學業分層測評(十)第二章(建議用時：40分鐘)[學業達標]一、選擇題(每小題5分，共20分)1.梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在平面α內，則它在α內的正射影是()A.平行四邊形 B.梯形C.一條線段 D.一條線段或梯形【解析】當梯形所在的平面平行于投影線時，梯形在α上的正射影是一條線段.當梯形所在的平面與投影線不平行時，梯形在α上的正射影是一個梯形.【答案】D2.如果一個三角形的平行射影仍是一個三角形，則下列結論正確的是()A.內心的平行射影還是內心B.重心的平行射影還是重心C.垂心的平行射影還是垂心D.外心的平行射影還是外心【解析】三角形的平行射影仍是三角形，但三角形的形狀通常會發生變化，此時三角形的各頂點、各邊的位置也會發生變化，其中重心、垂心、外心這些由頂點和邊確定的點通常隨著發生變化，而內心則始終是原先角平分線的交點，射影前后相對的位置關系不變.【答案】A3.圓錐的頂角為50°，圓錐的截面與軸線所成的角為30°，則截線是()A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線【解析】由已知α＝eq\f(50°,2)＝25°，β＝30°，∴β>α.故截線是橢圓，故選B.【答案】B4.設平面π與圓柱的軸的夾角為β(0°<β<90°)，現放入Dandelin雙球使之與圓柱面和平面π都相切，若已知Dandelin雙球與平面π的兩切點的距離恰好等于圓柱的底面直徑，則截線橢圓的離心率為()\f(1,2)\f(\r(2),2)\f(\r(3),3)\f(\r(3),2)【解析】Dandelin雙球與平面π的切點恰好是橢圓的焦點，圓柱的底面直徑恰好等于橢圓的短軸長，由題意知，2b＝2c.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(b2＋c2))＝eq\f(c,\r(2)c)＝eq\f(\r(2),2).【答案】B二、填空題(每小題5分，共10分)5.已知圓錐面的軸截面為等腰直角三角形，用一個與軸線成30°角的不過圓錐頂點的平面去截圓錐面時，所截得的截線的離心率為________.【導學號：61650026】【解析】∵圓錐的軸截面為等腰直角三角形，所以母線與軸線的夾角α＝45°；又截面與軸線的夾角β＝30°，即β<α，∴截線是雙曲線，其離心率e＝eq\f(cosβ,cosα)＝eq\f(cos30°,cos45°)＝eq\f(\r(3),\r(2))＝eq\f(\r(6),2).【答案】eq\f(\r(6),2)6.一平面與圓柱面的母線成45°角，平面與圓柱面的截線橢圓的長軸長為6，則圓柱面內切球的半徑為________.【解析】由2a＝6，得a＝3，又e＝cos45°＝eq\f(\r(2),2)，∴c＝e·a＝eq\f(\r(2),2)×3＝eq\f(3\r(2),2).∴b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(32－\f(9,2))＝eq\f(3\r(2),2).∴圓柱面內切球的半徑r＝eq\f(3\r(2),2).【答案】eq\f(3\r(2),2)三、解答題(每小題10分，共30分)7.如圖2-1-7，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、D1C1的中點，G是正方形BCC1B1的中心，畫出空間四邊形AEFG在該正方體的面DCC1D1上的正投影.圖2-1-7【解】如圖(1)，點A落在D點上，點G落在CC1的中點G′上，點F在面DCC1D1上的正射影仍為點F，點E落在DD1的中點E′上，擦去命名點，其圖形如圖(2)所示.8.已知點A(1，2)在橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1內，F的坐標為(2，0)，在橢圓上求一點P，使|PA|＋2|PF|最小.【解】如圖所示，∵a2＝16，b2＝12，∴c2＝4，c＝2.∴F為橢圓的右焦點，并且離心率為eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).設P到右準線的距離為d，則|PF|＝eq\f(1,2)d，d＝2|PF|.∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d.由幾何性質可知，當P點的縱坐標(橫坐標大于零)與A點的縱坐標相同時，|PA|＋d最小.把y＝2代入eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，得x＝eq\f(4\r(6),3)(x＝－eq\f(4\r(6),3)舍去).即點P(eq\f(4\r(6),3)，2)為所求.[能力提升]9.在空間中，取直線l為軸.直線l′與l相交于O點，夾角為α.l′繞l旋轉得到以O為頂點，l′為母線的圓錐面.任取平面π，若它與軸l的交角為β.試用Dandelin雙球證明：當β＝α時，平面π與圓錐的交線為拋物線.【證明】如圖：設Dandelin球與圓錐面的交線為圓S.記圓所在的平面為π′，π與π′的交線為m.在平面π與圓錐面的交線上任取一點P，設平面π與Dandelin球的切點為F，連PF.在平面π中過P作m的垂線，垂足為A，過P作π′的垂線，垂足為B，連AB，則AB為PA在平面π′上的射影.顯然，m⊥AB，故∠PAB是平面π與平面π′所成的二面角的平面角.在Rt△APB中，∠APB＝β.則PB＝PA·cosβ ①又設過點P的母線交圓S于點Q，則PQ＝PF.在Rt△PBQ中，PB＝PQ·cosα∴PB＝PF·cosα ②由①，②得eq\f(PF