曲線與方程2.6.1曲線與方程1．了解曲線與方程的對應關系，理解“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念．(重點、難點)2．理解數形結合思想，會處理一些簡單的曲線與方程問題．(難點)3．曲線與方程的對應關系．(易錯點)[基礎·初探]教材整理曲線的方程方程的曲線閱讀教材P60例1以上的部分，完成下列問題．1．方程與曲線的定義在直角坐標系中，如果曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數解滿足以下關系：如果曲線C上點的坐標(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)為坐標的點都在曲線C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x，y)＝0的曲線．2．方程與曲線的關系1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線上，那么方程f(x，y)＝0就是曲線的方程．()(2)如果f(x，y)＝0是某曲線C的方程，則曲線上的點的坐標都適合方程．()(3)若曲線C上的點滿足方程f(x，y)＝0，則坐標不滿足方程f(x，y)＝0的點不在曲線C上．()(4)方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)為端點的線段的方程．()(5)到兩坐標軸的距離的乘積等于1的點的軌跡方程為xy＝1.()【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×2．點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，－m))在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上，則m＝________.【解析】據題意，有eq\f(1,4)m2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或－eq\f(18,5).【答案】2或－eq\f(18,5)3．方程|y|＝|2x|表示的曲線是________．【解析】∵|y|＝|2x|，∴y＝±2x，表示兩條直線．【答案】兩條直線4．已知曲線C的方程為x2－xy＋2y－7＝0，則下列四點中，在曲線C上的點有________(填序號)．①(－1,2)；②(1，－2)；③(2，－3)；④(3,6)．【解析】把各點的坐標代入檢驗知，只有(－1,2)滿足方程．【答案】①[質疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]曲線與方程概念的理解(1)判斷點A(－4,3)，B(－3eq\r(2)，－4)，C(eq\r(5)，2eq\r(5))是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲線上；(2)方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲線是C，若點M(m，eq\r(2))與點Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，n))在曲線C上，求m，n的值．【精彩點撥】由曲線與方程的關系知，只要點M的坐標適合曲線的方程，則點M就在方程所表示的曲線上；而若點M為曲線上的點，則點M的坐標(x0，y0)一定適合曲線的方程．【自主解答】(1)把點A(－4,3)的坐標代入方程x2＋y2＝25中，滿足方程，且點A的橫坐標滿足x≤0，則點A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲線上；把點B(－3eq\r(2)，－4)的坐標代入x2＋y2＝25，因為(－3eq\r(2))2＋(－4)2＝34≠25，所以點B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲線上．把點C(eq\r(5)，2eq\r(5))的坐標代入x2＋y2＝25，得(eq\r(5))2＋(2eq\r(5))2＝25，滿足方程，但因為橫坐標eq\r(5)不滿足x≤0的條件，所以點C不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲線上．(2)因為點M(m，eq\r(2))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，n))在曲線C上，所以它們的坐標都是方程的解，所以m2(m2－1)＝2×1，eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝n2(n2－1)，解得m＝±eq\r(2)，n＝±eq\f(1,2)或±eq\f(\r(3),2).1．判斷點與曲線的位置關系要從曲線與方程的定義入手．(1)要判斷點是否在方程表示的曲線上，只需檢驗點的坐標是否滿足方程即可；(2)若所給點在已知曲線上，則點的坐標適合已知曲線的方程，由此可求點或方程中的參數．2．判斷方程是否是曲線的方程，要從兩個方面著手，一是檢驗點的坐標是否都適合方程，二是檢驗以方程的解為坐標的點是否都在曲線上．[再練一題]1．若命題“曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解”是正確的，則下列命題正確的是________(填序號)．①方程f(x，y)＝0的曲線是C；②方程f(x，y)＝0的曲線不一定是C；③f(x，y)＝0是曲線C的方程；④以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上．【解析】只有正確地理解曲線與方程的定義，才能準確作答．易知①③④錯誤．【答案】②由方程確定曲線方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲線？【精彩點撥】由曲線的方程研究曲線的特點，類似于用函數的解析式研究函數的圖象，可由方程的特點入手分析．【自主解答】方程的左邊配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴2(x－1)2＝0，(y＋1)2＝0，∴x－1＝0且y＋1＝0，即x＝1，y＝－1.∴方程表示點(1，－1)．曲線的方程是曲線的代數體現，判斷方程表示什么曲線，可根據方程的特點利用配方、因式分解等方法對已知方程變形，轉化為我們熟知的曲線方程，在變形時，應保證變形過程的等價性.[再練一題]2．方程(x＋y－1)eq\r(x－1)＝0表示什么曲線？【解】方程(x＋y－1)eq\r(x－1)＝0等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x＋y－1＝0))或x－1＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.故方程表示直線x＝1和射線x＋y－1＝0(x≥1).點與曲線的關系及應用(1)點P(a＋1，a＋4)在曲線y＝x2＋5x＋3上，則a的值是________．(2)若曲線y2＝xy＋2x＋k通過點(a，－a)，a∈R，則實數k的取值范圍是________．【精彩點撥】(1)利用點在曲線上，則點的坐標滿足方程，代入解方程可得；(2)點(a，－a)在曲線上，則點(a，－a)適合方程，把k用a表示出來，利用求值域的方法得k的范圍．【自主解答】(1)因為點P(a＋1，a＋4)在曲線y＝x2＋5x＋3上，所以a＋4＝(a＋1)2＋5(a＋1)＋3，即a2＋6a＋5＝0，解得a＝－1或－5.(2)∵曲線y2＝xy＋2x＋k通過點(a，－a)，∴a2＝－a2＋2a＋k，∴k＝2a2－2a＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2－eq\f(1,2)，∴k≥－eq\f(1,2)，∴k的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).【答案】(1)－1或－5(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))判斷點與曲線位置關系的方法如果曲線C的方程是f(x，y)＝0，點P的坐標為(x0，y0)．(1)點P(x0，y0)在曲線C：f(x，y)＝0上?f(x0，y0)＝0.(2)點P(x0，y0)不在曲線C：f(x，y)＝0上?f(x0，y0)≠0.[再練一題]3．若點M(m，m)在曲線x－y2＝0上，則m的值為________.【導學號：09390055】【解析】∵點M(m，m)在曲線x－y2＝0上，∴m－m2＝0，解得m＝0或m＝1.【答案】0或1[探究共研型]曲線與方程的關系探究1怎樣理解曲線與方程的概念？【提示】定義中的條件(1)闡明了曲線具有純粹性(或方程具有完備性)，即曲線上的所有點的坐標都適合這個方程而毫無例外；條件(2)闡明了曲線具有完備性(或方程具有純粹性)，即適合條件的點都在曲線上而毫無遺漏．曲線的方程和方程的曲線是兩個不同的概念，曲線的方程反映的是圖形所滿足的數量關系，而方程的曲線反映的是數量關系所表示的圖形．探究2理解曲線的方程與方程的曲線的概念時應注意什么？【提示】(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解．(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，二者缺一不可．方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0的曲線經過點A(0，－3)，B(0,4)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，－\f(7,4)))，D(8,0)中的________個點．【精彩點撥】方程表示兩條直線x－4y－12＝0和x＋2y－8＝0，但應注意對數的真數大于0，即x＋2y>0.【自主解答】由對數的真數大于0，得x＋2y>0.∴A(0，－3)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，－\f(7,4)))不符合要求；將B(0,4)代入方程檢驗，符合要求；將D(8,0)代入方程檢驗，符合要求．【答案】2點與實數解建立了如下關系：C上的點x0，y0fx，y＝0的解，曲線上的點的坐標都是這個方程的解，因此要判斷點是否在曲線上只需驗證該點是否滿足方程即可.[再練一題]4．已知直線l：x＋y＋3＝0，曲線C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4，若P(1，－1)，則點P與l，C的關系是________．【解析】由1－1＋3≠0，∴P不在l上，即P?l；又(1－1)2＋(－1＋3)2＝4，∴點P在曲線C上，即P∈C.【答案】P?l，P∈C[構建·體系]1．設方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命題“坐標滿足方程f(x，y)＝0的點都在曲線C上”是不正確的，則下面命題中正確的是________(填序號)．①坐標滿足f(x，y)＝0的點都不在曲線C上；②曲線C上的點的坐標不滿足f(x，y)＝0；③坐標滿足f(x，y)＝0的點有些在曲線C上，有些不在曲線C上；④一定有不在曲線C上的點，其坐標滿足f(x，y)＝0.【解析】因為命題“坐標滿足方程f(x，y)＝0的點都在曲線C上”是不正確的，所以其否定：存在不在曲線C上的點，其坐標滿足f(x，y)＝0，是正確的，即④正確．【答案】④2．f(x0，y0)＝0是點P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的________條件.【導學號：09390056】【解析】∵f(x0，y0)＝0，可知點P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上時，有f(x0，y0)＝0，∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件．【答案】充要3．若P(2，－3)在曲線x2－ay2＝1上，則a的值為_______________________．【解析】∵P(2，－3)在曲線x2－ay2＝1上，∴4－9a＝1，解得a＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)4．如圖2-6-1中，方程表示圖中曲線的是________．圖2-6-1【解析】∵x2＋y2＝1表示單位圓，故①錯；x2－y2＝0表示兩條直線y＝x和y＝－x，故②