課時作業(十)萬有引力理論的成就[基礎訓練]1．已知引力常量G＝×10－11N·m2/kg2，重力加速度取g＝m/s2，地球半徑R＝×106m，則可知地球質量的數量級是()A．1018kg B．1020kgC．1022kg D．1024kg答案：D解析：根據萬有引力定律有：F＝Geq\f(Mm,R2)①而在地球表面，物體所受的重力約等于地球對物體的吸引力：F＝mg②聯立①②解得：g＝Geq\f(M,R2)則M＝eq\f(gR2,G)＝eq\f××1062,×10－11)kg＝×1024kg即地球質量的數量級是1024kg，正確選項為D.2．若地球繞太陽公轉周期及公轉軌道半徑分別為T和R，月球繞地球公轉周期和公轉軌道半徑分別為t和r，則太陽質量與地球質量之比為()\f(R3t2,r3T2)\f(R3T2,r3t2)\f(R3t2,r2T3)\f(R2T3,r2t3)答案：A解析：地球繞太陽公轉，滿足Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R，則太陽質量M＝eq\f(4π2R3,GT2)；月球繞地球公轉，滿足Geq\f(M′m′,r2)＝m′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,t)))2r，則地球質量M′＝eq\f(4π2r3,Gt2)，由此可知eq\f(M,M′)＝eq\f(R3t2,r3T2)，故A正確．3．設地球表面重力加速度為g0，物體在距離地心4R(R是地球的半徑)處，由于地球的作用而產生的加速度為g，則eq\f(g,g0)為()A．1\f(1,9)\f(1,4)\f(1,16)答案：D解析：地球表面處的重力加速度和在距離地心4R處的加速度均由地球對物體的萬有引力產生，所以有F＝Geq\f(Mm,r2)＝mg所以eq\f(g,g0)＝(eq\f(r0,r))2＝eq\f(R2,4R2)＝eq\f(1,16).4．科學家們推測，太陽系內除八大行星之外還有另一顆行星就在地球的軌道上，從地球上看，它永遠在太陽的背面，人類一直未能發現它，可以說是“隱居”著的地球的“孿生兄弟”．由以上信息可以確定()A．這顆行星的公轉周期與地球相等B．這顆行星的半徑等于地球的半徑C．這顆行星的密度等于地球的密度D．這顆行星上同樣存在著生命答案：A解析：因只知道這顆行星的軌道半徑，所以只能判斷出其公轉周期與地球的公轉周期相等．由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可知，行星的質量在方程兩邊可以消去，因此無法知道其密度．5．一衛星繞某一行星表面附近做勻速圓周運動，其線速度大小為v，假設宇航員在該行星表面用彈簧測力計測量一質量為m的物體的重力，當物體處于豎直靜止狀態時，彈簧測力計的示數為F，已知引力常量為G，則這顆行星的質量為()\f(mv2,GF)\f(mv4,GF)\f(Fv2,Gm)\f(Fv4,Gm)答案：B解析：由F＝mg得，行星表面的重力加速度g＝eq\f(F,m).衛星繞行星表面附近做半徑為r的勻速圓周運動時，Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mg，整理得行星的質量M＝eq\f(mv4,GF)，選項B正確．6．火星直徑約為地球的一半，質量約為地球的十分之一，它繞太陽公轉的軌道半徑約為地球公轉半徑的倍．根據以上數據，以下說法正確的是()A．火星表面重力加速度的數值比地球表面的小B．火星公轉的周期比地球的長C．火星公轉的線速度比地球的大D．火星公轉的向心加速度比地球的大答案：AB解析：由g＝eq\f(GM,R2)得：g地＝eq\f(GM地,R\o\al(2,地))，g火＝eq\f(GM火,R\o\al(2,火))＝eq\f(G·\f(1,10)M地,\f(1,2)R地2)＝eq\f(2,5)g地，可知g地>g火，A正確；由Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r得：T＝2πeq\r(\f(r3,GM))可知T火>T地，B正確；v＝eq\f(2πr,T)＝eq\r(\f(GM,r))，a＝eq\f(GM,r2)，可得v火<v地，a火<a地，C、D錯誤．7．太陽由于輻射，質量在不斷減少．地球由于接受太陽輻射和吸收宇宙中的塵埃，其質量在不斷增加．假定地球增加的質量等于太陽減少的質量，且地球繞太陽公轉的軌道半徑不變，則()A．太陽對地球的引力增大B．太陽對地球的引力變小C．地球運行的周期變長D．地球運行的周期變短答案：AC解析：由于太陽減少的質量等于地球增加的質量，則由F＝Geq\f(Mm,r2)知，兩者間的引力變大，選項A正確，B錯誤；由mreq\f(4π2,T2)＝Geq\f(mM,r2)知，eq\f(r3,T2)＝eq\f(GM,4π2)，因為r不變，M減小，則周期T變長，故選項C正確，D錯誤．8．繼神秘的火星之后，今年土星也成了全世界關注的焦點！經過近7年億公里在太空中風塵仆仆地穿行后，美航天局和歐航天局合作研究的“卡西尼”號土星探測器于美國東部時間6月30日(北京時間7月1日)抵達預定軌道，開始“拜訪”土星及其衛星家族．這是人類首次針對土星及其31顆已知衛星最詳盡的探測！若“卡西尼”號探測器進入繞土星飛行的軌道，在半徑為R的土星上空離土星表面高h的圓形軌道上繞土星飛行，環繞周期為T，萬有引力常量為G.求土星的質量和平均密度．答案：eq\f(4π2R＋h3,GT2)eq\f(3πR＋h3,GT2R3)解析：由題意知，萬有引力提供向心力，即Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)得M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)所以ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3).[能力提升]9．地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，萬有引力常量為G，則地球的平均密度為()\f(3g,4πRG)\f(3g,4πR2G)\f(g,RG)\f(g,R2G)答案：A解析：在地球表面處有Geq\f(Mm,R2)＝mg，①地球的平均密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，②解①②式得ρ＝eq\f(3g,4πRG)，選項A正確．10．一火箭以a＝eq\f(g,2)的加速度豎直升空．為了監測火箭到達的高度，可以觀察火箭上搭載物視重的變化．如果火箭上搭載的一物體的質量為m＝kg，當檢測儀器顯示物體的視重為F＝9N時，火箭距離地面的高度h與地球半徑R的關系為(取g＝10m/s2)()A．h＝R B．h＝2RC．h＝3R D．h＝4R答案：C解析：設火箭距離地面的高度為h，該處的重力加速度為g′，地球的半徑為R.根據牛頓第二定律，有F－mg′＝ma，g′＝eq\f(F,m)－eq\f(g,2)＝m/s2根據萬有引力定律，有g′＝Geq\f(M,r2)∝eq\f(1,r2)所以eq\f(g′,g)＝eq\f(R2,R＋h2)，即eq\f(R,R＋h)＝eq\f(1,4)所以火箭距離地面的高度h＝3R.故C選項正確．11．設土星繞太陽的運動為勻速圓周運動，若測得土星到太陽的距離為R，土星繞太陽運動的周期為T，引力常量G已知，根據這些數據能夠求出的物理量是()①土星線速度的大?、谕列窍蛐募铀俣鹊拇笮、弁列堑馁|量④太陽的質量A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③答案：B解析：由v＝eq\f(2πR,T)可知①正確；而a＝ω2R＝(eq\f(2π,T))2R＝eq\f(4π2R,T2)，則②正確；已知土星的公轉周期和軌道半徑，由eq\f(GMm,R2)＝m(eq\f(2π,T))2R，得M＝eq\f(4π2R3,GT2)，M應為中心天體——太陽的質量，無法求出m——土星的質量，③錯誤，④正確，由此可知B正確．12．1969年7月21日，美國宇航員阿姆斯特朗在月球上烙下了人類第一只腳印(如圖)，邁出了人類征服宇宙的一大步．在月球上，如果阿姆斯特朗和同伴奧爾德林用彈簧秤測出質量為m的儀器的重力為F；而另一位宇航員科林斯駕駛指令艙，在月球表面附近飛行一周，記下時間為T，試回答：只利用這些數據(引力常量G已知)，能否估算出月球的質量？若能，請寫出表達式；若不能，請說明理由．答案：能M＝eq\f(F3T4,16Gπ4m3)解析：設月球的質量為M，半徑為R，表面的重力加速度為g，根據萬有引力定律，有F＝mg＝Geq\f(Mm,R2)，根據指令艙做勻速圓周運動的向心加速度就是月球表面的重力加速度，有：an＝g＝eq\f(F,m)＝(eq\f(2π,T))2R.則月球的質量可以表示為M＝eq\f(F3T4,16Gπ4m3).所以，在已知引力常量G的條件下，能利用上式估算出月球的質量．13．我國月球探測計劃“嫦娥工程”將分三個階段實施，大約用十年左右的時間完成，這極大地提高了同學們對月球的關注程度．以下是某同學就有關月球的知識設計的兩個問題，現請你解答：(1)若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，且把月球繞地球的運動近似看做是勻速圓周運動．試求出月球繞地球運動的軌道半徑．(2)若某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v0豎直向上拋出一個小球，經過時間t，小球落回到拋出點．已知月球半徑為R′，萬有引力常量為G.試求出月球的質量M′.答案：(1)eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))(2)eq\