2．平面上兩點間的距離在一條直線型的河流l的同側有兩個村莊A、B.現(xiàn)在要在河流旁邊共建造一水廠C向兩個村莊供水，要求從水廠向兩個村莊鋪設的管道最短，則水廠應當建在什么地方？我們知道平面上兩點間的連線的長中線段的長最短，那么，應當鋪設的管道最短是多少？1．P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點間的距離公式為：P1P2＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．特別，當直線P1P2垂直于y軸時，P1P2＝|x2－x1|；當直線P1P2垂直于x軸時，P1P2＝|y2－y1|；當P1，P2中有一個是原點時，則有OP＝eq\r(x21＋y21)_或OP＝eq\r(x22＋y22)．2．利用兩點間的距離公式解決相關平面幾何問題的基本步驟可歸納為：第一步，建立坐標系用坐標表示有關的量；第二步，進行有關代數(shù)運算；第三步，把代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何關系．,兩點間的距離公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點間的距離公式為：P1P2＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特別：當直線P1P2垂直于y軸時，P1P2＝|x2－x1|；當直線P1P2垂直于x軸時，P1P2＝|y2－y1|；當P1，P2中有一個是原點時，則有OP＝eq\r(x21＋y21)或OP＝eq\r(x22＋y22).兩點間的距離公式可用來計算平面直角坐標系內任意兩已知坐標點間的距離，公式的推導體現(xiàn)解析幾何中常用的數(shù)學思想方法——坐標法．通過學習應當深刻理會用坐標法解決幾何問題的基本思路．eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(鞏)eq\x(固)知識點一兩點間距離公式的正用1．已知點A(1，3)，B(2，6)，則AB等于________．解析：AB＝eq\r(（1－2）2＋（3－6）2)＝eq\r(10).答案：eq\r(10)2．三角形ABC的三個頂點的坐標分別是A(3，7)、B(5，－1)、C(－2，－5)，則AB邊中線CD的長是________．解析：由中點公式求出AB邊的中點D的坐標為(4，3)，再由兩點間的距離公式求出CD.答案：103．光線從點A(－3，5)射到直線l：3x－4y＋4＝0以后，再反射到一點B(2，15)．(1)求入射線與反射線的方程；(2)求這條光線從A到B的長度．解析：(1)設點A關于直線l的對稱點為A1(x0，y0)，由直線AA1與已知直線垂直，且AA1中點也在直線上，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0－5,x0＋3)＝－\f(4,3)，,3×\f(x0－3,2)－4×\f(y0＋5,2)＋4＝0，))解得x0＝3，y0＝－3，即A1(3，－3)．于是反射光線方程為eq\f(y＋3,15＋3)＝eq\f(x－3,2－3)，即18x＋y－51＝0.同理B1(14，－1)，入射光線方程為6x＋17y－67＝0.(2)光線從A到B的長度，利用線段的垂直平分線性質，即得AP＋PB＝A1P＋PB＝A1B＝eq\r(（3－2）2＋（－3－15）2)＝5eq\r(13).知識點二兩點間距離公式的逆用4．已知點M(a，0)到點A(5，12)的距離為13，則a的值為________．解析：由兩點間的距離公式得eq\r(（5－a）2＋（12－0）2)＝13，解得a＝0或10.答案：0或105．與兩點A(－2，2)、B(2，4)等距離，且在坐標軸上的點的坐標是________．解析：設點P(a，0)或(0，b)由兩點間的距離公式計算．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))和(0，3)eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(級)綜合點一兩點間距離公式的綜合應用6．已知A(5，2a－1)、B(a＋1，a－4)，則AB的最小值是________解析：由兩點間的距離公式得AB＝eq\r(（a－4）2＋（a－4－2a＋1）2)＝eq\r(2a2－2a＋25)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(49,2))≥eq\f(7\r(2),2).答案：eq\f(7\r(2),2)7．光線從點A(－3，5)射到x軸上，經(jīng)反射以后經(jīng)過點B(2，10)，則光線從A到B的距離為________．解析：A(－3，5)關于x軸對稱點A′(－3，－5)，故A到B的距離即為A′B＝eq\r(（2＋3）2＋（10＋5）2)＝eq\r(250)＝5eq\r(10).答案：5eq\r(10)8．過點P(2，1)作直線l交x，y正半軸于A，B兩點，當PA·PB取到最小值時，求直線l的方程．解析：設直線l的方程為：y－1＝k(x－2)(k≠0)，令y＝0，解得x＝2－eq\f(1,k)；令x＝0，解得y＝1－2k.∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))，B(0，1－2k)．∴PA·PB＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))（4＋4k2）)＝eq\r(8＋4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋\f(1,k2))))≥eq\r(8＋4×2)＝4.當且僅當k2＝1即k＝±1時，PA·PB取到最小值．又根據(jù)題意k＜0，∴k＝－1.所以直線l的方程為：x＋y－3＝0.綜合點二兩點間距離公式在幾何證明題中的應用9．已知△ABC的三個頂點坐標為A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)．求證：△ABC為等腰直角三角形．證明：根據(jù)兩點間距離公式可得：AB＝eq\r(（－3－3）2＋（1＋3）2)＝2eq\r(13)，BC＝eq\r(（3－1）2＋（－3－7）2)＝2eq\r(26)，CA＝eq\r(（－3－1）2＋（1－7）2)＝2eq\r(13)，∴AB＝CA，且AB2＋CA2＝BC2.故△ABC為等腰直角三角形．綜合點三兩點間距離公式在實際生活中的應用10．甲船在某港口東50km，乙船在同一港口的東14km，南18km處，解析：以某港口為坐標原點建系后得甲船坐標為(50，0)，乙船坐標為(14，－18)，由兩點間距離公式得甲、乙兩船的距離為eq\r(（50－14）2＋（0＋18）2)＝18eq\r(5).答案：1811．已知0<x<1，0<y<1.求證：eq\r(x2＋y2)＋eq\r(x2＋（1－y）2)＋eq\r(（1－x）2＋y2)＋eq\r(（1－x）2＋（1－y）2)≥2eq\r(2)，并求等號成立的條件．證明：設四邊形OABC是正方形，O(0，0)、A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)，設P(x，y)為正方形內一點，如下圖，PO＝eq\r(x2＋y2)，PA＝eq\r(（1－x）2＋y2)，PB＝eq\r(（1－x）2＋（1－y）2)，PC＝eq\r(x2＋（1－y）2)，OB＝eq\r(2)，AC＝eq\r(2).因為PO＋PB≥BO，PA＋PC≥AC，所以PO＋PB＋PA＋PC≥BO＋