橢圓同步檢測一、選擇題1.已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點，長軸在軸上，離心率為，且橢圓上一點到其兩個焦點的距離之和為12，則橢圓的方程為（）A..B.C.D.QUOTEsinα=±12答案：A解析：解答：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以由題意可得：，所以橢圓的方程為.分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)進(jìn)行計算即可.2.橢圓的長軸長為（）A．2D.9答案：C解析：解答：由題意可得：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以橢圓的長軸長為6.分析：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解決問題的關(guān)鍵是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程計算即可.3.若橢圓的短軸為，它的一個焦點為，則滿足為等邊三角形的橢圓的離心率是（）A．B．C．D．答案：C解析：解答：設(shè)，因為是等邊三角形，所以，即a=2b，∴，有，故選C分析：本題主要考查了橢圓的定義，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行計算即可.4.橢圓上的一點到焦點的距離等于1，則點到另一個焦點的距離是（）A．1B．3C．D．答案：D解析：解答：根據(jù)橢圓的定義，，∴，故選D．分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)進(jìn)行計算即可.5.方程表示焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是（）A．B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）答案：D解析：解答：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由橢圓的性質(zhì)可知即,答案選D.分析：本題主要考查了橢圓的定義，解決問題的關(guān)鍵是橢圓的定義進(jìn)行分析即可.6.已知橢圓,是橢圓長軸的一個端點,是橢圓短軸的一個端點,為橢圓的一個焦點.若,則該橢圓的離心率為（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：，即，兩邊同除以，得（舍負(fù)），故選B．分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)進(jìn)行列示計算即可.7.已知橢圓的中心為，右焦點為、右頂點為，直線與軸的交點為，則的最大值為（）A．B．C．D．答案：C解析：解答：由題可得分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)進(jìn)行計算即可.8.過橢圓的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F(xiàn)2為右焦點，若∠F1PF2＝60°，則橢圓的離心率為（）．A.B.C.D.答案：B解析：解答：由題意得點P的坐標(biāo)為，因為所以，即，所以解得（舍去），答案為B分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是橢圓的簡單性質(zhì)結(jié)合所給條件進(jìn)行計算即可.9.已知橢圓上一點A關(guān)于原點的對稱點為點B，F(xiàn)為其右焦點，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.答案：A解析：解答：∵B和A關(guān)于原點對稱∴B也在橢圓上設(shè)左焦點為F′根據(jù)橢圓定義：又∵∴①是的斜邊中點，∴又②③②③代入①∴即∴,所以.分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)結(jié)合所給條件計算即可.10.從一塊短軸長為的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形，其面積的取值范圍是，則橢圓離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.答案：B解析：解答：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1，在第一象限內(nèi)取點（x，y），設(shè)x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜），則橢圓的內(nèi)接矩形長為2acosθ，寬為2bsinθ，內(nèi)接矩形面積為2acosθ?2bsinθ=2absin2θ≤2ab，由已知得：3b2≤2ab≤4b2，3b≤2a≤4b，平方得：9b2≤4a2≤16b2，即，9（a2-c2）≤4a2≤16（a2-c2），整理得5a2≤9c2且12a2≥16c2，∴，即e∈，故選B.分析：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的有關(guān)性質(zhì)分析計算即可.11.若橢圓與直線交于兩點，過原點與線段的中點的直線的斜率為，則的值為（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：由直線，可得代入得：設(shè)的坐標(biāo)為，則有：，∴M的坐標(biāo)為：，∴OM的斜率，故選B．分析：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)直線與圓錐曲線的關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行分析計算即可.12.橢圓上的點到直線2x－y＝7距離最近的點的坐標(biāo)為（）A．（－，）B．（，－）C．（－，）D．（，－）答案：B解析：解答：設(shè)和橢圓相切且和直線平行的直線為，聯(lián)立橢圓方程得，因為直線和橢圓相切，所以，由圖可知，直線為，解得切點坐標(biāo)為，此點就是所求點，故選B.分析：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)直線與圓錐曲線的關(guān)系進(jìn)行分析計算即可.13.若點和點分別為橢圓的中心和右焦點，點為橢圓上的任意一點，則的最小值為（）A．B．C．D．1答案：B解析：解答：設(shè)點，所以，由此可得，，所以分析：本題主要考查了圓錐曲線的綜合，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)點滿足的關(guān)系結(jié)合平面向量坐標(biāo)運算計算即可.14.已知橢圓的兩個焦點為，，是此橢圓上的一點，且，，則該橢圓的方程是()A.B．C．D．答案：A解析：解答：設(shè)橢圓的方程為：，由題意可得：，又因為，，所以，即，所以，即，所以橢圓的方程為：．分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)所給條件結(jié)合橢圓的簡單性質(zhì)計算即可.15.已知橢圓C：，點M與C的焦點不重合．若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則（）A．4B．8C．12D．16答案：B解析：解答：如圖，設(shè)的中點為，由題意可知，，分別為，的中位線，∴．分析：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)直線與橢圓的關(guān)系計算即可.二、填空題16.過點作一直線與橢圓相交于A、B兩點，若點恰好為弦的中點，則所在直線的方程為．答案：解析：解答：設(shè)，分別代入橢圓的方程中，可得：①②，由①-②可得，，因為點是弦的中點，∴，∴=，又因為直線過點（1,1），所以直線的方程為，即.分析：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)所給點A,B,結(jié)合點與橢圓關(guān)系列式計算即可.17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點是橢圓上的一個動點，點在線段的延長線上，且，則點橫坐標(biāo)的最大值為.答案：15解析：解答：設(shè)，由，得，，研究點橫坐標(biāo)的最大值，僅考慮，（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）．分析：本題主要考查了圓錐曲線的綜合，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)所求點滿足的關(guān)系結(jié)合平面向量坐標(biāo)運算計算即可.18.若方程表示橢圓，則的取值范圍是______________.答案：(1,2)∪(2,3)解析：解答：因為，方程表示橢圓，所以，，解得，的取值范圍是(1,2)∪(2,3)分析：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)分析計算即可.19.橢圓的焦點為，點在橢圓上，且線段的中點恰好在軸上，，則.答案：7解析：解答：易知，原點也是的中點，所以平行于軸，因為，所以,設(shè)，根據(jù)橢圓定義可知，所以，解得，所以,故,所以7.分析：本題主要考查了橢圓的定義，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓定義列式計算即可.20.設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標(biāo)為（6，4），則的最大值為__________.答案：15解析：解答：，此時點P為直線與橢圓的交點，故填15分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)分析計算即可.三、解答題21.已知橢圓C的焦點F1（－，0）和F2（，0），長軸長6。(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。答案：解：由F1（－，0）和F2（，0），長軸長為6得：c=2，a=3，所以b=1。所以橢圓方程為。(2)設(shè)直線交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標(biāo)答案：解：設(shè)A()B(),由（1）可知橢圓方程為，與直線AB的方程y=x+2聯(lián)立化簡并整理得10x2+36x+27=0，∴x1+x2=，，。所以AB的中點的坐標(biāo)為.解析：分析：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓性質(zhì)結(jié)合直線與橢圓的關(guān)系列式計算即可.22.已知橢圓C：的上頂點坐標(biāo)為，離心率為.（1）求橢圓方程；答案：解：依題意得：，橢圓方程為（2）設(shè)P為橢圓上一點，A為左頂點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，求的取值范圍.答案：解：設(shè)，，則---（*）點滿足，代入（*）式，得：根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可得：的取值范圍為解析：分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)、圓錐曲線的綜合，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓定義得到橢圓方程；根據(jù)所給點滿足關(guān)系結(jié)合平面向量坐標(biāo)運算性質(zhì)計算即可.23.已知橢圓經(jīng)過點其離心率為.（1）求橢圓的方程；答案：解：由已知，所以,①又點在橢圓上，所以，②由①②解之得,故橢圓的方程為（2）設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩點，以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓上，為坐標(biāo)原點.求到直線距離的最小值.答案：解：當(dāng)直線有斜率時，設(shè)時，則由消去得，，③設(shè)則，由于點在橢圓上，所以，從而，化簡得，經(jīng)檢驗滿足③式，又點到直線的距離為：，并且僅當(dāng)時等號成立；當(dāng)直線無斜率時，由對稱性知，點一定在軸上，從而點為，直線為，所以點到直線的距離為1，所以點到直線的距離最小值為.解析：分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)；圓錐曲線的綜合，解決問題的關(guān)鍵是（1）由離心率為，得①，又過點，得②，聯(lián)立①②求；(2)直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題，普通會根據(jù)已知條件結(jié)合韋達(dá)定理列式確定參數(shù)的值或者取值范圍，設(shè)直線：，聯(lián)立橢圓方程，消去，得關(guān)于的二次方程，設(shè)，利用韋達(dá)定理將點的坐標(biāo)表示出來，，因為在橢圓上，代入橢圓方程，得的等式①，點到直線的距離為，聯(lián)立①得關(guān)于，或的函數(shù)，進(jìn)而求其最小值，再考慮斜率不存在時的情況，求最小值，然后和斜率存在時候的最小值比較大小，得結(jié)論.24.已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設(shè)點.（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；答案：解：由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1，又橢圓的焦點在x軸上,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；答案：解：設(shè)線段PA的中點為M(x,y),點P的坐標(biāo)是(x0,y0)，由得由點P在橢圓上,得，∴線段PA中點M的軌跡方程是解析：分析：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的軌跡問題，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)計算即可得到其標(biāo)準(zhǔn)方程；根據(jù)動點轉(zhuǎn)移法求得動點軌跡.25.已知橢圓：（）的右焦點，右頂點,右準(zhǔn)線且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；答案：解：由題意，，，，，由得.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）動直線：與橢圓有且只有一個交點，且與右準(zhǔn)線相交于點，試探究在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出點坐標(biāo)；若