對數函數2．對數與對數運算第1課時對數1．理解對數的概念，掌握對數的性質，能進行簡單的對數計算．(重點、難點)2．理解指數式與對數式的等價關系，會進行對數式與指數式的互化．(重點)3．理解常用對數、自然對數的概念及記法．[基礎·初探]教材整理1對數及相關概念閱讀教材P62前四個自然段，完成下列問題．1．對數的定義一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數．2．常用對數與自然對數(1)常用對數：我們將以10為底的對數叫做常用對數，并把log10N簡記為lg_N.(2)自然對數：在科學技術中常使用以無理數e≈28…為底數的對數，以e為底的對數稱為自然對數，并且把logeN簡記為ln_N.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)因為(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)對數式log32與log23的意義一樣．()(3)對數的運算實質是求冪指數．()【解析】(1)×.因為對數的底數a應滿足a>0且a≠1，所以(1)錯；(2)×.log32表示以3為底2的對數，log23表示以2為底3的對數，所以(2)錯；(3)√.由對數的定義可知(3)正確．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2指數與對數的關系以及對數的基本性質閱讀教材P62最后三行至P63“例1”以上部分，完成下列問題．1．對數與指數的關系由此可得到對數恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)．2．對數的基本性質性質1零和負數沒有對數性質21的對數為零，即loga1＝0(a>0且a≠1)性質3底的對數等于1，即logaa＝1(a>0且a≠1)(1)若log3x＝3，則x＝()A．1 B．3C．9 D．27【解析】∵log3x＝3，∴x＝33＝27.【答案】D(2)ln1＝________，lg10＝________.【解析】∵loga1＝0，∴ln1＝0，又logaa＝1，∴lg10＝1.【答案】01[小組合作型]對數的概念(1)對數式lg(2x－1)中實數x的取值范圍是________；(2)對數式log(x－2)(x＋2)中實數x的取值范圍是________．【精彩點撥】根據對數式中底數大于0且不等于1，真數大于0求解．【自主解答】(1)由題意可知對數式lg(2x－1)中的真數大于0，即2x－1>0，解得x>eq\f(1,2)，所以x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(2)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2>0,x－2>0,x－2≠1，))解得x>2，且x≠3，所以實數x的取值范圍是(2,3)∪(3，＋∞)．【答案】(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))(2)(2,3)∪(3，＋∞)根據對數式的底數大于0且不等于1，真數大于0，列出不等式組，可求得對數式中字母的取值范圍.[再練一題]1．對數式log(2x－3)(x－1)中實數x的取值范圍是______.【導學號：97030093】【解析】由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0,2x－3>0,2x－3≠1，))解得x>eq\f(3,2)，且x≠2，所以實數x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))∪(2，＋∞)．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))∪(2，＋∞)指數式與對數式的互化(1)將下列的對數式化為指數式或將指數式化為對數式：①43＝64；②lna＝b；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m＝n；④lg1000＝3；⑤logeq\f(1,2)8＝－3.(2)設loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n.【精彩點撥】(1)根據ax＝N?logaN＝x(a>0且a≠1，N>0)求解；(2)由于a，b是指數，所以可考慮用對數式表示出a，b，再把它們代入式子中．【自主解答】(1)①因為43＝64，所以log464＝3.②因為lna＝b，所以eb＝a.③因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m＝n，所以logeq\f(1,2)n＝m.④因為lg1000＝3，所以103＝1000.⑤因為logeq\f(1,2)8＝－3，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3＝8.(2)∵loga2＝m，∴am＝2，∴a2m∵loga3＝n，∴an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an＝4×1．指數式與對數式的互化互為逆運算，在利用ax＝N?logaN＝x(a>0且a≠1，N>0)互化時，要分清各字母分別在指數式和對數式中的位置．2．在對數式、指數式的互化求值時，要注意靈活運用指數的定義、性質和運算法則，尤其要注意條件和結論之間的關系，進行正確的相互轉化．[再練一題]2．設a＝log310，b＝log37，則3a－b\f(10,7) \f(7,10)\f(10,49) \f(49,10)【解析】由a＝log310，b＝log37，得3a＝10,3b故3a－b＝eq\f(3a,3b)＝eq\f(10,7).【答案】A[探究共研型]對數的基本性質探究1你能推出對數恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)嗎？【提示】因為ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得alogaN＝N.探究2如何解方程log4(log3x)＝0?【提示】借助對數的性質求解，由log4(log3x)＝log41，得log3x＝1，∴x＝3.(1)設5log5(2x－1)＝25，則x的值等于()A．10 B．13C．100 D．±100(2)若log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1，求x的值．【精彩點撥】(1)利用對數恒等式alogaN＝N求解；(2)利用“底數”的對數為1，求解．【自主解答】(1)由5log5(2x－1)＝25，得2x－1＝25，所以x＝13.【答案】B(2)由log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2＋2x－1＝2x2－1,3x2＋2x－1>0,2x2－1>0且2x2－1≠1，))解得x＝－2.對數恒等式是利用對數的定義推導出來的，要注意其結構特點：1它們是同底的；2指數中含有對數的形式；3其值為對數的真數.[再練一題]3．已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值.【導學號：97030094】【解】∵log2(log3(log4x))＝0，∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3，∴x＝43＝64.同理求得y＝16.∴x＋y＝80.1．下列說法：①零和負數沒有對數；②任何一個指數式都可以化成對數式；③以10為底的對數叫做常用對數；④以e為底的對數叫做自然對數．其中正確命題的個數為()A．1 B．2C．3 D．4【解析】①③④正確，②不正確，只有a>0，且a≠1時，ax＝N才能化為對數式．【答案】C2．已知logx8＝3，則x的值為()\f(1,2) B．2C．3 D．4【解析】由logx8＝3，得x3＝8，∴x＝2.【答案】B3．若對數log(x－1)(4x－5)有意義，則x的取值范圍是()【導學號：97030095】\f(5,4)≤x＜2 \f(5,2)＜x＜2\f(5,4)＜x＜2或x＞2 D．2≤x≤3【解析】x應滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－5>0,x－1>0,x－1≠1，))∴x>eq\f(5,4)，且x≠2.【答案】C4．已知logxeq\f(1,16)＝－4，則x＝()\f(1,2) B．1C．2 D．4【解析】∵logxeq\f(1,16)＝－4，∴x－4＝eq\f(1,16