強度條件復雜應力狀態的強度條件如何建立？2、組合變形桿將怎樣破壞？簡單剪切應力狀態的強度條件σu和τu均可由拉伸實驗確定。一個類比的說明—體能測驗問題研究凈舉重量P凈跑距離L問題：如負重p，此人能夠跑的距離L=？通過擬和實驗數據，得到經驗化公式重量(kg)距離(km)O分析：不能簡單地按照直線公式估算!一、研究方法（邏輯推理與實驗相結合的方法）實驗現象推測假說實踐檢驗學說二、強度理論的概念：是關于“構件發生強度失效（failurebyloststrength）起因”的假說。材料力學的一個基本任務就是研究構件發生破壞的條件，直接根據實驗結果建立強度條件的方法是強度計算中最單可靠的方法。遺憾的是受實驗技術的限制，復雜應力狀態的強度條件不能通過無限的實驗結果建立。觀察實驗現象低碳鋼（塑）拉伸實驗破壞現象—滑移破壞原因--扭轉實驗復雜破壞現象—切斷破壞原因--破壞原因皆為實驗現象小結：拉伸實驗和扭轉實驗的應力狀態不同，但是破壞原因相同，皆為最大切應力。三、材料的破壞形式：⑴屈服；⑵斷裂。簡單σ觀察實驗現象鑄鐵（脆性）拉伸實驗破壞現象—拉斷扭轉實驗復雜破壞現象—拉斷實驗現象小結：鑄鐵試件在簡單拉伸時沿橫截面被拉斷；鑄鐵試件受扭時沿45o方向破裂，破裂面就是最大拉應力作用面.拉伸實驗和扭轉實驗的應力狀態不同，但是破壞原因相同，皆為最大拉應力。破壞原因--破壞原因皆為破壞原因--簡單σ推測原因

根據諸如以上實驗現象的大量工程材料破壞事實，人們推測：無論何種應力狀態，構件破壞原因是由同一種力學因素造成的。提出假說造成破壞的主要影響因素理論分析求得該影響因素的極限值拉伸實驗測定1、伽利略播下了第一強度理論的種子；2、馬里奧特關于變形過大引起破壞的論述，是第二強度理論的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪應力理論；4、麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論（maximumdistortionenergytheory）；這是后來人們在他的書信出版后才知道的。結論:復雜應力狀態下強度理論的建立需要通過有限的實驗來獲得有關材料破壞的現象,然后建立材料破壞機理的理論模型并經過實驗驗證得以完善.§7-5四種常用強度理論一、第一強度理論（最大拉應力理論）(MaximumNormal-StressCriterion)（1858年）Galileo1638年提出:磚石(以后的鑄鐵)的強度取決于材料內的最大拉應力。認為破壞條件：理論實驗強度條件：當主應力中有壓應力時，只要誤差較大三向壓應力不適用二向時：當該理論與實驗基本一致三向時：當同上當主應力中有壓應力時，只要同上實驗表明：該理論與鑄鐵，陶瓷，巖石和混凝土等脆性材料的斷裂破壞相符合。但是，該理論未考慮其他兩個主應力的影響。對壓縮應力較大的狀態不適用。《評價》具體說：無論材料處于什么應力狀態只要構件內有一點處的最大線應變達到了單向拉伸的應變極限，就發生斷裂破壞。1682年，Mariote提出最大拉應力遠小于壓應力時，最大伸長線應變ε1是引起材料斷裂的原因。二、第二強度理論（最大線應變理論）(MaximumNormalStrainCriterion)（1858年）認為破壞條件：理論實驗強度條件：或思考：根據你的實驗經驗，對鑄鐵拉伸，

εu

=

σb/E是否正確？該理論能很好地解釋石料或混凝土等脆性材料受軸向壓縮時沿橫向（裂紋呈豎向）發生斷裂破壞的現象（圖1）。鑄鐵在

σ1>0>σ3，且

|σ3|>σ1

的情況下，試驗結果也與該理論的計算結果相近（圖2）。《評價》主應力有壓應力時，當，理論接近實驗但不完全符合其他情況下，不如第一強度理論《結論》除了，還有的參與，似乎有理，但是實驗通不過——好看未必正確。實驗表明：該理論與鑄鐵，陶瓷，巖石和混凝土等脆性材料的單向壓縮相符合。而且與鑄鐵的拉壓二向應力且壓力較大時相符合。1773年，Coulomb提出假設1868年Tresca完善三、第三強度理論（最大剪應力理論）(TrescaCriterionorMaximumShearStressCriterion)（1868年）認為破壞條件：理論實驗強度條件：

實驗表明：該理論較滿意地解釋了塑性材料的屈服現象，但是偏于安全且未考慮第二主應力的影響。由于未考慮σ2的影響，此理論的結果偏于安全（即：偏高估計應力水平），差異有時達15%。但是，由于此理論形式簡單，便于計算，常用于工程設計。《評價》認為破壞條件：理論實驗四、第四強度理論（形狀改變比能理論）

(vonMisesCriterionorDistortionalenergyCriterion)（1904年）強度條件：實驗表明：該理論與實驗結果相當接近，比第三強度理論更加完善。理論與實驗基本符合比第三理論更接近實際。但是，此理論形式繁復，因此，較多用于科學研究。《評價》《備注》由于有人從均方根剪力推導對于二向應力狀態五、相當應力（強度準則的統一形式）其中—

相當應力

equivalentstress六、強度計算的步驟：1、外力分析：確定所需的外力值2、內力分析：畫內力圖，確定可能的危險面3、應力分析：畫危面應力分布圖，確定危險點并畫出單元體，求主應力

4、強度分析：選擇適當的強度理論，計算相當應力然后進行強度校核例外:1.塑性材料處于三向（或接近三向）等值拉伸狀態，使用第一強度理論。例外:2.脆性材料處于三向（或接近三向）等值壓縮狀態，材料呈現準塑性行為，無合適強度理論。PA七、強度理論的選用原則1、簡單變形（拉伸、壓縮、彎曲、剪切，擠壓、扭轉），用與其對應的簡單強度準則：例如：拉伸、壓縮、彎曲的強度準則：例如：剪切和扭轉的強度準則：依材料種類和所處應力狀態而定2、復雜應力狀態用與其對應的強度準則

對于強度理論的選用，須視材料，應力狀態而異，一般說，脆性材料（如鑄鐵、石料、混凝土等在通常情況下以斷裂的形式破壞，所以宜采用第一和第二強度理論。塑性材料（如低碳鋼、銅、鋁等在通常情況下以流動的形式破壞，所以宜采用第三和第四強度理論。

必須指出，即使是同一材料，在不同的應力狀態下也可以有不同的破壞形式。如鑄鐵在單向受拉時以斷裂的形式破壞。而在三向受壓的應力狀態下，脆性材料也會發生塑性流動破壞。又如低碳鋼這類塑性材料，在三向拉伸應力狀態下會發生脆性斷裂破壞。例1：鋼制受內壓薄壁筒，內徑為D，壁厚為，試用強度理論確定內壓p。P解：1、確定應力狀態：2、選擇強度理論進行強度計算：選擇第三強度理論或第四強度理論解：危險點A的應力狀態如圖：例2

直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖,T=7kNm,P=50kN,為鑄鐵構件，[