連續系統的振動1引言力學模型的組成

連續系統的力學模型由具有分布質量、分布彈性和分布阻尼元件組成。連續系統與離散系統的關系連續系統離散系統簡化、離散化自由度n趨向于無窮連續系統與離散系統的區別

連續系統離散系統自由度連續系統與離散系統是同一物理系統的兩個數學模型。描述系統的變量有限個無窮多個時間時間和空間位置微分方程二階常微分方程組偏微分方程組方程消去時間變量后代數方程組微分方程的邊值問題連續系統

2弦振動振動微分方程由離散系統方程導出將連續的弦作離散系統考慮，即由無質量的弦連接n個離散的質量mi。每個質量上所受的力為Fi質量mi的受力分析如圖。對質量mi在y方向的受力和加速度運用牛頓第二定律：由于弦兩端固定，因此有設或連續系統

2弦振動振動微分方程由離散系統方程導出或或兩邊除以Dxi當質量數無窮多時，Dxi趨近于零，方程可寫成其中，由于用x替換了變量xi

，因此對時間的全導數轉換成偏導數，而增量比用對x的偏導數表示。連續系統

2弦振動振動微分方程從連續系統直接導出

設長度為L、兩端固定的弦上受均布載荷f(x,t)，弦上x處的張力與單位長度質量密度分別為T(x)和r(x)。

根據牛頓定律，任一瞬時作用在微弦段上y方向的力與微弦段的加速度有如下關系

質量為rAdx的微段dx，隔離體受力分析圖展開、消去相關的項、略去dx的二次項，然后兩邊除以dx得或連續系統

2弦振動自由振動特征值問題方程邊界條件用分離變量法，設：代入方程：兩邊同除以Y(x)r(x)F(t)上述方程兩邊分別依賴于變量x

和t，因此兩邊都等于常數。設常數為-w2：連續系統

2弦振動自由振動特征值問題從關于時間的方程

從關于位置x的方程可以確定位移的形狀Y(x)，它必須在區間0<x<L滿足方程及邊界條件Y(0)=Y(L)=0。解得F(t)

上式為包含未知常數w2的二階常微分齊次方程，非平凡解Y(x)存在，且解中有兩個積分常數，而已知邊界條件只有兩個。

從方程可以看出，如果Y(x)是偏微分方程的解，那么a

Y(x)（a是任意常數）也是方程的解。

這意味著，求解滿足邊界條件的偏微分方程，就是要找到滿足方程的未知常數wi和對應的函數Yi

(x)。與離散系統對應，wi2稱為特征值（即系統的固有圓頻率平方），而Yi

(x)稱為特征函數（主振型）。連續系統

2

弦振動自由振動特征值問題

同樣地，與離散系統對應，若特征函數Yi

(x)經正則化處理，則它們關于質量密度和張力正交：對初始擾動的響應

與離散系統類似，利用正交的正則化特征函數集Yi

(x)（i=1,2,…）的線性組合，可以表示連續系統在初始擾動下的響應。

代入方程，兩邊左乘Yi

(x)，并對整個區間[0,L]積分，利用特征函數的正交性：解為常數Ci和j

i由初始條件得到。連續系統

2弦振動自由振動例

1圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數，求解系統的特征值問題，畫出系統前四個特征函數，并驗證正交性。解由題意，系統的T和r

為常數，因此系統滿足如下方程：其中：且有從方程可知Y(x)是x的簡諧函數，一般可寫由邊界條件Y(0)＝0可得B=0,則由邊界條件Y(L)＝0可得由于A不為零，必有特征方程特征值為或特征函數為自由振動例

1圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數，求解系統的特征值問題，畫出系統前四個特征函數，并驗證正交性。特征函數為正交性驗證由正則化要求正則化的特征函數自由振動例

1圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數，求解系統的特征值問題，畫出系統前四個特征函數，并驗證正交性。正交性驗證三角函數積化和差積分自由振動例

1圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數，求解系統的特征值問題，畫出系統前四個特征函數，并驗證正交性。正交性驗證三角函數積化和差積分連續系統

3桿的縱向振動振動微分方程從連續系統直接導出

設長度為L、兩端固定的桿上受均布軸向力f(x,t)，桿上x處的軸向剛度與單位長度質量分別為E

A

(x)和m(x)。

根據材料力學，任一瞬時作用在桿微段兩端的軸向內力與軸向應變成正比

取桿的微段dx，隔離體受力分析圖或

根據牛頓定律，任一瞬時作用在桿微段上的軸向力與桿微段的加速度有如下關系自由振動特征值問題方程邊界條件用分離變量法，設：代入方程：兩邊同除以U(x)m

(x)F(t)上述方程兩邊分別依賴于變量x

和t，因此兩邊都等于常數。設常數為-w2：自由振動特征值問題從關于時間的方程

從關于位置x的方程可以確定位移的形狀U(x)，它必須在區間0<x<L滿足方程及邊界條件U(0)=U(L)=0。解得F(t)與弦振動的特征值問題作比較結論只要把弦振動特征值問題中的Y(x)

、T(x)和r

(x)換作U(x)

、EA(x)

和m(x)

就得到桿作縱向振動的特征值問題表達式。自由振動特征值問題例

2圖示均勻桿兩端固定，桿的拉伸剛度為常數，求解系統的特征值問題。解由題意，系統的EA和m為常數，因此系統滿足如下方程：其中：且有從方程可知U(x)是x的簡諧函數，一般可寫由邊界條件U(0)＝0可得b=0,則由邊界條件U(L)＝0可得由于a不為零，必有特征方程特征值為或特征函數為自由振動特征值問題例

3圖示均勻桿兩端自由，桿的拉伸剛度為常數，求解系統的特征值問題。解由題意，系統的EA和m為常數，因此系統滿足如下方程：其中：且有從方程可知U(x)是x的簡諧函數，一般可寫由x=0處的邊界條件可得a=0,則由x=L處的邊界條件可得由于b不為零，必有特征方程特征值為或特征函數為自由振動特征值問題例

4圖示一端固定，另一端自由均勻桿的拉伸剛度為常數，求解系統的特征值問題。解由題意，系統的EA和m為常數，因此系統滿足如下方程：其中：且有從方程可知U(x)是x的簡諧函數，一般可寫由邊界條件U(0)＝0可得b=0,則由于a不為零，必有特征方程特征值為或特征函數為由x=L處的邊界條件可得自由振動特征值問題討論作縱向振動桿的邊界狀況、頻率方程和振型函數邊界狀況頻率振型函數兩端固定兩端自由一端固定一端自由自由振動特征值問題例

5設圖示推進軸系由長度為L、單位長度質量為m、拉伸剛度為EA的均勻桿和質量為M的螺旋槳組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自由。求解軸系作縱向振動時系統的特征值問題。解由題意，系統的EA和m為常數，因此系統滿足如下方程：其中：或固定端的邊界條件不變，U(0)＝0，而自由端有：代入整理得自由振動特征值問題例

5設圖示推進軸系由長度為L、單位長度質量為m、拉伸剛度為EA的均勻桿和質量為M的螺旋槳組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自由。求解軸系作縱向振動時系統的特征值問題。對于上述超越方程，只要給定系統參數，就能得到系統的特征值wi

。特征方程由邊界條件U(0)＝0可得b=0,則從方程可知U(x)是x的簡諧函數，一般可寫邊界條件由x＝L

處的邊界條件得或特征函數為U

i

為自由振動特征值問題討論作縱向振動桿邊界條件的討論邊界狀況左端右端固定自由帶有彈簧k帶有集中質量M振動微分方程從連續系統直接導出

設長度為L、一端固定一端自由的桿上受均布外扭矩M(x,t)與軸的轉角q同向，桿的扭轉剛度與單位長度轉動慣量分別為G

IP

(x)和J(x)。

根據材料力學，任一瞬時作用在桿微段兩端的扭轉內力矩之和與軸的剪應變成正比

取桿的微段dx，隔離體受力分析圖或

根據動量矩定律，任一瞬時作用在桿微段上的內外力矩與桿微段的角加速度有如下關系自由振動特征值問題方程邊界條件用分離變量法，設：代入方程：兩邊同除以Q

(x)J

(x)F(t)上述方程兩邊分別依賴于變量x

和t，因此兩邊都等于常數。設常數為-w2：自由振動特征值問題從關于時間的方程

從關于位置x的方程可以確定位移的形狀Q

(x)，它必須在區間0<x<L滿足方程及邊界條件。解得F(t)與弦振動的特征值問題作比較結論只要把弦振動特征值問題中的Y(x)

、T(x)和r

(x)換作Q

(x)

、GIP

(x)

和J(x)

就得到桿作縱向振動的特征值問題表達式。自由振動特征值問題例

6圖示一端固定，另一端自由均勻桿的扭轉剛度為常數，求解系統的特征值問題。解由題意，系統的GIP和J為常數，因此系統滿足如下方程：其中：且有從方程可知Q

(x)是x的簡諧函數，一般可寫由邊界條件Q

(0)＝0可得b=0,則由于a不為零，必有特征方程特征值為或特征函數為由x=L處的邊界條件可得自由振動特征值問題例

7設圖示軸系由長度為L、單位長度轉動慣量為J、扭轉剛度為GIP的均勻桿和轉動慣量為J1和J1的剛性薄圓盤組成，整個軸系在扭轉角方向無約束。求解軸系作扭轉振動時系統的特征值問題。解由題意，系統的GIP和J為常數，因此系統滿足如下方程：其中：或兩邊的邊界條件為：自由振動特征值問題代入整理得例

7邊界條件利用自由振動特征值問題例

7分離變量后的方程從方程可知Q