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文檔簡介

第3章矩陣的標準形

3.1矩陣的相似對角形

3.2矩陣的Jordan標準形

3.3哈密頓－開萊定理及矩陣的最小多項式

3.4多項式矩陣與Smith標準形

3.5多項式矩陣的互質性和既約性

3.6有理分式矩陣的標準形及其仿分式分解

3.7*

系統的傳遞性函數矩陣

3.8

舒爾定理及矩陣的QR分解3.9

矩陣的奇異值分解本章主要討論數字矩陣、多項式矩陣、有理分式矩陣的標準形及矩陣的若干分解形式，這是矩陣理論中一個內容廣泛而又十分重要的部分，在許多領域中都有重要的應用.并且介紹矩陣的QR分解、奇異值分解等概念.3.1矩陣的相似對角形線性變換的特征值與特征向量的概念由前面的例子可以看出，并非每個矩陣A都可以相似對角形矩陣，那么當矩陣A不能和對角形矩陣相似時，能否找到一個構造比較簡單的分塊對角矩陣與它們相似呢？當我們在復數域C內考慮這個問題時，這樣的矩陣確實存在，這就是約當(Jordan)形矩陣，稱為矩陣A的Jordan標準形.在矩陣分析及其應用中，矩陣的Jordan標準形是重要的工具，但其理論推導十分繁復，在這里只作扼要介紹.3.2矩陣的Jordan標準形在3.1節中給出了矩陣的特征多項式，本節將進一步給出特征多項式的性質，其中最重要的就是哈密頓－開萊定理；還將討論另一個重要的多項式，即矩陣的最小多項式.所得到的結果有重要的理論及應用價值．3.3

哈密頓－開萊定理及矩陣的最小多項式3.4多項式矩陣與Smith標準形多項式矩陣的初等變換概念

Smith標準形概念行列式因子的重要性在于它在初等變換下是不變的．不變因子的概念

3.5

多項式矩陣的互質性和既約性現轉移到多項式矩陣的互質性問題.最后討論多項式矩陣的既約性問題3.6

有理分式矩陣的標準形及其仿分式分解3.8

舒爾定理及矩陣的QR分解以下轉到另一重要定理，它為計算特征值的數值方法提供了重要理論依據．3.9

矩陣的奇異值分解矩陣的奇異值分解在最優化問題、特征值問題、最小二乘法問題、廣義

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