學業分層測評(八)相交弦定理(建議用時：45分鐘)學業達標]一、選擇題1.圓內兩弦AB，CD相交于點P，PA＝3，PB＝4，PC∶PD＝1∶3，則CD等于()【導學號：96990035】【解析】設PC＝x，PD＝3x，則有：3×4＝x×3x，解得x＝2(負值舍去)，∴PC＝2，PD＝6，∴CD＝8.【答案】B2.如圖1-2-114，在△ABC中，AD是BC邊上的高，△ABC的外接圓直徑AE交BC邊于點G，有下列四個結論：圖1-2-114①AD2＝BD·CD；②BE2＝EG·AE；③AE·AD＝AB·AC；④AG·EG＝BG·CG.其中正確結論的個數是()【解析】由△ABE∽△ADC得eq\f(AB,AD)＝eq\f(AE,AC)，∴AE·AD＝AB·AC，故③正確；由相交弦定理得AG·EG＝BG·CG，故④正確.【答案】B3.如圖1-2-115，⊙O的直徑CD與弦AB交于P點，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，則⊙O的半徑為()圖1-2-115 【解析】由相交弦定理得AP·BP＝CP·PD，∴4×6＝3×PD，∴PD＝8，設⊙O的半徑為r∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PD＝r＋OP＝8,PC＝r－OP＝3))，解得r＝【答案】B4.如圖1-2-116所示，正方形ABCD內接于⊙O，E為DC中點，直線BE交⊙O于點F，若⊙O的半徑為eq\r(2)，則BF的長為()圖1-2-116\f(\r(3),2) \f(\r(2),2)\f(6\r(5),5) \f(4\r(5),5)【解析】由題意知BD＝2eq\r(2)，則CD＝BC＝2DE＝2CE＝2.∴BE·EF＝1，又BE＝eq\r(BC2＋CE2)＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴EF＝eq\f(\r(5),5)，∴BF＝eq\r(5)＋eq\f(\r(5),5)＝eq\f(6\r(5),5).【答案】C5.已知⊙O的半徑為5，兩弦AB，CD相交于AB的中點E，且AB＝8，CE∶ED＝4∶9，則圓心到弦CD的距離為()\f(2\r(14),3) \f(28,9)\f(2\r(7),3) \f(80,9)【解析】過O作OH⊥CD，連接OD，則DH＝eq\f(1,2)CD，由相交弦定理知，AE·BE＝CE·DE.可設CE＝4x，則DE＝9x，∴4×4＝4x×9x，解得x＝eq\f(2,3)，即OH＝eq\r(OD2－DH2)＝eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)))2)＝eq\f(2\r(14),3).【答案】A二、填空題6.如圖1-2-117，在半徑為eq\r(7)的⊙O中，弦AB，CD相交于點P，PA＝PB＝2，PD＝1，則圓心O到弦CD的距離為________.圖1-2-117【解析】由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD.又PA＝PB＝2，PD＝1，則PC＝4，∴CD＝PC＋PD＝5.過O作CD的垂線OE交CD于E，則E為CD中點，∴OE＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,2)))2)＝eq\r(7－\f(25,4))＝eq\f(\r(3),2).【答案】eq\f(\r(3),2)7.如圖1-2-118，AC為⊙O的直徑，弦BD⊥AC于點P，PC＝2，PA＝8，則tan∠ACD的值為________.圖1-2-118【解析】∵BD⊥AC，∴BP＝PD，∴PD2＝PA·PC＝8×2＝16，∴PD＝4.∵BD⊥AC，∠CPD＝90°∴tan∠ACD＝eq\f(PB,PC)＝eq\f(4,2)＝2.【答案】28.如圖1-2-119所示，PC切⊙O于點C，割線PAB經過圓心O，弦CD⊥AB于點E，PC＝4，PB＝8，則CD＝________.圖1-2-119【解析】連接OC，由切割線定理知PC2＝PA·PB，即42＝8PA，∴PA＝2，∴AB＝PB－PA＝8－2＝6，∴OA＝OC＝3，∴OP＝3＋2＝5，在Rt△OCP中，CE⊥OP，∴OC2＝OE·OP，即32＝5OE，∴OE＝eq\f(9,5)，∴BE＝3＋eq\f(9,5)＝eq\f(24,5)，AE＝3－eq\f(9,5)＝eq\f(6,5)，∴CE2＝BE·AE＝eq\f(24,5)×eq\f(6,5)＝eq\f(144,25)，∴CE＝eq\f(12,5)，∴CD＝eq\f(24,5).【答案】eq\f(24,5)三、解答題9.如圖1-2-120，弦AD和CE相交于⊙O內一點F，延長EC與過點A的切線相交于點B，且AB＝BF＝FD，BC＝1cm，CE＝8cm，求EF和AF的長.圖1-2-120【解】AB2＝BC·BE，AB2＝1×9，所以AB＝3(cm)＝BF＝FD.所以CF＝2(cm)，FE＝6(cm).又因為AF·FD＝CF·FE，所以AF×3＝2×6，即AF＝4(cm).10.如圖1-2-121，BC是半圓的直徑，D，E是半圓上的兩點，且eq\o(\s\up10(︵),CE)＝eq\o(\s\up10(︵),ED).過C作半圓的切線，與BE的延長線相交于F，BE與CD相交于G，CE，BD的延長線相交于A，連接DE.圖1-2-121(1)求證：AB＝BC；(2)如果DG∶GE＝3∶eq\r(5)，BG＝3k，試用含k的代數式表示AC.【解】(1)證明：eq\o(\s\up10(︵),DE)＝eq\o(\s\up10(︵),EC)，∠ABE＝∠CBE.∴BC是半圓的直徑，∴∠AEB＝∠CEB＝90°.又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE.∴AB＝BC.(2)∵BC是半圓的直徑，∴∠GEC＝∠FEC＝90°.∵CF是切線，∴∠GCE＝∠CBE＝∠FCE.又∵CE＝CE，∴△CEG≌△CEF.∴CG＝CF，EF＝EG.由相交弦定理可得：DG·GC＝BG·GE，∴eq\f(BG,CG)＝eq\f(DG,GE)＝eq\f(3,\r(5)).由BG＝3k，得CG＝eq\r(5)k，∴CF＝eq\r(5)k.∵CF是半圓的切線，由切割線定理得，∴CF2＝EF·FB.設EF＝EG＝x，則(eq\r(5)k)2＝x(x＋x＋3k).解得x1＝k，x2＝－eq\f(5,2)k(舍去).∴EF＝k.∴AC＝2EC＝2eq\r(FC2－EF2)＝2eq\r(\r(5)k2－k2)＝4k.能力提升]1.如圖1-2-122，⊙O的弦AB，CD相交于點P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于點A，AE與CD的延長線交于點E，AE＝2eq\r(5)cm，則PE的長為()圖1-2-122cm cmcm cm【解析】由相交弦定理，得PA·PB＝PD·PC.∴4×3＝PD·6.∴PD＝2(cm)，由切割線定理，得AE2＝ED·EC，∴(2eq\r(5))2＝ED·(ED＋2＋6)，解此方程得ED＝2或ED＝－10(舍去)，∴PE＝2＋2＝4(cm).【答案】C2.已知圓中兩條弦相交于P，第一條弦被交點分為12cm和16cm，第二條弦的長為32cm，則第二條弦被交點分成的兩線段長分別為__________，__________.【導學號：96990036】【解析】設第二條弦被交點分成的一段長為xcm，則另一段長為(32－x)cm，根據相交弦定理，得x(32－x)＝12×16，即x2－32x＋192＝0，解得x1＝8或x2＝24.所以另一段長為32－x1＝24或32－x2＝8，所以另一段被交點分成的兩段長分別為8cm,24cm.【答案】8cm24cm3.如圖1-2-123，已知⊙O的兩條弦AB，CD相交于AB的中點E，且AB＝4，DE＝CE＋3，則CD的長為__________.圖1-2-123【解析】由相交弦定理知：EA·EB＝EC·ED，(*)又E為AB的中點，AB＝4，DE＝CE＋3，∴(*)式可化為22＝EC(CE＋3)＝CE2＋3CE，∴CE＝－4(舍去)，CE＝1，∴CD＝DE＋CE＝2CE＋3＝2＋3＝5.【答案】54.如圖1-2-124，已知PA是⊙O的切線，A是切點，直線PO交⊙O于B，C兩點，D是OC的中點，連接AD并延長交⊙O于點E，若PA＝2eq\r(3)，∠APB＝30°，則AE＝________.圖1-2-124【解析】根據已知可得，在Rt△PAO