2023學年高一年級數學2023學年高一年級數學導學案（39）班級姓名學號編寫：趙海通審閱：侯國會§1.4.2正弦函數、余弦函數的性質（1）2．會求函數y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．3．掌握函數y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，會判斷簡單三角函數的奇偶性．學習重點：正弦函數、余弦函數的周期性、奇偶性。學習難點：正弦函數、余弦函數的周期性、奇偶性的綜合應用。【學法指導】1．在函數的周期定義中是對定義域中的每一個x值來說，對于個別的x0滿足f(x0＋T)＝f(x0)，并不能說T是f(x)的周期．例如：既使sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,2)))＝sineq\f(π,4)成立，也不能說eq\f(π,2)是f(x)＝sinx的周期．2．判斷函數的奇偶性應堅持“定義域優先”原則，即先求其定義域，看它是否關于原點對稱，一些函數的定義域比較容易觀察，直接判斷f(－x)與f(x)的關系即可；一些復雜的函數要防止沒有研究定義域是否關于原點對稱而出錯.一．知識導學1．函數的周期性(1)對于函數f(x)，如果存在一個，使得當x取定義域內的時，都有，那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期．(2)如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的．2．正弦函數、余弦函數的周期性由sin(x＋2kπ)＝，cos(x＋2kπ)＝知y＝sinx與y＝cosx都是函數，都是它們的周期，且它們的最小正周期都是2π.3．正弦函數、余弦函數的奇偶性(1)正弦函數y＝sinx與余弦函數y＝cosx的定義域都是，定義域關于對稱．(2)由sin(－x)＝知正弦函數y＝sinx是R上的函數，它的圖象關于對稱．(3)由cos(－x)＝知余弦函數y＝cosx是R上的函數，它的圖象關于對稱.二．探究與發現【探究點一】周期函數的定義一般地，對于函數y＝f(x)，如果存在一個不為零的常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函數y＝f(x)叫做周期函數，不為零的常數T叫做這個函數的周期．(1)證明函數y＝sinx和y＝cosx都是周期函數．(2)滿足條件：f(x＋a)＝－f(x)(a為常數且a≠0)的函數y＝f(x)是周期函數嗎？如果是，給出一個周期，如果不是，說明理由．【探究點二】最小正周期如果非零常數T是函數y＝f(x)的一個周期，那么kT(k∈Z且k≠0)都是函數y＝f(x)的周期．(1)周期函數的周期不止一個，若T是周期，則kT(k∈Z，且k≠0)一定也是周期．例如，正弦函數y＝sinx和余弦函數y＝cosx的最小正周期都是,它們的所有周期可以表示為：．(2)“并不是所有的周期都存在最小正周期”，即存在某些周期函數，這些函數沒有最小正周期．請你寫出符合上述特征的一個周期函數：.(3)證明函數的最小正周期常用反證法．下面是利用反證法證明2π是正弦函數y＝sinx的最小正周期的過程．請你補充完整．證明：由于2π是y＝sinx的一個周期，設T也是正弦函數y＝sinx的一個周期，且，根據周期函數的定義，當x取定義域內的每一個值時，都有.令x＝eq\f(π,2)，代入上式，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋T))＝sineq\f(π,2)＝1，又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋T))＝，所以.另一方面，當T∈(0,2π)時，，這與矛盾．故2π是正弦函數y＝sinx的最小正周期．同理可證，余弦函數y＝cosx的最小正周期也是2π.【探究點三】函數y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)的周期證明eq\f(2π,|ω|)是函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期．【探究點四】正、余弦函數的奇偶性正弦曲線余弦曲線從函數圖象看，正弦函數y＝sinx的圖象關于對稱，余弦函數y＝cosx的圖象關于對稱；從誘導公式看，sin(－x)＝，cos(－x)＝均對一切x∈R恒成立．所以說，正弦函數是R上的函數，余弦函數是R上的函數．例1．求下列函數的周期．(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))(x∈R)；(2)y＝cos(1－πx)(x∈R)；(3)y＝|sinx|(x∈R)．跟蹤訓練1。求下列函數的周期：(1)y＝cos2x；(2)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,3)))；(3)y＝|cosx|.例2．跟蹤訓練2。若f(x)是以eq\f(π,2)為周期的奇函數，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝1，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)))的值．例3．判斷下列函數的奇偶性．(1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))；(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；(3)f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx).跟蹤訓練3。判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋2x))＋x2·sinx；(2)f(x)＝eq\r(1－2cosx)＋eq\r(2cosx－1).三．鞏固訓練：1．函數y＝sin(4x＋eq\f(3,2)π)的周期是 ()A．2π B．π C．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)2．下列函數中，周期為eq\f(π,2)的是()A．y＝sineq\f(x,2)B．y＝sin2xC．y＝coseq\f(x,4) D．y＝cos(－4x)3．已知f(x)是R上的奇函數，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，則f(8)＝________.4．若f(x)是奇函數，當x>0時，f(x)＝x2－sinx，求當x<0時，f(x)的解析式．四．課堂小結：1．求函數的最小正周期的常用方法：(1)定義